kudryavtsev2a (947416), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Безусловно, как отмечалось, кроме того предполагается, что от каждой поверхности 5с можно через конечное число шагов перейти к любой другой поверхности 5» переходя каждый раз с некоторой поверхности на одну из соседних с ней. Если 5 = (5с) — склеенная поверхность, то 'совокупность всех дуг, являющихся такими частями кривых д5ь что никакиеточки этих частей, кроме, быть может, концевых, не склеиваются нп с какими точками других кривых д5ь называется краем д5 склеенной поверхности 5.
Можно показать, что объединяя соответствующим образом указанные части кривых д5ь принадлежащие краю д5 поверхности 5 = (5с), можно получить конечное число замкнутых кривых (контуров). Иначе говоря, край склеенной поверхности состоит из конечного числа замкнутых контуров. Примером склеивания поверхностей может служить склеивание в сферу х'+у'+г'=-1 двух полусфер г=ф'1 — х' — у' и г= = — )Г1 — х' — у', ха+ух~1, по их краю, т. е. по окружности х'+у'=-1, г=О. Задавая уравнение этой окружности в параметрическом виде х=соз1, у=с(ос, г =О, 0 "'1==2п в качестве склеивающего гомеоморфнзма ср: 10, 2п]-т 10, 2п| можно взять тождественное отображение отрезка 10, 2я) на себя.
С помощью склеивания гладких поверхностей можно определить понятие кусочно-гладкой поверхности, Определение 23. Поверхность 5=(5;), склеенная из гладких поверхностей 5„..., 5, называется кусочно-гладкой поверхностью. Поверхность кругового цилиндра, поверхность параллеленис педа, дают примеры кусочно-гладких поверхностей. Прямой же круговой конус (50.27) нельзя разбить на конечное число склеенных гладких частей, поэтому он не является кусочно-гладкой поверхностью в смысле определения 23, Можно обобщить операцию склеивания поверхностей таким образом, что при формальном сохранении определения кусочно-гладких поверхностей для такой БОЛО.
Ориентируеные и неориентируемые новерхнооети обобщенной операции склеивания в класс кусочно-гладких поверхностей попадут уже и конические поверхности. Мы не будем на этом останавливаться и предоставим проделать это в случае необходимости самому читателю. 50.10. ОРИЕНТИРУЕМЫЕ И НЕОРИЕНТИРУЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ Очередной нашей задачей является определение понятия ориентации для поверхностей, склеенных из параметрически заданных поверхностей. Определение ориентации с помощью выбора непрерывной единичной нормали на поверхности оказывается в этом случае неудобным даже при отсутствии кратных точек и понимании непрерывности нормали, как ее непрерывной зависимости от точек пространства (а не параметров склеиваемых поверхностей).
Это связано с возможным нарушенисм гладкости поверхности па кривых, по которым происходит склеивание. Например, часть поверхности двугранного угла, изображенную на рис. 204, можно рассматривать как результат склеивания двух равных прямоугольников. Если стремиться по разным граням к одной и той же точке на ребре этого угла, то пределы соответствующих единичных нормалей получатся разные. Ниже будет дано такое определение ориентнруемой поверхности, при котором указанная поверхность будет ориентируемой.
Отметим, что при склеивании поверхностей даже «гладким образом» (т. е. когда для любой кривой, по которой произведено склеивание, в каждой ее точке можно так выбрать единичную нормаль, что она будет пределом соответствующим образом выбранных в окрестности этой точки единичных нормалей двух склеивающихся поверхностей) у склеенных поверхностей могут возникнуть качественно новые особенности: в отличие от параметрически заданных поверхностей в этом случае не всегда на всей поверхности можно выбрать непрерывную единичную нормаль, Примером такой поверхности является так называемый лист Мебиуса и~. Его можно получить, взяв прямоугольную полоску бумаги АВСО, один раз перекрутив ее вокруг оси симметрии М)т', параллельной сторонам ВС н АО и склеив ребро АВ с Сй (рис.
