kudryavtsev2a (947416), страница 39
Текст из файла (страница 39)
16) Сложив (47.15) и (47.16), мы получим формулу Грина (47.12) для рассматриваемого случая. Рассмотрим общий случай. Пусть область С разбита на области 6(, ('=1, 2, ..., й, указанного в условиях тсоремы вида. В силу доказанного для каждого 1=1, 2, ..., й ~ ~ (в)-,- — -„— „)((хФ вЂ” ~ Р((х+(~г()7 с) При этом получилась ориентация граничного контура у, при которой следуют последовательно одна за другой точки А, В, С, В. Эта ориентация является положительной (см. определение 6) и обозначается через 7'. Совершенно аналогично, исходя из того, что область 6 элементарна, выводится формула у В7.
Криволинейные интегралы щей в )с",6, то — внутренним'. Твк, на рис. 193 .,контур т, внешний, а контУРы Та и тг, внУтРенние. Если граница области 6 состоит из внешнего контура у, и внутренних контуров у», у„, ..., 'у, и если область 6 может быть разбита на конечное число элементарных относительно обеих координатных всей областей с кусочно-гладкими границами, тв справедлива формула ы (дх д )~йхйу ~ Рйх+Яйу+ л~~ ~ Рйх+Яйу (47,19) в 7 е 7=1»вЂ” и Функции Р и 1г, как и выше, предполагаются непрерывными ду дб вместе со своими производными — и — в замкнутой области 6. ду дх Доказывается эта формула так же, как и (47.12), если только заметить, что в сумме, стоящей в правой части равенства (47.17), останутся криволинейные интегралы, по положительно ориентированным частям внешнего контура и по отрицательно ориентированным частям внутренних контуров (см.
рис. 193). Отметим еще, что в формуле (47,19) все контуры (как внешние, так и внутренние) ориентированы таким образом, что при их обходе область интегрирования остается слева. Определение 7. Пусть граница дС ограниченной плоской области С состоит из конечного числа простых кусочно-гладких кснтуров. Совокупность дтих контуров, ориентированных так, что при обходе по каждому из них область 6 сстается слева (справа), наывается положительной (отрицательной) ориенпгацией границы 6 и обозначается также д6 (соответственно — дС).
Формулу Грина можно распространить и на еще более широкий класс областей. Для этого заметим, что в силу доказанного формула Грина справедлива для треугольника, а значит, и для любого многоугольника. Поэтому предельным переходом, аппроксимируя границу области конечнозвенными ломаными, можно получить формулу Грина для любой области (н даже просто открытого множества), граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых, Мы, однако, не будем останавливаться на доказательстве этого факта, а ограничимся лишь его формулировкой.
При этом, используя определение 7, мы запишем формулу (47.19) в более компактном виде. Теорема .1'. Пусть граница плоской ограниченной области С состсшп из конечного числа кусочно-гладких кривых. Тогда, если функции Р, Я, — и — непрерывны на О, то др дЯ д д (дх ду) с да где дС вЂ” положительно ориентирвванная граница области 6. 47,6. Вычисление площадей е псгмощью криволинейных интегралов 26В У п р а ж н е н и я.
С помощью формулы Грина вычислить следующие криволинейные интегралы, где à — простой замннутый контур, состоящий из частей кривыи, уравнения которых указаны для каждого интеграла (иаправление обхода контура — положительное 5. 1(хзу+х — у) дх+(уь+2х) ду; у=2, у=ха+1. 6.
д! — дх+21п хну! 2х+у=4, х=1, у=О. ру .) х 7. ~ . - -; у=х, х=2, у=!. гдх ду дуя х1 47.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ Положив в формуле Грина Я=х, Р=О, получим ~) г(хг(у= о = ~хг(у и, следовательно„ т+ Р6 = 1 х г(У. (47.20) Аналогично, положив Р = — уг Я=О, получим рб = — ).у,г(х. т (47.21) Складывая формулы (47.20) и (47.21), будем иметь )гб =-- ~ х у — уг( . (47 22) Примеры. 1. Найдем с помощью формулы (47.22) площадь, хз оз ограниченную эллипсом —, + —, = 1. Используем его параметрическое представление: хе асоз1, у=ба(п1.
Применив формулу (47.22), получим искомую площадь: ~=2 ) хе(у — у'(х=йаб (соз 1+з(п 1)г((=по(г. 1 Г 1 тч Формула Грина является для кратных интегралов аналогом формулы Ньютона — Лейбница для однократных интегралов: и в той и в другой формуле интегралы от производных по области интегрирования выражаются через значения функции на границе указанной области (в случае формулы Грина эти значения еще интегрируются). р 47. Криволинейные интегралы 204 Сравнивая этот метод вычисления площади, ограниченной эллипсом, с приведенным раньше (см. пример 4 в п.
