kudryavtsev2a (947416), страница 55
Текст из файла (страница 55)
ВйЗ. Формула Остроградского — Гаусса Теорема 1 (Остроградский — Гаусс* )). Пусть в замыкании (г' области б указанного выше вида заданы функции Р= Р(х, у, г), 9=(с(х, у, г) и й=й(х, у, г) непрерывные на 6, вместе со др д!7 д!7 аа! своими частныл!и производными —, —, — . Тогда дк ' ду ' дг ~ ~ ~ ~ — + — + — дхс(убг = ~ ~ (Рсозсс+Ясозр+Псозу)Ю. о (52.12) ,9ту формулу, пологом а=(Р, сс, П), можно переписать в виде 1)1 б(у а бх ду бг = 11 а есЮ+, (52.13) о 3 т. е. интеграл по области от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через поверхность, ограничиваюи(!ую данную область. Доказательство.
Рассмотрим, например, интеграл ~ ~ Ядх дубе. Использовав обозначения, введенные в начале этого пункта, получим ГЕ!" л! ЦЛ 'й"*=!!( 1 ж"*)"""- г о осд! =)) Я(х, у, 1р(х, у)1 — )7(х, у, !р(х, у)п с(хс(у= =')) П(х, у, г)с(хс(у+')')Тт(х, у, г)дхбд. (52.14) зе Заметив, далее, что на поверхности Зс имеет место равенство соху=О, будем иметь (см. (51.7)) ')1 П(х, у, г) бхс(у=')) Р(х, у, г) созуа3=0. зс зр Поэтому формулу (52,14) можно переписать в виде ~ ~ ~ — дхс(убг= о =Ц )рдхбу+Ц )(бхбу+Д Пс(хс(у =Ц Пг(хс(у.
(52.15) М. В. Остр ог р а дс к н й (!801 — 1861) — русский математик! К. Ф. Г а у с с (1777 — 1885! — немецкий математик. Непрерывность частных производных на границе понимается как их непрерывная продолжаемость иа границу обнастн, у 52, Скалярные и векторные поля 284 Совершенно аналогично доказываются формулы Ц( "иеее*=(~ееее,, ))(ариеле (52.16) Складывая (52.!5) и (52.16) в силу определений (51.7) и (Ы'.12) мы и получим формулу (52.12), называемую формулой Остроградского — Гаусса. С ) Иногда формулу (52.12) бывает удобно использовать в виде Ц)( — '„' ~ф~-ф1егеее = "11»еее*еее е ~-ее ее. Справедливость такой записи непосредственно вытекает из определения поверхностного интеграла второго рода: см. (51.7) и (51.12).
Формула Остроградского — Гаусса (52.12) может быть доказана и в случае областей О более общего вида, чем было указано, а именно для таких, для которых существует конечное разбиение на области О;, 1=1, 2, ..., 1е, рассмотренного выше вида. Для этого достаточно написать формулу Остроградского для каждой области 6; и полученные результаты сложить; в результате получается искомая формула для области 6. Действительно, в левой части равенства в силу аддитивности интеграла получится соответствующий интеграл по области О, а в правой части в силу того, что внешние нормали в точках границ областей О„ принадлежащих границам двух таких областей, направлены в разные стороны, поверхностные интегралы по соответствующим частям границ областей Оь в сумме дадут ноль, и останутся только интегралы по частям границ Оь составляющим в совокупности границу области О (ср.
и. 47.5). Указанные разбиения области 6 часто бывает удобно производить плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Заметим, что среди областей такого типа есть и области, граница которых состоит из нескольких «кусков», т. е. может быть представлена как сумма конечного числа кусочно-гладких непересекающихся поверхностей (ср. с соответствующими обобщениями формулы Грина в п. 47.5). Можно показать, что формула Остроградского — Гаусса справедлива для любой ограниченной области, граница которой со стоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей. Однако это довольно громоздко, и мы ие будем на этом останавливаться, а ограничимся лишь формулировкой теоремы.
