kudryavtsev2a (947416), страница 43
Текст из файла (страница 43)
» о» (48.6) Формула (48.6) позволяет найти величину интеграла +о» ~ е-"'с(х, называемого интегралов» Пуассона *1 и часто встречающегося в " приложениях. Действительно, обозначая через В» квадрат ! х ~ «= й, ! у ! ~ и, й = 1, 2, ..., и применив к интегралу по 0» от функции е "* в* формулу сведения кратного интеграла к повторному (см.
п. 45.1), получим 1 = )') е-'-в* г(х г(у = 1пп Я е-"' е' дх ду = и' » сов ~1 1 г*~ с -~н гт н 1 (1 *'г*) -"ей= -» » о»»Х» / »»»»»»+о»»» =1(тп~ ~ е-"*г(х~ =~ ~ е-н»с(х) . » о», »» — о» *' С. П у а с с о и (1781 — 1840) — фр иииуэскиа физик и математик. Перейдя в атом неравенстве к пределу при й — » со, получим 11' 12" Подобным же образом доказывается н неравенство 1»== 1,. П Пример. Рассмотрим интеграл 1=Де-" — г*г(хг(у. Положим лэ 6» = ((х, у): х»+ у»( /ге), й = 1, 2,,... Эта последовательность является последовательностью открытых квадрируемых множеств (в данном случае просто кругов), монотонно исчерпывающей всю плоскость 1(е.
Пусть 1» = )) е-"'-»* дх г(у. Перейдем к полярным координатам: 48.2. Несобственно«е интегралы от неотрицательных фуннцы«т 223 Поэтому из (48.6) сразу следует, что +о« е-х' «(х Теорема 2 (признак сравнения). Пусть на открытом л«ножестве б выявляя«о«ися неравенства О -~(х) ='д(х), х ен б. Тогда иа сходимости интеграла ~д(х) «(б следует сходимость интеграла )Г'(х) Иб, а иэ расходимостии интеграла ~~(х) «(б следует расходимость интеграла ~д(х) «(б.
Эта теорема доказывается аналогично подобной теореме в одномерном случае (см. п. 33.3). В качестве примеров и эталонов для сравнения с другими интегралами рассмотрим интегралы Вх«" Вхн (48,7) х1+ ... х„)1 ()/ хх«+...+х")~ (48.8) х1+... + хд(1 ()/х«х+... +хй«)" ' Первый интеграл берется по внешности единичного шара; второй — по его внутренности. Для исследования этих интегралов удобно ввести сферические координаты р, «р„..., ф„з в и-мерном пространстве.
Они вводятся по формулам соз фз соз «рп х,=рсоа р„,созф„з... хе =9 сов фх-т сов фн з... сов фз з(п фз хз = р соз фх-з спв фн-з... соз фз зш фм (48.9) х« = рсоа «р„„...соз «р; вйп ф« „ х„=р Йп«р„„ где О р С+со Окф,<2п 2 — —" == ф, (-й «1= 2, 3, ..., и — 1. С помощью этих формул декартовым координатам х„, ..., х, точки пространства сопоставляются сферические координаты р, «р„..., «р„„и обратно. При этом следует иметь в виду, что, подобно полярным координатам на плоскости, здесь не существует полного взаимно однозначного соответствия между множествами п чисел (х„..., х„) и (р, «р„..., «р„,). Отметим, что р=)/х,*+...+хйз а 4В.
Несобственные кратные интегралы Элементарными, но несколько громоздкими вычислениями, которые ие будем здесь приводить, можно показать, что якобнан этого преобразования имеет вид д(хь хг* " хл) л г ) = 1эл СОВ 7г СОЗ ~>г... Созе Ч'л-г Положим для краткости Ф(фг, ..., тел 1) =соаресов фз...соа фл-и Легко убедиться, что Ф(тр„..., ~р„г) )0 и что гл нтг нег с= ~ ') ... ~ Ф(~рг...~р„,)г(ср,...с(ср„, з О. о — лтг — лтг Это сразу следует из свойства 9 кратных интегралов в п. 44.6. Исследуем теперь сходимость интеграла (48.7). В качестве последовательности открытых измеримых множеств бм й = 1, 2,..., монотонно исчерпывающей внешность единичного шара Я, возьмем последовательность множеств лгн=1к=(р фо ° ., <рл-т): 1+ ~-н" р<)г~, й=1, 2, 1 Перейдем к сферическим координатам: бхт ° ° бхл д ()/х1+...+х„') л гл лгг н/2 рл-1-аФ (<р трл-г) с(р Йрг ° ° ° с(Чл-г = 1+ ~ о -лр -лп и = с ~ рл-г-а с(р 1+— Таким образом, вопрос о сходимости интеграла (48.7) свелся к сходимости интеграла ~ рл-'-ас(р, который, как известно (см.
1 п. 33.3), сходится при и — 1 — к — 1, т. е. при сх) и, и расходится при се=-и. Итак, доказана следукяцая лемма. Лемма 1. Интеграл (48.7) сходится, если а больше разгнерности пространства, и расходится в противногл случае.
Рассмотрим теперь интеграл (48.8). Положив 1 11 6и =-(к=(Р, тсо " ссл-г): 1, (Р(1 — 1(, й=3, 4, ..., 48.2. Иесобссеенные ннгеереяы ог сдунсссСнй, менясосяея Онов 225 получим ~ () ",— -+'-.) 1 Н 1— я 2н 2 2 ~ ... ~ р"-'-'От(22, , срв-1)с(рдсрг" сйрв-в= 1 О н В 2 2 1 !в в =с ~ р" ' "ар. Таким образом, вопрос о сходимости интеграла (48.8) свелся 1 к сходимости интеграла ~ р"-'-" др. Этот иит"грал, как известно, о сходится, если и — 1 — а) — 1, т. е.
