kudryavtsev2a (947416), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Определение 3. Пусть г(М), М аР и р(Мг), М, енРг — два представления некоторой параметрически заданной поверности В и Р— отобуажение Р на Рг, осУЩествлЯюи1ее их эквивалентность (см. определение 1). Если М,=Р(М), МяР, М,яРг (тачка М, а поэтому и точка М, фиксированы), и, следовательно, г (М) = р(М,) = Р ~ )св, то пары (Р, М) и (Р, М,) называются эквивалентными и пишется (Р, М) (Р, М). Легко проверить, что 1) (Р, М) (Р, М); 2) если (Р, М) (Р, Мг), то (Р, Мг) (Р, М); В0.2ч. Пара«стра«вски заданные поверхности 237 3) если (Р, М) (Р, М,), а (Р, М») (Р, М,), то (Р, М) '(~ ~ М»)' Если (Р, М) (Р, М,) и М вЂ” внутренняя (граничная) точка замкнутой области 0, то, согласно определению 1, М» также является внутренней (граничной) точкой замкнутой области 1»,.
Определение 4. Пусть 5 — параметрически заданная поверхность. Всякая совокупность ((Р, М)), М е= ст, всех эквивалентно»к между собою пар (Р, М) (точка Р ен )ч» фиксирована) называется точкой данной поверхности Ю, а точка Р— ее носителем. Точка ((Р, М)), М ен0, поверхности В называется внутренней (краевой) если каждая точка М является внутренней (граничной) точкой соответствующей замкнутой области О. Каждая точка ((Р, М)), Мень), параметрически заданной поверхности 8=(г(М), М ~ 0) однозначно определяется каждой парой (Р, М) ~((Р, М)), и поскольку в этой паре Р=г(М), то каждая точка параметрически заданной поверхности Я при некотором заданном ее представлении г(М), М ен 1т, однозначно определяется точкой М, причем точка Р = г(М) является носителем рассматриваемой точки поверхности. Поэтому для краткости точки параметрически заданной поверхности будут, как правило, обозначаться не символом ((Р, М)), а просто г(М), или, что равносильно, г(и, о), где М=(и, о).
В силу сказанного это обозначение имеет однозначный смысл. Определение 5. Совокупность всех носителей всех точек параметрически заданной поверхности 8 называется носителем мной поверхности. В силу условия (50.2) носитель параметрнчески заданной поверхности (являющийся, очевидно, некоторым множеством точек в пространстве яз) однозначно определяется каждым ее представлением, Определение 6. Точка Р ~ Пз, являюи(пяся носителем двух разных точек параметрически заданной поверхности 3, называется кратной точкой или, что то же, точкой самопересечения носителя параметрически заданной поверхности. Возвращаясь к определению поверхности, данному в п. 50.1, видим, что то, что там было названо «непрерывной поверхностью», в нашей новой терминологии называется «носителем параметрически заданной поверхности». Попытка ввести понятие «точки поверхности» для поверхностей с кратными точками приводит в том или ином виде к определениям 4 и 6.
Отметим, что понятие параметрически заданной поверхности с кратными точками очень удобно при рассмотрении ряда вопросов, изучаемых в последующих параграфах. В дальнейшем, там, где это не сможет привести к недоразумениям, «непрерывная поверхность» (см. п. 50.1), или, что то же, «носнтель параметрически заданной поверхности» (см. определение 5), а также <параметрически заданная поверхность» (см.
определение 2), будут называться просто поверхностью. У Зд. Элементы теории поверхностей Определим теперь понятие части поверхности. Определение 7. Пусть 5 — параметрически заданная поверхность «(и, о), (и, о) ев Р, — некоторое ее представление, Р'— область, содержащаяся в Р: Р' с: Р. Параметрически заданная поверхность 5', определяемая представлением г(и, о), (и, о) ев Р', называется часптью поверхности 5.
Как уже отмечалось (см. п. 50.1), понятие эквивалентных отображений замкнутых плоских областей можно вводить пе только для непрерывных отображений, но и для других классов отображений, например для непрерывно дифференцируемых. В применении к параметрически заданным поверхностям это приводит к непрерывно дифференцируемым поверхностям. Их определение базируется на понятии отображений, эквивалентных относительно непрерывно дифференпируемых преобразований. Определим это понятие. Как и раньше (см. п. 39.3), под функцией, непрерывно дифференцируемой в замыкании некоторой области, будем понимать такую функцию, которая имеет непрерывные в самой области производные, непрерывно продолжаемые на ее границу.
