kudryavtsev2a (947416), страница 52
Текст из файла (страница 52)
За основу этого определения взято. интуитивное соображение о том, что элемент площади т(Я данной поверхности (см. (50.24)), помноженный на косинус угла, который он «составляет» с плоскостью хОу, приближенно равен элементу площади т(хт(у этой плоскости (рис. 209), как было бы, еслибы речь шла о площадях плоской г фигуры и ее проекции. й Интегралы (51.6) будем обозначать общим символом ~ ~ Ф(х, у, г) дхгту.
(51 8) $ Так как (т, й)+( — т, й) =и и, следовательно, соз ( — т, й) = ф ~е тегГг = — соз(т„й), то из (51.7) получим ~ 1 Ф (х, у, г)егх е(у = Рис. 209 в" = — ~ ~ Ф (х, у, г) т(х т(у. (51.9) Аналогично поверхностным интегралам первого рода, поверхностные интегралы второго рода заведомо существуют, если функция Ф непрерывна на поверхности Я. Поскольку поверхностные интегралы первого рода не зависят от выбора представления поверхности, то поверхностные интегралы второго рода (51.6) не зависят от выбора представления ориентированной поверхности (нначе говоря, не зависят от выбора представления поверхности„ сохраняющего ее заданную ориентацию), но, конечно (51.8), при данной поверхности Я и данной функции Ф зависят, вообще говоря, от выбора непрерывной нормали т на поверхности, т. е.
от выбора ориентации поверхности (см. 51.9)). Выведем формулы, удобные для вычисления поверхностных интегралов второго рода. Предварительно заметим, что из (51.4), д . с, Онределенне и свойства ноеерхностнесх интегралов 515 и (51.5) и (50.22) следует, что д (х, у) д (х, у) д (н, о) д (и, о) соз(т, й)=тй— ~н~ ~тнХте( )тнХте! )сЕО РУ' поэтому $)Ф(х, у, г) с(хс(у=)сс)Ф(х, у, г)соз(тй)с(5= 3 3 =~~Ф[х(и, о), у(и, о), г(и, о))соз(тй)")с'Есх — Рхс(исЬ= 1 Ф [х (и, о), у (и, о), г (и, о)1 ' У)-с(и с(о.
(х, д(н, о) Таким образом, опуская у функций обозначения арг ме имеем р у нтов, ~ФЬ(у=Д~Ф"" "' (ибо В и, согласно (51.9), ~ ~ Фс(хс(у= — ~ ~ Ф „' У с(ис(о= ~ ~ Ф У' х) с(ис(о. (51.11) 3 о о Иногда интеграл ~) Фс(хс(у обозначается через ~)Фс(хе(у; в этом не з случае интеграл ~ ~ Фс(хс(у записывается в виде ~~Ф((ус(х. х— Б Таким образом, Ц у=ЦФд((„'„у))~ ' З о ~~Ф(у(х=~~Ф,'(" х) (и (.
3 о Если по ели поверхность Я задана явно непрерывно дифференцируе- мой функцией г= ((х, у), (х, у) сна, то формула (5!.2) прини- мает вид (см. (50.25)) ~ ~Ф(х, у, г) сй=~ ~Ф(х, у, 1(х, у)) )с 1+(хе+)вес(хс(у о а формулы (51.10) и (51.11) — вид: ~ ~ Ф(х, у, г)с(хс(у=)) Ф(х, у, 1(х, у)) с(хс(у, В ~ ~ Ф (х, у, г) с(х с(у = — ~ ~ Ф (х„у, ~ (х, у)) Нх с(у.
р д!. Поверхностные ннтеграеы Здесь 5т называется «верхней стороной поверхности 5» (она соответствует положительной ориентации т поверхности 5 при заданном ее представлении г=)(х, у), а 5- — «нижней стороной поверхносгпи 5» (она соответствует отрицательной ориентации — т).
Эти названия объясняются тем обстоятельством, что в случае явного задания поверхности е ~ й 10 1. = — 1, — )„У+й, 01 У„ и, следовательно Ь )» сто;»т„" »'~.н;-;ф' ~/~+а'-«)' поэтому соз(т, й)=, „)О. ),'1+1„+)е Отсюда видно, что угол между векторами т и й — острый, т. е. вектор т направлен «вверх» от рассматриваемой поверхности (см.
рис. 209). Подобно определению (51.7) определяются и другие поверх- ностные интегралы второго рода: ~~Ф(х, у, г) оут)г = ~ ~Ф(х, у, г) соз(т, 7)е(5, ~ ~Ф(х, у, г)с)ус(г = ~ ~ Ф(х, у, г) соз( — и, г')с(5, (51.12) ) ~ Ф(х, у, г) е(г Их= ~ ~ Ф(х, у, г) сов(т, )) г15, зт '3 ) ~ Ф(х, у, г) с(ге(х = ~ ~ Ф(х, у, г) соз( — т, /) с(5. Для этих интегралов аналогично проделанному выше получаем Ц Ф с(у с(г = — ~ ( Ф с(у е(г, ~~Фа(гс(х= — т))с Фс(гс(х, д(д, г) 1 (51 ° 1о) 'О ~ ~ Ф йг Нх = ~ ~ Ф," "' йи йо. з» о Различные задачи, приводящие к понятию поверхностного интег- рала второго рода, будут рассмотрены в $ 52. ал2. Поверхностные антеералы как лределы интегральных сумм 269 ви2.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КАК ПРЕДЕЛЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СУММ Поверхностные интегралы могут быть получены также и каи пределы соответствующих интегральных сумм. Пусть 5 — гладкая поверхность и г=-г(и, о), (и, о) ен Р,— ее представление, Р— квадрируемая область. Будем для простоты предполагать, что у области Р существуют сколь угодно мелкие разбиения, элементы которых — кварируемые области. Только такие разбиения и будут рассматриваться в настоящем пункте.
