kudryavtsev2a (947416), страница 41
Текст из файла (страница 41)
п.16.5). Тогда ® Иш ~ Рг(к+юг(у= ]Рг(х+Яг(у. (47.33) ьт-ох 7 т Заметим, что в силу равномерной непрерывности на отрезке [а, Ь] функций х(1) и у(1) длины звеньев ломаной 2, т. е, длины отрезков с вершинами в точках т (х(1;,), у((т,)) и (х(1;), у(1т)), прн бт-т-0 также стремятся к нулю.
Доказательство. Кривая у является компактом; поскольку этот компакт не пересекается с замкнутым множеством гете' 6, то расстояние между ними больше нуля (см. лемму Т п. 18.2). Пусть т1 — какое-либо число, такое, что р(у, тт,'и' 6) ) т) ) О. Обозначим через у„совокупность всех точек плоскости, находящихся от у па расстоянии, не большем, чем т).
Множество у„ограничено, замкнуто (см. в п. 18.3 лемму 11) и та с 6. В силу равномерной непрерывности функций х(1) и у(1) на отрезке [а, Ь] существует такое число б,)О, что для любых двух точек 1'ен[а, Ь] и 1е~[а, Ь], удовлетворяющих условию ~У вЂ” 1" ~ =б„выполняется неравенство р (М', М") = ] [х (г") — х (г )]е+ [у (1 ) у (Р)]г ~ т1 где М' = (х (У), у (У)), М" = (х (1"), у ((")) (сравнить с леммой 4 в п.
41.4). Все точки отрезка с концами в точках М' и М", очевидно, также находятся от точки М' на расстоянии, не большем чем т1 и поэтому лежат во множестве у„и, следовательно, в 6. Это означает, что если мелкость б, разбиения т отрезка [а, Ь] такова, что б, (б„то все точки ломаной Х, лежат в 6 и для таких разбиений т имеет смысл интеграл ) Р дх+Яе(у. хе Рассмотрим интегралы ~ Р г(х и ~ Р г(х. Положим х;=х(1), уг=у(1г), Р;=Р(хь у), Ьхт=ке — х; „(=1, 2, ..., (е, о,= 'У, 'Ргбхь е=т ВХВ. условия невависиаости криволинейного интеграла 2!3 Как известно (см.
п. 47.2, свойство 4), 1!ш о„=') Рс(х. в,-е Пусть, далее, Мг=(хь у;) — вершины ломаной лт; тогда ь ~ РНх='У, '~ Рс(х. (47.35) с=1 м,,м С другой стороны, заметим, что (употребляя обозначения из п. 47,2) с(х= ) созаг!в=~Мт тМг~созсс=Ахи м,,м, м,,м, поэтому о,=~',Р;Лхе= ~Ч', ~ Р;с(х. (47.36) с м,,мг Обозначив через Е, длину ломаной Х„ через 5 †дли кривой а через ев(б; Р) — модуль непрерывности функции Р (х, у) на компакте у„ и заметив, что в силу определения кривой: Е,($, из (47.36) и (47.36) получим ! ее* — ' ~~Х~ ~е ~м.
Мт ~~(бт; Р) ~ ~Л~,!~м(б,; Р) Е,~ы(6,; Р) Я. е Отсюда в силу равномерной непрерывности функции Р (х, у) на множестве у„имеем 1пп ! ~ Рс!х — о ) =О, и, значит, в силу в,-о~к (47.34) 1пп ~ Р с!х = ~ Р с(х. (47.37) вт вя т т Аналогично доказывается и равенство 1!ш ~ 9с!у=~Де(у. в,-о, Из (47.37) и (47.38) непосредственно и следует утверждение леммы, т. е. формула (47.33). (1 Замечание. Утверждение, аналогичное лемме, справедливо и для криволинейных интегралов в пространстве, причем дока- зательство пространственного случая проводится по той же схеме, что и для плоского.
Теорема 4. Пусть функции Р(х, у) и !е(х, у) непрерывны др дп вместе со своими итстными производными — и — в плоской ду дх З 47. Криволинеаныв интегралы области 6. Для того, чпюбы криволинейный интеграл ~ Рдх+егду лв при произвольно фиксированных точках А ен 6 и В ~ 6 не зависел от пути интегрирования АВ ~ 6, необходимо, а если область 6 односвязна, — то и достаточно, чтобы во всех точках области 6 дР дО выполнялось равенство — = —. ду дх ' Доказательство необходимости. Пусть рассматриваемый интеграл не зависит от пути интегрирования, лежащего в области 6, а только от его начальной и конечной точек. Тогда согласно теореме 3 существует функция и = и(х, у) такая, что с(и = Р дх+ Я е(у, т. е.
такая, что — = Р, — = т1. Поскольку ди ди дх ду др д'и дЯ дги дР ду ду дх' дх дхду — — и по условиям теоремы производные — и ду Щ деи деи дх ' —, а следовательно, и смешанные производные — и — непреду дх дх ду дР дО рывны, то (см. и. 21.1) они и равны, т. е. — = —. Доказательство достаточности. Пусть теперь область 6 одно- дР дО связка и во всех ее точках — = †.