205). Правда, при таком способе образования лист Мебиуса получается в результате склеивания поверхности самой с собой. Однако нетрудно получить его и склеиванием, описанным в определении 22, двух прямоугольников АВЕг и РЕСВ (см. рис. 205). Одной из характерных особенностей листа Мебиуса является то, что у него имеется лишь одна «сторонатс его невозможно, как например боковую поверхность цилиндра, покрасить, скажем, Р т т ДРУ й "Р т.кР "' А, Ф, Мебиус (1790 — 1868) — немецкий математик и астроном. 5» 0 оО. Элеиенттн теорие поверхноетея на листе Мебиуса нельзя выбрать единичную нормаль, которая являлась бы непрерынной функцией точки пространства. Все приведенные соображения делают естественным попытаться дать такое определение ориентации поверхности, для которого поверхности, например, типа поверхности параллелепипеда оказались бы ориентированными, а поверхности типа листа Мебиуса— неориентированными.
Рис. 205 Обратим внимание на то, что лист Мебиуса может являться носителем параметрически заданной гладкой поверхности с кратными точками, и зта поверхность, как всякая гладкая параметрически заданная поверхность, будет ориентированной. Это, венечно, не имеет никакого отношения к неориентнруемости самого листа Мебиуса. 50,Ы. ВТОРОЙ ПОДХОД К ПОНЯТИЮ ОРИЕНТАЦИИ ПОВЕРХНОСТИ Перейдем к описанию другого подхода к понятию ориентации, основанного на склеивании поверхностей, края которых суть кривые. Пусть о'= (г=г(и, п);(и, о) ~,ст) — гладкая поверхность, краем которой является кривая. Положительная ориентация кривой дст=(и(г), п(е); а~~(~Ь) (т.
е. ориентация против часовой стрелки на плоскости и, о с правой системой координат) в силу отображения т(и(~), о(1)), а((~6, порождает вгюлне определенную ориентацию края до поверхности о. Эта ориентация края д5 поверхности 5 называется согласованной с ориентацией т= т„хе, ! т„хг,~ (см. определение 20) поверхности 5. Естественность зтого определения можно пояснить следуюшим сбразом. Рассмотрим явно заданную поверхность о: г =1(х, у), 60.11.
Второй иидхой и понятию ориентации поверхности 26! (х, у) ~0. Для нее (см. (50.10), (50.11) н (50.26)) )х 7и ! 1'!+11+)т' р'!+1-„'+Ю' )1 +11+(и„' Следовательно, созтй= '-»О, т. е. вектор нормали т Р !+1„+1; образует с осью Ог острый угол и поэтому согласован с положительной ориентацией края д5 поверхности 5 по правилу штопора: ориентация контура д5 соответствует направлению вращения ручки штогтора, а направление нормали т — движению самого штопора (рис.
206). Очевидно, что если ориентация ч рассматриваемой гладкой поверхности 5 согласована с ориентацией ее края д5, то ориентация — ч согласована с противоположной ориентацией кривой д5. Таким образом, за- й !! дание ориентации ч гладкой поверхности $ равносильно заданию ориентации кривой д5, являющейся ее краем, Поэтому ориентированный край д5 гладкой поверхности 5 будем так же как и непрерывную единичную 6 ' ' ! нормаль т называть ориентацией поверхно- ' ! сти 5. ! й ! ! Для негладкой параметрически заданной поверхности, краем которой является контур, его ориентацию можно принять за исходное определение ориентации самой по- Рис. 206 верхности. Пусть 5, и 5,— две гладкие поверхности, у которых края суть кривые, и пусть зти две поверхности склеены (в смысле определения 22) по кривым у„..., у„, являющимся частями краев поверхностей 5, и 5,.
Ориентации д5, и д5е поверхностей 5, и 5, называются согласованными, если каждаЯ из них поРождает на склеивающихсЯ кРивых Ть ..., У противоположные ориентации. Определение 24. Поверхность 5, склеенная из поверхностей 5ь ..., 5 называется ориентируемой, если существуют такие ориентации д5„..., д5 краев поверхностей 5„..., 5, чпю для любых двух соседних поверхноппей 5! и 51 их ориентации д5! и д51 согласовании Совокупность таких ориентаций, если она существует, называется ориентацией поверхности 5. Если указанной совокупности ориентаций д5, не существует, то поверхность 5 называется неоригнтируемой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