32.1), легко убедиться, на сколько здесь меньше объем вычислений. 2. Найд и пло1цадь, ограниченную астроидой (см. в т. 1, рис. 75) х=асоза(, у=айна!, 0==1~2л. Замечая, что здесь возрастание параметра 7 соответствует положительной ориентации контура, имеем: 1 Г Зиа Г 3=- ~ хйу — ус(х= — — ~ (созе(з!па(+з)пе!созе!)с(7= 2 о 2 ть о тн ти Зиае . в Зиь Р Зии* — гйпа 21 й = — (1 — соз 47) сй =— о У и р а ж н е н н я. С помошью нрнволннейного интеграла вычнслнть пло шаль фигуры, ограниченной линиями: 8. х=Н, у=И, х=1, у=о. 9. уе=4 — х, х=1, у= 1 (в первой четверти).
47,7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЗНАКА ЯКОБИАНА ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ Пусть Š— взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение плоской области 6 с: !т'„„в плоскость )т",е с якобианом, всюду в 6 не равным нулю. Тогда в силу принципа сохранения области множество 6* = )г(6) также является областью (см. п. 41.8), а якобиан, в силу его непрерывности, сохраняет знак на 6 (см. теорему 4 в п. 19.5), т. е. либо всюду на 6 положителен, либо всюду отрицателен.
Пусть в координатной записи отображение Е задается формулами х=х(и„о), у=у(и, о). (47.23) Лемма \. Если у — кусочно-гладкая кривая, лежащая в 6, то ее образ у* =Е(Т) ири отображении Е также будет кусочно-еладкой кривой. Доказательство. Пусть сначала Т вЂ” гладкая кривая, т. е.
непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек (см, опре- деления 15 и 16 в п. 16.4), и пусть и=и(!), о=о(7), а<!(Ь, — некоторое ее представление. Тогда на отрезке [а, Ь! функции и(!) и о(!) непрерывно дифференцируемы и 1„- ! +1„-)-~ )О. Представлением кривой те = Е (у) будет являться йара функций х=х(и(1), о(7)), у=у(и(7), о(!)), аи (~Ь, 47.7. Геометриеескиа смысл знака якобаана отображения 205 которые в силу свойств композиции непрерывно дифференцируе- мых функций (см. и.
19.3 и 20.3) также будут непрерывно диф- ференцируемыми. Покажем, что кривая у* также не будет иметь особых точек. В самом деле, поскольку дх дх ди дх до Ф ди Й да е) ' ду ду ди ду до Ф диду дсй' то, рассматривая эти равенства как систему линейных уравнений ди бо относительно — и —, видим, что если в некоторой точке г я [а, Ь) дх с(у выполнялись бы равенства — = -- = О, то в силу необращения М Ж в ноль якобиана дх дх ди до ду ду ди до д(х, у) д(и, и) указанная система имела бы единственное решение, которым является нулевое решение, т. е. в той же точке г были бы спради дс ведливымн равенства — = — - = О и тем самым соответствующая сЫ др точка кривой у была бы особой, что, по предположению, невозможно. Итак, если кривая у — гладкая, то кривая у*=г (у) также гладкая.
Отсюда сразу следует, что образ кусочно-гладкой кривой при рассматриваемом отображении является также кусочно-гладкой кривой, ибо кусочно-гладкая кривая (см. определение 16 в п. 16.4) представляет собой объединение конечного числа гладких кривых. Д Пусть, теперь, Г <: тл, à — ограниченная область, и ее граница дГ является простым кусочно-гладким контуром у (такие границы называются кусочно-гладкими). Пусть далее, Ге =Р(Г). Тогда в силу принципа сохранения области множество Г* — также область, и кроме того, ее граница дГ* есть образ границы дГ области Г (см. лемму 1 в п.
46.1), т. е. дГ*=-Р(дГ). Поэтому граница дГ* также является простым (в силу взаимной однозначности отображения г) кусочно-гладким (согласно лемме 1 этого пункта) контуром у*. Следовательно, по контурам у= дГ и у* = = д Г* можно вычислять криволинейные интегралы. Пусть области Г и Г* таковы, что к ним применима формула Грина, например, они удовлетворяют условиям, налагаемым на область в теореме 1 п. 47.6. (На самом деле, как уже отмечалось, при сделанных предположениях формула Грина всегда применима, однако это не было доказано).
Ф 47. Криволинейные иигеерахы Обоаначим через-у каи обычно, положительно ориентирован- ный контур 7 (см. и. 47.5). Пусть и = и (1), о = о (1), а ==-1 » Ь, — представление контура 7+ и, следовательно, х = х ) и ((), о (1)), у = у(и Я, о (1)), а ~1 — Ь, (47.24) — некоторое представление контура уа. Будем предполагать еще, что существуют смешанные произдеу деу водные — ' и — и н что они непрерывны, а следовательно, и равны друг другу во всех точках области О. Согласно формуле (47.20), рГ' = а ~ х е(у, (47.25) где е= — +1, если ориентация контура уа положительна, и е =- — 1 в противоположном случае.
Иначе говоря, е = + 1 (соответствеино е = — 1), если положительному обходу данного контура 7 соответ- ствует при отображении (4?.23) положительный же (соответственно отрицательный) обход контура уа = Р (7). Преобразовав интеграл (47.25) по формуле (47.8) и исполь- зовав представление (47.24) контура 7*, будем иметь: )хГ* = е ) хУе Ж = е ) х (д — „р + д;, р) Ю = а а =е ~ х — е(и+х — е(о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