ссли сс 'и, и расходится в противном случае. Полученный результат сформулируем снова в виде леммы. Лемма 2. Интеграл (48.8) сходится, если сх мгньсие размерности пространства, и расходится в противном случае. Подобно одномерному случаю (см. п. ЗЗ.З) с помощью интегралов (48.7) и (48.8) можно сформулировать критерии сходимости несобственных кратных интегралов, однако мы не будем на этом подробно останавливаться. 48.3. несОБстВенные интеГРАлы От Функций~ Гиеняющих знАк Легко видеть, что 1И вЂ” У 2 0(~ (х) ((Г(х) 1а (Г" (х)(=~в(х)+Г (х). 17~+7 11- = 2 О ( ~,. (х) ~ (г" (х) (, )'(х) =-~в(х) — Г (х), (48.10) (48.11) (48.12) Из формул (48.10) следует, что если функция ) интегрируема, по Риману, на некоторой измеримой по Жордапу области, то и фУПКЦИИ 1в И Г ИитЕГРИРУЕМЫ ПО РИМаНУ На Этай ОбЛаетИ; ИЗ В нтдрнвцев л.
д. т. 2 О пределение 3. Несобственный интеграл ~ )' с(О называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл ~ ~~(дб. Для изучения абсолютной сходимости интеграла от функции Г (х) нам будут полезны функции ~1. (х) = 1(х), если Г (х) ) О, )' — Г (х), если 1" (х) ( О, О, если 1(х)(0, ( О, если 1(х))0. Г (х)= 228 б 48. 11есобствеаные кратные нытегралы первой формулы (48.12) следует обратное утверждение. Поэтому из (48.10) — (48.12) следует, что интеграл ~~с(6 абсолютно сходится тогда и только тогда, когда сходятся интегралы ~ !'+с(6 и ~~ д6.
Как и в случае несобственных интегралов от функпин одного переменного, из абсолютной сходимости кратного интеграла следует его сходимость (при этолт, конечно, рассматриваются только такие функции, которые интегрируемы на каждом открытом измеримом множестве, содержащемся вместе со своим замыканием в открытом множестве, по которому производится интегрирование). Это сразу получается на основании формул (48.11), первой формулы (48.12) н из теоремы 2 настоящего параграфа (слт. п.
48.2). Однако для кратных несобственных интегралов справедлива и обратная теорема. Теорема 3. Если кратный интеграл )1'с(6 (а=-2) сходатся, то он и абсолютно сходится. Эта неожиданная на первый взгляд теорема связана с отличием определения несобственных интегралов от функции одного и п переменных (и)1), указанных в начале этого параграфа»>, Доказательство теоремы. Пусть интеграл ~ ~ с(6 абсолютно расходится, т. е.
для некоторой (а значит и для всякой, см. теорему 1 в п. 48.2) последовательности открытых измеримых по Жордану множеств 6ю й=1, 2, ..., монотонно исчерпывающей открытое множество 6, имеем 1пп ~ )11 г(6» — — + ссз. » со Без ограничения общности (переходя, если надо, к подпоследовательности) можно предполагать, что ~ ~ ~! г(6»ьз ) 3 ~ ~ ~ ) Ю»+ 2И, й = 1, 2, ... ° (48.13) Пусть А»=6»гь" 6»; тогда А» — открытое измеримое ьтожество, и так как 6»с6„„то (рис. 199) 6»з»=А»06», и, следовательно, ~ ~ П й6» = ~ У ~ дА + ~ Ц,' й6». Отметим, однако, что можно было бы н в п-мерном случае получить ту же связь между сходнлзостыо н абсолютной сходнмосзью интеграла, что н в одномерном случае, если соответствуюшнм образом ввести определение несобственного п-кратного интеграла.
Например, в случае интегралов по всему пространству для »того достаточно в определении ннтеграла в качестве злементов монотонно нсчерпываюшей последовательности брать только и-первые шары с центром в начале координат. Впрочем, если применить к одномерному интегралу определение несобственного интеграла, данное в и. 48.1, н понимать одномерный ннтеграл Римана в смысле 4 44, то теорема 3 вместе с ее доказательством будет справедлнвой в нрн и=1. 48.З. Иееобесвенн»се инге»ров»с ог фйесниссй, неннсоиСие анан 227 Отсюда в силу неравенства (48.13) ~ ~ ~( с(А»:» 2 ~ ~ 7~ с(б»+2(с.
Используя вторую формулу (48.12), получим ~ ~е с(А»+ ~ 1- с(А» ) 2 ~ 1 ~ ! с(б»+ 2й. Пусть для определенности ~~с с(А»~')1.с(А»; тогда 2 ~~»с(А») ~)»с(А»+~~ с(А» >2~~~~с(б»+ 2й, и, следовательно, ~1»(А»- К б»+й. (48.14) Рис. 199 Выберем указанное разбиение т открытого измеримого множества А» таким, чтобы все элементы Е; этого разбиения также были открытыми измеримыми по джордану множествами — это всегда возможно (см. п. 44.4). Обозначим через Е," те множества Есент, для которых Г»®~0 во всех точках $енЕ,; тогда„ выбиРаЯ $с ~ Е;Ф Е; так, что 7'($с)=0, полУчим Х 1 (Ы)»Е»)~!1~ (б +К (48.15) с где (а также и в дальнейшем) знак «штрих» у суммы означает, что суммирование распространяется только на те индексы с, для которых Ес=Е".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
