kudryavtsev2a (947416), страница 59
Текст из файла (страница 59)
~~ '. е(х — ) ' с(х дт (У, и, о)1 1' д((х, У+ЛУ) 1 (' д((х, У) и+Ли и и и и и+ Ьи д((,(ддд( („( д((*,д(.дид„ ду ,) ду и+Ли и (53.10) )д((х, у) ~ (53.! 2) Обозначив, как и выше, через се(5; - ( модуль непрерывно-, , д(т ' дут' д) сти функции — на прямоугольнике е) и использовав неравенства ду Поскольку функция — определена на прямоугольнике а, то. д( ду в силу вышеуказанного выбора значений аргументов все написанные интегралы имеют смысл н (о — и! = Ь вЂ” а. (53.11) Далее, из непрерывности функции — на прямоугольнике Л д( ду следует, что она ограничена иа нем, т. е. существует такая постоянная д)4)0, что для всех точек (х, у) енть выполняетс)( неравенство оЕ.А -Равномерное оходиноегь интеграаое, еаеигаиии ог нараиетра Ваз (53.11) и (53.12), иэ (53.10) получим е И и+ли )л'"~„"')» (,ьи;и ) )г ~.и 1 г,~-и 1 и~~ и и -~.ли Ю У" д)+ ( (+ Отсюда следует, что 1пп А дР(у, и, о) = О.
Это и оэиат ли~+ли +ли 0 ду чает непрерывность частной производной — на множестве . дР ду ((у, и, о):с «у --д, а:«и=-Ь, а==о«Ь). Непрерывность на этом множестве частных производных д — „= — 1(и, у), д — „—— 1(о, у) дР дР (52.13) очевидна. Связь между функцнямн Ф и Р устанавливается формулой Ф (у) = Р (у, Т (у), ф (у)) В силу доказанного выше функцию Ф можно дифференцировать по правилу дифференцирования сложных функций: дФ дР дР ди дР 0о — = — + — — + — —. ду ду ди ду й~ ду' Подставляя сюда выражения для частных производных дР ду ду —, — и— ду э (см.
(53.9) и (53.13)) и полагая и=В(у) и о=ф(у), получим формулу (53.8). ( ) й 54. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА зед. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. РАВНОМЕРНАЯ СХОДНМОСТЬ интеГРАлОВ, ЗАВисян(их От пАРАметРА Ыы будем рассматривать интегралы вида ь Ф (у) = ) 1(х, у) г(х, О (54.1) где — со«а«.Ь«+со, переменная у принадлежит некоторому множеству У и интеграл (54.1) при некоторых (в частности, при всех) значениях у является несобственным, 304 Э И. Несобстаеааие интеграла, ваваслсяас от аарааетра Определение 1. Если для каждого усен )' интеграл ь тР(уь)=~)(х уь)дх а сходинтся, то интеграл (54.1) называется сходящимся на множестве )'.
В дальнейшем, если не оговорено что-либо другое, будем рассматривать только случай, когда выполняются условия: 1) — со « . а «. Ь а=-+ оо; 2) при любом уен )т функция Г(х, у) по переменной х интегрируема, по Риману, на каждом отрезке [а, т1], где т! таково, что а«т!(Ь. В этом случае сходимость интеграла (54.1) на множестве )' означает, что при любом уев)т существует предел т~ ь !нп ~)(х, у) дх = ~ [(х, у) дх ч-ь — а„ а (если Ь=+ оо, то Ь вЂ” 0=+ со). Поскольку ь и ь (((х, у) дх — ~~(х, у) Нх=([(х, у) дх, то из сказанного при каждом фиксированном у~)' получим ь !пп )Г(х, у)с(х=О.