Теорема 1' (Остроградский — Гаусс). Пусто граница дО огра-. ниченной области 6 состоит из конечного чисЛа кусочно-гладких дав. Формула Остроградского — Гаусса поверхностей, а вектор а = (Р, О, )с) и частные производные ср дЯ дрг —, — и — непрерывны на 6 тогда дх ' ду дг ю г))гг) Й и а г(х йу Иг = г)г )а сйТ. о' ' ао В качестве ориентации иа гладких частях границы дб здесь выбрана внешняя нормаль.
Например, если 6 = ((х, у, г): О (а )/ха+у + г' ( Ь) — шаровое кольцо н, следовательно, его граница состоит из двух сфер Зг=((х, у, г): х'+у'+г'=а') и Яа=((х, у, г):х'+у'+г'=Ь'), то на внутренней. сфере Яг надо взять нормаль, направленную к центру шара 6, и иа внешней сфере Яа — от центра шара. Формула Остроградского — Гаусса позволяет найти выражение для объема области через соответствующий поверхностный инте.грал. В самом деле, полагая в (52.12) Р (х, у, г)=х, 6 (х, у, г)=,у, )т (х, у, г) = г и заметив, что Я ах с(у йг = !хб, получим )сб = 3 г) ) (хсозсс+усоз у+я соз Т)Ю ! Г или рб = з ~ ~ хйуйг+уйгйх+гйхйу.
1 р Формула Остроградского — Гаусса дает также возможность установить геометрический подход к понятию дивергенции. Теорема 2. Пусть в трехмерной области 6*! определено непрерывно дифференцируемое векторное поле а = а (М). Пусть Мо ~ б и .0 — область с кусочно-гладкой границей о' такая, что М, як Р, йс: 6 и для области О справедлива формула Остроградского— Гаусса **'.
Обозначим через Я+ поверхность 5, ориентированную с помощью выбора внешней нормали, а через й (О) — диаметр области О. Тогда ~~ и аз+ Йча(Ме)= 1!ш р (52.17) лю> о рО Доказательство, По формуле (52.!3) имеем '))) йгуадхс(ус(г=))асаЮ+. (52.18) ю Здесь на структуру области О не накладывается никаких ограиичеияа. *ю Такие области 0 все~да сушествуют, например к ннм относятся все шары достаточно малого радиуса с центром в точке М„или кубы достаточно малого размера с центром в точке Ма. 4 В2.
Скалярные и векторные поля Но по интегральной теореме о среднем (п. 44.6), '))! д!УадхйУйг=б!Уа(М) РР, М ЯР. (52.19) о Подставив (59. !9) в (52.18), получим ~~ па»+ б!Уа (М)= (52.20) РО Переходя к пределу в формуле (52.20) при е((Р)-»0, в силу непрерывности в точке Ме функции Йча(М) получим формулу (52.17). Можно показать, что величины, входящие в правую часть равенства (52.17), не зависят от выбора системы координат (в правую часть входит двойной интеграл от скалярного произведения векторов и объем области), поэтому отсюда еще раз следует, что дивергенция векторного поля ие зависит от выбора системы координат.
Из равенства (52.17) следует, что правая часть этого равенства может быть принята за определение дивергенции данного поля. Точки векторного поля а, в которых Й!уачьО, называются «источниками» векторного поля. Интуитивно естественность этого термина объясняется тем обстоятельством, что если точка является «источником», то, как видно из формулы (52,17), для всех достаточно малых по диаметру областей Р, содержащих точку М„ будем иметь ))аЮ~О, т.
е. поток через любую .достаточно малую поверхность, окружающую источник, не равен нулю. 52.4. ФОРМУЛА СТОКСА. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИХРЯ Пусть 5 — дважды непрерывно дифференцируемая поверхность без особых точек в пространстве К„'е, и г=г(и, и), (и, о) ее Р,— ее представление, Р— плоская ограниченная область, для которой справедлива формула Грина. Допустим, что граница области Р состоит из одного простого кусочно-гладкого контура. Обозначим чеРез Те положительно оРиентиРованный контУР, огРаиичивающий область Р, и через и=и(!), о=о(!), а=-Л(Ь вЂ” его представление. Пусть ге Мг, !г„Хг,! — ориентация на поверхности 8 (см.