Возьмем какое- либо из указанных разбиений т=(Р()~( ((' области Р. Обозначим через 5(, (=1,, (ь, поверхность, задаваемую представлением г'=г(и, о), (и, о) енР(. Очевидно, что все 5, также гладкие поверхности (система те=(5()) (т называется разбиением поверхности 5).
Пусть функция Ф(г(и, о)) =Ф(х(и, о), у(и, о), з(и, о)) непрерывна на Р и (и(, он) ~0ь Ф;=Ф(г(иь о()). Обозначим через соз;(», й) косинус угла между нормалью» и ортом Л в точке г(и;, о() данной поверхности н положим он'= Я Фйб5о (=1 сь о,'"= ~,' Фтсоз;(», й) р5;; тогда 1пп он' = ~ ~ Ф (х, у, г) с(5, б -а 1ип о,"'=1~ Ф(х, у, 2)((х((у, б;О (51.14) (51.15) где, как всегда, б,— мелкость разбиения т. Действительно, (=( о. ( *..«т,е(,=((тес — е е е., * и( он = ~ч „'Ф( ~ ~ 1г'ЕС вЂ” Рйи с(о= =,У', ~ ~ Ф(г(иь о()) Р'ЕС вЂ” гейм((о. е) )е Ф (х, у, г) с(5 = е )) Ф (г (и, о)) У г"С вЂ” г ' ((и ((о = з О и Г ((а( (, ((Ь ее — е'е ек у ВС.
Поверхностные интегралы 270 Обозначив теперь через со(6; Ф) модуль непрерывности функции Ф на замкнутой области сл, будем иметь !. ~ ~ Ф (х, у, г) д5 — ао' ~ ~ =- У', ~ ~ !Ф(г (и, о))-Ф(г (и;, ос))Д/ЕΠ— гас(и сЬ:== с=! ос !'е ==со(6.„Ф) '~, 'р5с=со(6с! Ф) р5. с=- ! Перейдя в этом неравенстве к пределу ори б,-с-О и заметив, что 1!т со(6,; Ф) =О, получим формулу (51.14). ь, о Айалогично доказывается формула (5.15) (произведение Ф сов(т, й) непрерывно, а значит, и равномерно непрерывно на.0).
Подобные утверждения справедливы и для интегралов второго рода других типов (15.12). У п р а ж н е к и е !. Доказать формулу (ь! . 15). В!.3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО КУСОЧНО-РЛАДКИМ ПОВЕРХНОСТЯМ Определим поверхностные интегралы по кусочно-гладким по- верхностям. Определение 3. Пусть 5 = (5с)с~ а! кусочно-гладкая поверхность (см. определение 23 в и. 50.9) и Ф(х, у, г) — функция, определен- ная на множестве точек поверхности 5. Тогда, по определению, ~~Ф 5= ~", ((Ф 5,. (51.15) в с=! вс Определение 4.
Если кусочно-гладкая поверхность 5 = !5с)1 ориентируена и 5+ = (5,")с: ! — одна из соответствующих ей ориен- тиросанных поверхностей (обозначения сн. в и. 50.1Ц, то, по определению, ~)Факс(у=~ ~)Фссхду, ))Фа!ус(г=~~', ~)Фс(ус(г, в+ с=! зь с в+ с= ! з+ ~ ~ Ф асг дх = '5; ~ ') Ф асг с(х. (51.! 7) вс с=.! вр Конечно, это определение содержательно только в том слу- чае, когда интегралы, стоящие в правых частях равенств, существуют.
Для этого, прежде всего, представления поверхностей 5с должны быть заданы на квадрируемых областях. д!.3. Поверхностные интеералы по кусочно-гладким поверхностна лт! Аналогично в рассматриваемом случае определяются и интегралы по поверхности Я-=(В,),'=!. Мы остановились только на тех свойствах поверхностных интегралов, которые связаны со спецификой их определения, с поверхностью, по которой, как говорят, производится интегрирование. Естественно, что, поскольку оии сводятся к обычным кратным интегралам, на них переносятся и различные их свойства (линейность, интегральная теорема о среднем и т, п.). Замечание. Условия, налагаемые на отображения, осуществляю:цие допустимые преобразования параметров для гладких поверхностей, сформулированные нами выше (см.
определения 10 в и. 50.2 и 1б в п. 50А), часто оказываются слишком жесткими (ср. с подобным обстоятельством для кривых в п. 47.3). Например, при таком подходе представления части шара единичного радиуса с центром в начале координат, лежащей в первом октанте: г=)Г1 — х' — у', где хе+у'(1, х~О, У~О и х=тсоз!рсозср, у=гсозфз!п!р, х=гз!пф, где 0(ср~ —, О~ф~ — не эквивалентны. Более того, первое представление не определяет в указанном смысле непрерывно дифференцируемую поверхность, поскольку частные производные функции г =')Г1 — х' — у' не ограничены в области О = = ((х, у): х'+у' -1, х)0, у)0) и не могут быть непрерывно продолжены на ее замыкание О. Поэтому естественно расширить определение непрерывно дифференцируемой поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