Отображение некоторой замкнутой области называется непрерывно дифференцируемым, если каждая координатная функция, задающая это отображение (см. п. 41.4), является непрерывно дифференцируемой функцией на рассматриваемой замкнутой области. При этом продолженные функции в этих случаях обозначаются теми же символами, что и исходные продолжаемые функции. Если некоторое отображение и,=т)т(и, о), от= ф(и, и) непрерывно дифференцируемо на замыкании Р области Р, то, согласно сделанному соглашению, это означает, в частности, что якобиан д(ч, Ф) — этого отображендя непрерывно продолжаем с области Р д(и, о) иа ее замыкание Р и его продолжение, обозначаемое тем же д (ет, тЬ) символом, Ч ' , также будет называться якобианом . ' д(и, о)' Прежде всего надо сформулировать, что будет пониматься под эквивалентными непрерывно дифференцируемыми отображениями.
Для этого введем понятие регулярных отображений. Определение 8. Гомеоморфное отображение г замыкания Й плоской области Р на замыкание Пт плоской области Р„переводящее внутренние точки во внутренние, а граничные — в граничные, называется регулярным отображением замкнутой области Р на замкнутую область Рь если как само зто отображение г, питк и обратное ему г-' непрерывно дифферениируемы соответспменно на замкнутых областях Р и Р,. Заметим, что всякое регулярное отображение г" замкнутой области Й имеет во всех точках области Р не равный нулю якобиан. Действительно, согласно определению 8, при отображении г образ каждой внутренней точки является внутренней 239 БО.2", Пороястричсски виденные поверхности точкой. Поскольку в этих точках прямое и соответственно обратное отображения непрерывно дифференцируемы, то нх якобианы не могут обратиться в ноль, ибо их произведение равно единице (см.
п. 41.7). Отсюда следует, что якобиан регулярного отображения Р не равен нулю и на замкнутой области П. Действительно, в силу непрерывной продолжаемости якобианов как прямого„так и обратного отображений соответственно па замыкания П и г (Р) областей Р н г" (Р) произведение этих якобиапов равно единице и для всех точек замкнутой области П.
Мы уже встречались с регулярными отображениями замкнутых плоских областей специального вида, например, в п. 46.1. Определение 9. Пусть ( и )з суп(ь непрерывные отображения замыканий П и П, плоских областей Р и Р, в пространство )(з и пусть эти опюбражения непрерывно дифференцируемы в замкнупиях обласпгях П и Пы Отображения Г и )х называются эквивалентными относительно непрерывно дифференцируемых преобразований, если сушествует такое регулярное отображение г" замкнутой области П на з мкнутую область П„что для каждой точки М ~ П выполняется условие (60.1). Теперь можно определить непрерывно дифференцируемую поверхность.
Определение 10. Всякое множеспио оптображений г (и, о) замкнутых плоских областей П в трехмерное пространство Кз непрерывно дифференцируемых и эквивалентных относительно непрерывно дифференцируемых преобразований называется параметрически заданной непрерывно дифференцируемой поверхностью 5, а каждое из указанных отображений г(и, о) наыявается представлением этой поверхности и пишется, «ак и раньше, 5=(г(и, о); (и, о) еиП). Подчеркнем, что если поверхность 5= (г(и„о); (и, и) АР) непрерывно днфференцнруема, то это, в частности, означает, что каждое ее векторное представление г=г(и, о), (и, о) е= П, имеет частные производные г„и г,*(, непрерывные в области Р и непрерывно продолжаемые на ее границу.
Поскольку, согласно принятому соглашению, продолженные функции обозначаются ю Такие понятия, как, например, непрерывность, предел, дифференцируемость естественным образом переносятся и на вектор-функции нескольких переменных. Так, функция г(и, о), определенная на области С, называется непрерывной в точке (из, о„) ча С, если )пп г(и, о)=г(из, ов). Производная (и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