ч-ь — а„ Таким образом, если интеграл (54.1) сходится на множестве )т, то при каждом фиксированном ус= !' для любого числа в)0 сУЩествУет такое т)а = Ч, (У) = Ь, что если т1ь = т1. Ь, то ь ~[(х, у)дх «е. ч Условия, при которых для несобственных интегралов, зависящих от параметра, справедливы теоремы, аналогичные доказанным в предыдущем параграфе для собственных интегралов основаны иа понятии так называемой равномерной сходимости интеграла. Будем предполагать, как было отмечено, что интеграл (54.1) удовлетворяет вышеуказанным условиям !) и 2).
Определение 2. Сходящийся на множестве )' интеграл ь ~[(х, у) с(х называется равномерно сходящимся на этом множеа симе, если для лтсбого е)0 существует такое ть~Ь, что для З4Х. Равномериав ссадимость интеераеов, вависвисих от параметра Зоб всех уев У и всех т! таких, что т!в<о! <Ь, выполняется нера- венство ! ь ~1(х, у) дх <.е. Напомним, что в рассматриваемом нами случае Ь может быть как конечным, т.
е. числом, так и бесконечным, т. е. равным + оо.' Таким образом, в приведенном виде определение равномерной сходимости годится одновременно как для случая, когда интегрирование производится по конечному отрезку !а, Ь1, а несобственный интеграл возникает за счет неограниченности подынтегральной функции, так и для случая, когда несобственный интеграл получается за счет неограниченности промежутка интегрирования !а, +со). Приведенные определения сходимости и равномерной сходи-.
мости интеграла напоминают соответствующие определения для рядов (см. п. 35.! и 36.3). Между ними действительно имеется связь. Пусть (т1„) — некоторая последовательность, такая, что т),=а, т1„ея(а, Ь), я=1, 2, ..., и 1!гп т!а=Ь. Наряду с интегралом (54.1) рассмотрим ряд оо чьос .Е 1 1(х, У)с(х. ь=! и„ (54.3) Пусть л — ь чьа чл Ол (у) = ~е ~ ! (х, у) с(х = ~ ) (х, у) с(х — его частичная сумма. Тогда, если интеграл (54.1) сходится (соответственно равномерно сходится) на множестве 1', то, очевидно, сходится (соответственно равномерно сходится) на множестве У и ряд (54.3); при этом ь "л )1(х, у) ь(х= 1пп ~ !" (х, у) дх= !!пт 3„(у), д л сод л сд 1ь о -о~!си, ве ~=о. ч-ь-ь в~ г1„ (54.4) т'.
е. рассматриваемый интеграл равен сумме ряда (54.3). Определение равномерной сходимости интеграла можно перефразировать еще следующим образом. Определение 2'. Сходящийся на множестве 1' интеграл (54.1) называется равномерно сходящимся на этом множестве, если Эев Э.аА Нееааетаеннтее инееераям, аааиеящие ат на1тааеттта ~ь енр1')1(х, у)е(х =е, т),~т)<Ь, еяУ ч откуда и следует (54.4). Обратно, если рассматриваемый интеграл равномерно сходится на множестве У в смысле определения 2', то из условия (54.4) для любого е)О следует существование такого числа т(„что пРи У ев У и т1е ~ т1 < Ь выполнаетсЯ неравенство (54.2).
(1 Если рассмотреть интеграл ь р(у, Ч) ~ ))(х, у) йх, то, очевидно, что условие (54.4) означает, что этот интеграл равномерно на У стремится к нулю при т)-~-Ь вЂ” О (здесь в терминологии и. 39А параметром является не у, как это было там, а переменная т)). Равномерная сходимость на множестве У интеграла (54,1) означает также равномерное стремление на множестве У функции Ф(у, т)) ~" ))(х, у) дх е (54.5) при т)-ьЬ вЂ” О к функции (54.1). Действительно, последнее означает (см. п. 39.4), что для любого е) О существует такое т1,<Ь, что для каждого т1, удовлетвоРЯющего Условию т)е~т1<Ь, и всех Уен У выполнЯетсЯ неравенство 1Ф(у) — Ф(у, ч))< .
