kudryavtsev2a (947416), страница 58
Текст из файла (страница 58)
и '3 Здесь предползгается что для области О, ограниченной поаергносююу, применима теорема Остроградского — Гаусса. 22. Для векторных полей а =гй г ~а и Ь =г/1 г ~ кайтн диаергенцию н ротор. Язляются лн этн поля потенциальными, соленондальнымн? Вычислить поток нектоРиых полей а н Ь чеРез сфеРУ Зн=((х, У, г): ха+Уз+ге=)(«1. г 28. '.Вычислить поток векторного поля а= — через сферу 1г 1» хз+ уз+ (г — 1)а = 2, 24. Пусть а, Ь н с — дифференцируемые векторные поля, и — дзаждыдиф- ференцируемая скалярная функция а областн 6 ~ Гсз Ь=йгаб и н а= Ь-)-с, Доказать, что для того чтобы б(чс=о, необходимо н достаточно, чтобы Функцня и улозлетаоряла н б уравнению аи=бы и (тем самым доказательство теоремы Гельмгольца сводится к решению а области б уравнения вида Ли= =1(х, у, г);.
С помощью теоремы Остроградского — Гаусса вычислить поток аекторяого поля а через замкнутую поверхность 3, если; Ж а=(1+2х)1+УГ'+гй, 3=((х, у, г): ха+уз=ге, О~а~41, 26. а=2х) — у/+гй, З=((х, у, г): ха+у'+г'=4, За=ха-(-уз). Установить, какне из следукацнх векторных полей соленоядальньп 27. а =х (г' — уз) (+у (хз — гз) /+г (у'+х') й. 28. а=(1+2ху)1 — у»4+(гзц — 2уг+1) й. С помощью теоремы Стокса найтн циркуляцию вектора а по контуру т, если 29.
а=у1 — х)+гй; т=((х, у, г): ха+уз+г'=4, х'+уз=г', г =-. О). 3). а=уЧ+гзг'; т=((х, у, г): ха+у»=9, Зу+4г=б). гч Г. Гельмгольц (1821 — 1894) — немецкий физнк н физиолог. ззи у 6х с вггвеииие иигггрелм, гаева«ии«г вт аврал«гэра й 53, СОИСТВКННЪП ИНТКГЫЛЫТ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА заец ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ«ЗАВИСЯЩИХ От ПАРАМЕТРА; ИХ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ИНТЕГРиРУЕМОСтЬ ПО ПАРАМЕТРУ Пусть )' — некоторое множество действительных чисел, ф(у) и ф(у) — две функции, определенные на г', ф(у).=ф(у) н функция 1(х, у) определена на множестве ((х, у):ус= 'г'> хее1ф(у), ф(у)Ц. Интегралы вида е««в Ф (у) = $ ) (х, у)«(х (53.!) (53.2) я«м Ф (у) = ) 1 (х, у) «(х. а (53.3) Если )л является множеством всех натуральных чисел 1'= =Ж=(1, 2, ..., и, ...), то, полагая 1(х, п)=1„(х), л 1, 2, ..., интеграл (53.3) можно переписать в виде ь Р„(х)«(х, и=1, 2, ....
Тем самым получилась числовая последовательность, образованная интегралами от функций некоторой функциональной последовательности. Мы рассмотрим случай, когда мноРис. 216 жество г представляет собой отрезок 1«х, Я, функции ф(у) и «р(у) непрерывны на этом отрезке и ф(у) ~«р(у), у я(«х, К. Пусть графики функций ф(у) и ф(у) и, быть может, отрезки прямых у=«х и у=р образуют' границу ограниченной области 6 (рис. 215).
Она, очевидно, квадрируема (см. п. 44.1). В этом случае множество (53.1), на котором определена функция 1(х, у), является замыканием 6 указанной области 6: 6=((х, у); и~у~~, ф(у)(х(«р(у)). (53.'4) В дальнейшем мы изучим свойства функции Ф(у) (ее непрерывность, правила ее дифференцирования и интегрирования) называются интегралами, завися«цими оа«параметра, а переменная у называется обычно пароме«иром. Часто встречается тот частный случай такого типа интегралов, когда функции ф и ф постоянны, т. е.
интегралы вида ь бв.1. Непрерывность и интегрируеногть интегралов ло пврааегтру 299 в зависимости от свойств функций 1(х, у), (р(у), (р(у). Некоторые из этих свойств были получены раньше при изучении кратного интеграла. Так, например, лемма, доказанная в п. 45.1, дает условия, при которых интеграл, зависящий от параметра, явля- ется непрерывной функцией этого параметра. Сформулируем эту лемму в обозначениях настоящего параграфа в виде теоремы. Теорема 1.
Если функция 1(х, у) непрерывна на замыкании 6 области б (см. (53.4)), то функция Ф(у), задаваемия формулой (53.2) непрерывна на отрезке 1(к, Я, Утверждению этой теоремы можно придать следующий вид: нпе еЬ (М ч(у! У Уе 1!(и $ ~(х, у)йх= $ 1!п()(х, у)дх. (53.5) У' В(У! Нпе В (У! У Уе Действительно, из теоремы 1 следует, что предел, стоящий в левой части равенства (53.5), равен Ф(у,), а в силу непрерыв- ности функций (р, чр и ), правая часть равенства также равна ет (Уе! 1(х, у,) ((х=Ф(уь). вше) В частности, для интеграла (53.3) имеем ь ь 1ип ~ 1(х, у) дх = ~ 11(п 1(х, у) с(х, У Уел У У т. е. в этом случае возможен предельный переход под знаком интеграла. В теореме о предельном переходе под знаком интеграла можно ослабить требования, накладываемые на функцию )(х, у), потребовав вместо ее непрерывности по совокупности переменных, лишь непрерывность по одной переменной и равномерное стремление к пределу по другой.