Если 7 в кусочно-гладкий ду дх' простой замкнутый контур, лежащий в 6, и П вЂ” ограниченная область, границей которой является т, то, применив формулу Грина (здесь используется односвязность области 6), получим 1 Рд +аду= 1 1 (дда — Т1 дхйу=О. те о Если кривая у, лежащая в 6, имеет конечное число точек самопересечения, то последовательно для каждой ее <петли» у„й=1, 2, ..., й„являющейся уже. простым замкнутым конту- розг, в силу доказанного имеем ~ Рйх+Яду=О, откуда следует, ть что и для всей кривой у *)Рах+Яау=О. (47.39) Переходя к рассмотрению общего случаи, обратим прежде всего внимание на то„что рассмотренным приемом равенстве (47.39) доказывается и для случая, когда 7 является замкнутой конечнозвенной ломаной. С геометрической точми зрения отличие состоит лишь в том, что самопересечение конечнозвенной ломаной может состоять не только из конечного числа точек, но и конечного числа отрезков, что лишь незначительно усложняет рассуждение. Возможность применения формулы Грина к конечной области, ограниченной конечнозвеиной ломаной, следует из того, что дкд.
усеивал независимости криволинейного интеграла Ре(х )-Яе(д — О Но, согласно лемме, 1пп ~Рс(х+1)с(д= ~Рс(х+Яг(д, 7=-1, ..., й, б бх е т l и, следовательно, В т ~ Р е(х+ Я г(д = ~ Р е(х+ Я е(д, б. 01 т поэтому ( +а (д=о. (-) Иногда условие — = — называют критериеж полного диффе- дР дЯ ду дл ренциала в односвязной области, поскольку согласно теоремам 3 и 4 эта условие необходимо и достаточно для того, чтобы выражение Р4х+ЯЬ1 в области 6 являлось дифференциалом некоторой функции и(х„д), (х, д) е= 6, В заключение этого пункта отметим, что требование одно- связности рассматриваемой области при доказательстве достаточности условий теоремы 4 для независимости криволииейногэ интеграла от пути интегрирования является существенным и его нельзя отбросить.
Подтвердим это примером. Х Пример. Пусть Р(х, д) =- —... Я(х, д)= Легко проверить, что 80 др дх ду (47.40) такую область можно разбить на треугольники, которые, очевидно, являются элементарными относительно .обеих координатных осей областями. Следовательно, в этом случае выполняются предпосылки теоремы 1 п. 47.3.
Любая же замкнутая кусочно-гладкая кривая у, лежащая и 6, может быть сколь угодно точно аппрокоимироваиа замкнутыми конечнозвенными ломаными, поэтому предельным переходом равенство (47.39) может быть получено и для любой замкнутой кривой иа 6. Проделаем это. Пусть у — кусочно-гладкая замкнутая кривая в области 6, заданная некоторым представлением г(1), а(1 -Ь, и являющаяся объединением гладких кривых у„..., ' у». Впишем в каждую кривую у~, 1=1, 2, ..., /г, ломаную Х;, Объединение всех ломаных Л7, 7 =1, 2, ..., lг, образует замкнутую ломаную ), соответствующую некоторому разбиению т отрезка [а, Ь].
В силу дока- занного л!6 4 47. Криволинейные интеграла для всех точек плоскости, исключая начало координат (О, 0). Это следует, например, из того, что е((агс1д-~-~ = ~, +е ", ке+уе->О. (47.41) Таким образом, в этом случае за область 6 можно взять всю плоскость с «выколотым» началом координат: 6 = 17", ((О, 0)).
Область 6, очевидно, ие одиосвязна, В качестве замкнутого контура возьмем единичную окружность у,=(к=соз1, д=з1п1, 0~1~ 2п), тогда ~ Р (к+ () бу = ~ "„";+,""" = ~ Л = 2 . тв тв Ь Следовательно, в этом случае условия (47.40) выполнены, и существует замкнутый контур у„по которому интеграл не равен нулю. Нетрудно убедиться, что вообще по любой окружности у, радиуса г с центром в начале координат ) Ре(к+14е(у=2п.
(47.42) 7е Далее, каков бы ни был простой кусочно-гладкий контур 7, являющийся границей ограниченной области Г, содержащей начало координат (в этом случае говорят, что контур у содержит внутри себя начало координат), для него также ) Р дк+ Я г(у = 2п. (47.43) Для доказательства этого возьмем окружность 7, такого радиуса г, что у„с: Г; тогда 7 и 7, не пересекаются. Соединив контуры у и у, отрезками Х, и )е„как показано на рис.
197,— получим два замкнутых контура ут и у„не содевжащих внутри себя начала координат и состоящих из дуг у, и у," окружности 7„ частей У' и 7" контУРа У и отРезков Х, и ее. В силу условия (47,40) для этих контуров справедливы равенства ~Рбк+Ябу=О, ~Рдк+Яе)у=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