Но ь ч ь Ф (у) — Ф (у, т1) = ~ ) (х, у) дх — ~ 1 (х, у) Их = ~ 1(х, у) е(х. О а ч Поэтому ~1(х, у) т(х <е. Таким образом условие Ф (у, т)) =. Ф (у) при т) -~- Ь вЂ” О равно- сильно выполнению условий определении 2, т.
е. равномерной сходимостн на множестве У интеграла (54.1). Действительно, если интеграл (54.1) равномерно сходитея на множестве У в смысле 'определения 2, то для любого е)О Существует такое Ч,<Ь, что выполняется неравенство (54.2) прн УЯУ и т)ь=='т1<Ь и, следовательно, И,1. ьоьвномврная.
елось имсмгь интегралово вависяоисх от ларам етро . Зйс + оо Пример. Рассмотрим интеграл Ф(у)= ~ уе-"ьдх. В каче» стае множества г возьмем полуось у~О (при любом у(0 этот интеграл расходится). Легко убедиться, что рассматриваемый интеграл сходится иа г'. Для любого а-»0 он сходится равно- мерно на промежутке 1сь, +со). Действительно„в этом случае легко проверяется, например, выполнение условия (54.4): 1пп зпр ~ ~ уе "ьдх ~ = 1пп зпр е»в= 1пп е- »=О.
»-+ ь)о ~ „ » -ь ь~а » +со На всей же полуоси У равномерной сходимостн иет. В самом деле, 1+ со 1)ш зир~ ~ уе "УЫх = 1!ш эир е ""=1, » + ь~ь » +юг~о т. е, на множестве 1' условие (54.4) не выполняется. Теорема 1 (признак Вейерштрасса). Если существует неотрицательная функция ф(х), определенная на промежутке 1а, Ь) и интегрируемая по Риману на каждом отрезке 1а, т)1, где а( (Ч(Ь, такая что: 1) 1~(х, у)~~ф(х), где а~х(Ь, уев~'; ь 2) интеграл ~ ф (х) дх сходится, о то, интеграл (54.1) равномерно сходится на множестве У'.
Доказательство. Прежде всего, в силу признака сравнения (см. и. 33.3) интеграл (54.1) абсолютно, а значит, и просто сходится при любом у он У. Далее, в силу сходнмости интеграла ь )ф(х)ь(х для любого числа е)0 существует такое т1,(Ь, что а ь если пь ~ч(Ь, то ~ф(х) с(х(е. Тогда, в силу условия 1 теоремы ! ь ь ь ')((х, у)йх~=.$/)(х, у)/дх-=)ф(х)дх(е, Чь~ь)(Ь, уенУ, ь а это н означает равномерную сходимость интеграла ~~(х, у)дх о на множестве у'. ( ) С помощью признака Вейерштрасса, например, сразу уста+ со ох навливается, что интеграл ~ ~+хо+ ь равномерно сходится на ~+ хо+ Ьь 308 з $4.
Несобсгвезиае ингегралм, зовисяе!ае ог параметра всей вещественной оси — со<у с +со. Действительно, интеграл + ег — =-л сходится, и при любых х и у выполняется нераг!х 1+ хз 1 1 венство, +„. Из критерия Коши равномерной сходимости функпий по параметру (см. п. 39.4) непосредственно получаются необходимые и достаточные условия (также называемые критерием Коши) для равномерной сходимости интегралов. Теорема 2 (критерий Коши равномерной сходимости интегралов). Для того чтобы интеграл (54.1) равномерно сходился на множестве )г, необходимо и достаточно, чтобы для любого а~ 0 существовало такое т)<Ь, что для всех т)' и т!", удовлетворяющих условиям т(<т!'<Ь, т)<г)" <Ь и всех уя)г выполнялось неравенство (54.6) Действительно, как было отмечено, равномерная сходимость интеграла '(54.!) равносильна равномерному стремлению к пределу функпни !р(у, т)) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