Теорема 2. Пусть функция г'(х, у) определена для всех х ~ '1а, Ь'! уе:-)г и непрерывна по х на !а, Ь) при любом фиксированном у(=-.)г. Тогда если при у- у, ц функция ("'(х, у) равномерно на отрезке 1а,' Ь) стремится к (р(х) (см. и. 39.4), то ь ь )пп ~ 1(х, у)еХх = ~ (р(х) йх.
У У и Доказательство. Рассмотрим какую-либо последовательность у„еи'т', п=1, 2, ..., такую, что 11ш у„=у,. Тогда (см. л-+ о упражнение 5 в п. 39.4) последовательность (р„(х) = !" (х, у„) будет равномерно на отрезке 1а, Ь) стремиться к функции (р(х). *' Здесь у,— число нли одна иа бесконечностей со, -1-со нлн — со.
,. аоо Э бэ. Собстеенпые интегралы, зависящее от параметра Отсюда следует (см. п. 36.4), во-первых, что (р(х) непрерывна и, следовательно, иитегрируема на отрезке 1а, Ь), а во-вторых, Что ь ь ь 11т ~ 1'(х, у„) гЬ= 1!тп ~ (р„(х)((х= ~ (р(х) дх, л о(а и а(д е и так как зто верно для любой указанной последовательности (у„), то теореъ(а доказана. Перейдем к вопросу об интегрировании интегралов (53.2), зависящих от параметра. Теорема 3. Пусть область б элеменлитрна относительно обеих осей координат, т. е.
гг = ((х, о): сс ( у < 1), тр (у) < х < ц((у)) = =((х, у): ас х(Ь, р,(х) < у<тр((хи, где функции (р и 1р непрерывны на отрезке 1а, ()1, а функции и ~Р,— на отрезке (а, Ь). Тогда, если функция Г(х, у) непрерывна на замыкании (т области 6, то в з гь(ю ь г(ь,(м 1ф(т(ге=1~1/(., т(гф: -1~ 1 ((*, т(гу~г*= м а Чи(1 а ю(М =~')р(х, у)дхду. (53.6) о Очевидно, теорема 3 является перефразировкой соответствующей теоремы о сведении кратного интеграла к повторному (см. и.
45.1). За,я. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА При изучении дифференциальных свойств интегралов, зависящих от параметра, рассмотрим сначала интегралы вида (53.3). Теорема 4 (правило Лейбница). Если функция 1(х, у) и ее частная производная ' " непрерывны в замкнутом прямоугольд)(х, у) ду нике Л=((х, у):а=-х(Ь, (а~у:~()), пю функция Ф(у) = ь = )((х, у) дх диффергнцируема на отрезке ((х, И и а ь О Таким образом, чтобы при сделанных предположениях продиффере(щировать интеграл, зависящий от параметра, достаточно проднфференцировать подынтегральное выражение, оставляя пр(е-' делы интегрирования неизменными.
уд.2..диффвренпирвванив интвгральв, вавигящих от параметра ЗО) Доказательство. Пусть уе[а, Я и у+Луги[а, р), тогда ь Ф(у+лу)-Ф (у) = -- 1 [((х, у+ Ку) — г (х, у)1 дх = ь ~ д((х. у+вар),1, 0<4<1 ду г а Здесь применена формула конечных приращений Лагранжа. Обозначив теперь через тв(6; — ) модуль непрерывности функд(~ ции --, получим д( ду' ! ь ь Ф(у+Лу) Ф(у) (' д((х, у) С 1д/(», у+ 6 Лу) д((х, у) ! л д "' -3~ — — ~д( ду ! а а ь ~ ) ы(!Лу); д-)г(х=..тв ~!ЛУ~' д )(Ь вЂ” а). (53.7) а В силу равномерной непрерывности функции — на замкнутом д( ду прямоугольнике Л имеем 1пп ьт ((Лу~; — ~=0; поэтому из (53.7) .
д(~ Ьд О ду получим ь Ф(у+Лу) — Ф(у) (' д)(х, у) лу д ду а Теорема 4 легко обобщается и на случай зависящего от параметра интеграла общего вида (53.2). Теорема 4'. Пусть: 1) функг(ия ((х, у) и ее частная произд((х, у) водная,' непрерывны на замкнутом прямоугольнике Л=((х, у): а~х~Ь, а~у(р), 2) б ~ Л (см.
(53.4)); 3) пусть функг(ии <р(у) и 'ф(у) имеют непрерывные на отрезке [а, р] производные. Тогда интеграл (53.2), зависли(ий от параметра, также имеет производную на отрезке [а, Я, причем ело еу-'= ~ ~~,„'~~ д — 7[у(У), И вЂ” '„~"~+Р[ф(У), У1д",;(У). (533) т)у) ,302 у ЮЗ. Собственные интеераяы, зависящие от параметра Доказательство. Рассмотрим функцию и Г(у, и, о)=)((х, у)т(х, а(и(Ь, а=-о=Ь, (х==.у~(). и Нетрудно непосредственно проверить, что частные производные —, —, — функции г" существуют и непрерывны по совокупности дт дт дт ду ' ди ' де переменных у, и, о. Проверим сначала существование и непре.
дт" рывность частной производной —. Ее существование непосредстду' венно следует из теоремы 4, причем дт" (' д((х, у) (53.9) ду 3 ду и Докажем ее непрерывность. Пусть а~и .— Ь, а=о ..Ь, (х=" ~у-= р, а~и+Ли==Ь, а:о+Ло=Ь, а= у+Лувр; положив дт (у, и, о) дт (у+Лу, ии,-зи, о-(-Лс) дт(у, и, о) ду ду ду получим: и+ Ьи е ~й ' ' ~ —— .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