определение 20 в и. 50.8), т = (сов «е, сов !), сову). При сделанных предположениях нормаль У непрерывна на Р. Обозначим через 8+ поверхность 5 с выбранной на ней нормалью т. Пусть Т вЂ” контур с представлением г=г(и(г), о(!)), 52 4.
Форл~ула Стокса ~ а гТг = )') го1 и Ю+, (52.21) т. е. циркуляция векторного поля по контуру Т равна потоку вихря эпюго поля через поверхность о, ограниченную контуром Т. В координатной форме эта формула имеет вид сова совр сову д д д а ду дх Р ~ Рг(х+Сду+гг((г= ~ ~ или ) Р г(х+(са(у+ Яиг = ) ) [1 д — д ) сова+ + ( ~ — дх ) сов р+ ( ~„—, — д ) сов Т(с(5, (52,22) Доказательство.
Рассмотрим, например, интеграл )Рдх. Заметив, что вдоль кРивых Та и Т пеРеменные и и о ЯвлЯютсЯ функциями от (, и употребив обозначения, введенные в начале этого пункта, получим ) Р(х, у, г)дх= ь =)тР[х(и((), о(()), у(и((), о(()), г(и((), о(())1х1 (и((), о(())д(= а 1дх(и, и) дх(и, и) ') Р[х(и' о)' у(и' о)' г(и' о)1'[ д аи+ д ти Мы здесь воспользовались формулой дх(и(1), и(()) ~1и дх(и(б, и(1)) ди ди сУ ди ВГ ' *' Дас Стокс (1819 — 1903) — английский махамик и математик. а~1=-.Ь. Будем говорить, что контур у ограничивает поверхность 5, а также что поверхность Я натянута на контур Т.
Пусть, наконец, С вЂ” область в пространстве 1('„, и Яс:С. При выполнении этих предположений справедлива следующая теорема. Теорема 3 (Стоке"'1). Пусть функции Р, (г и )г непрерывны вместе со своими первыми частными производными в области С и пусть а=(Р, (г, Я).
Тогда У д2. Скияярные и векторные ноля Применим формулу Грина к получившемуся интегралу дк дк Р— е(а+Р— -«Ь, будем иметь: те ~ Рйх= ~ Я вЂ” „(Р—,) — -д — „(Р-- — )~йайо= = 11[(%2+%2+ ~'. Фй+".",— -( — — — — -~- — —..1 др дк др ду дР дг1 дк дек 1 д д + ду до+ д до)ди д д~~ о ~ ) дг ~г х — ) ) д е(хе(у ~ ) (дг соз~) — д соху)еЮ. (52.23) Здесь' приняты во внимание формулы (51.10) и (51.13). Аналогично доказывается, что ~ О "У= ~ ~ (д созТ вЂ” д сока)с5, (52.24) 7 в — а( /др, ди )1 с(г= ~~ ( — соза — — соз~~йЗ. (52.25) 1 ду дк Складывая формулы (52.23), (52.24) и (52.25), мы и получим формулу (52.22), которая называется.
формулой Стокса. П Чтобы наглядней представить себе связь выбора нормали т на поверхности 5 с ориентацией ограничивающего ее контура у, рассмотрим поверхность о, имеющую явное представление г= =у(х, у), (х, у) ~ Г. Пусть у,— положительно ориентированный на плоскости хОу контур, являющийся границей Г, и х=х(1), у=у(1), а =г~д,— его представление.
Как и выше, ориентацию кривой у зададим представлением х=х(1), у=у(1), г=)'1х(1), у(1)1„а=-Г=Б. (52.26) В рассматриваемом случае контур уе является проекцией кривой у. Нормаль же т, как это было показано, при явном представлении поверхности образует острый угол с осью Ог (см. п. 51.1); поэтому если смотреть на поверхность 5 с положительного направления оси Ог, то контур у будет ориентирован против часовой стрелки, т. е. ориентация кривой у согласована с нормалью т «по правилу штопора» (рис. 211). Это равносильно тому, что наблюдатель, обходящий поверхность 5 по ориентированному ВЗ 4 4»ьрмзла Стокса контуру у и смотрящий на нее из конца нормали т, видит пояерхность 5 слева.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
