kudryavtsev2a (947416), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Действительно,'интегрируя по частям (см. там же, п. 2б.4), получим +ее Яп ах ! ахи совах+(!Явах', о + ае ! йе (' В„асоеах+р янах дх ае!ре . хе. Выберем т), так, чтобы при т(-'- т(, выполнялись неравенства ! чр асоеаи-(-й япаЧ ) ~а~+Ь ! в Ы" ае+йе ~ ае Ч 2 ' Вх асоеах+Ре!пх дх (к(+ " х в ае+йе хе ае хе 2 ' ч Ч 544, !!рак«ивине теории иитеерахов, иавиехщих от парилетри З2! Тогда при т) =-. т! получим ~ еыпт е(х (и, что и доказывает «!и ах е х и равномерную сходимость интеграла 1(а, ()) по параметру р на любом отрезке [О, Ь1. Теперь в силу теоремы 4 и. 54.3 .1(сс)=-1(а, 0)= !пп 1(а, р)= !пп агс!д -= 2-з(дпа; а +о р 4о -! ит п12, если а-»0, 1(а)= ~, е(х= О, если а=О, о — п12, если а~О.
Действительно, интегрируя по частям, найдем +ит -!- оэ + ОЭ вЂ” 1' """' дх=-а ! '""" е(х=2а 1 — """'дх=(а(п, к х ! к ОЭ вЂ” ит о У и р и ж не ни я. Вычпслнть интегралы: и 10 () — + — ик (а)0). 13. 1+к~ о .-.(т 1и(!+а со» ) „ со» х втс!как лх .с ( ! + О'-%е! о 11 ктиоивиее л. Гс т. к со» ах+со» Ьх — 2 ке о к е ит«!иеок хе Следует обратить внимание на то, что дифференцирование по се в (54.33) привело бы к расходящемуся интегралу ~ со»ах«(к. о Опо стало возможным, в 1(а, !)), благодаря наличию множителя е-ах, р»0, называемого «множителем сходимости». Вычисление интеграла вида ) !'(х) е(х путем перехода к ~ е-"к)'(х) ох, диффео о реицирования по !), нахождения полученного интеграла и перехода к пределу при !)-»О называется «методом введения множителя сходимости».
Знание значения 1(а) позволяет легко находить и значение многих подобных интегралов. Например, легко можно показать (и это мы используем в дальнейшем), что + ОЭ 1 — совах (54 34) ззз 4 в». Несобственно!е интегрияы, зависни!ие от ивриметра Бо.а. ЭЙЛЕРОВЫ ИБТЕГРАсты Рассмотрим интегралы 1 В (р, д) = ~ хр-1 (1 — х)»-1 йх, о + се Г(З)= 1 Х -1Е-ейХ, о (54.35) (54.36) 112 ! В (р, с)) = ~ хе-' (1 — х)»-' с(х + ~ хе-'(1 — х)»-' а!х. о 1)2 1а Сравнивая первый интеграл в правой части с интегралом ) хр-!ах, о 1 а второй — с 1 (1 — х)»-'т(х, которые сходятся соответственно при 1)2 р 0 и 4!) 0 и соответственно расходятся при выполнении неравенств р==О и 4==0 (см.
п. 33.3), получаем, что областью определения бета-функции (54.35) и плоскости р, а является прямой угол р)0, 4)0. Далее, интеграл В(р, д) равномерно сходится в каждом прямом угле р-=-р„, д="-до, каковы бы ни были ро)0 и до»О. Действительно, это следует, согласно признаку Вейерштрасса (см.
п. 54.1), из неравенства хс-1 (1 х)»-1 " хра ! (1 — х)»т 1 0 (х ~ 1 п доказанной выше сходимости интеграла ! В (р„до) = ~ хс — ' (1 — х)» — ! с(х, ро ) О. (!о ) О. Поскольку всякая точка (р, д), р)0, д)О, принадлежит некоторому углу; р р„д- до, при соответствующем выборе чисел р,)0 и до)0, то в силу теоремы 5 п. 54.3 функция В(р, а) непрерывна во всей своей области определения. называемые вйлероеыми и»етегралами соответственно первого и еиторого рода. Интеграл (54.35) называется также бета-фрнкцией, а (54.36) — гамма-функцией.
Выясним прежде всего, для каких значений параметров р, д и з имеют смысл правые части формул (54.35) и (54.36). Рассмотрим сначала интеграл (54.35). Подыптегральная функция имеет, вообще говоря, две особенности: при х=О и при х= 1., поэтому представим его в виде зз зев. Эплерооьг интегралы Для отыскания области определения гамма-функции (54.36) представим ее в виде 1 + ча Г (3) = [ х'-'е. гс(х+ ~ хг-те-"бх.
(54.37) о 1 Сравнивая первое слагаемое в правой части с интегралом ) х'-'г(х, о который сходится при 3 0 и расходится при з«0, получим, 1 что ~ х'-те-лс(х сходится и расходится при тех же значениях о параметра 3, Что же касается второго интеграла в правой части равенства (54.37), то он сходится при всех значениях 3. Это, например, следует из справедливости при любам з равенства х'-'е-"=о(е- гз) для х-ь- + оо и из сходимости интеграла ч- \ ! е-" зс(х=2е '.
Таким образом, интеграл (54.36) сходится для ! всех з)0 и расходится при 3==0. Покажем теперь, что интеграл (54.36) равномерно сходится на всяком отрезке [з„зз[, где 0 з,(зя«+со. Действительно, пусть з, = 3 == 3,; тогда если 0 «х 1, та хг- зŠ— л,- Хг,-тс-л а если х=--1, то х'-'е-л =.
хь-'е-" 1 + го и так как интегралы ~хи-те--гс(х и ~ х'-'е- г(х сходятся, то пз о формулы (54.37) в силу признака Вейерштрасса равномерной сходнмостн интегралов (см. и. 54.1) вытекает равномерная сходимость интеграла Г (з) на отрезке [з„за].
Отсюда в силу теоремы 5 и. 54.3 следует, что функция Г(з) непрерывна во всей своей области определения. У п рамн сн не )б. Доказать, что функции В(р, д) и Г(з) бесконечно цнфферепцируемы. Задача 33. Доказать, по В (р, г)) и !'(з) явля~отса аналитическими функциямн. Установим некоторые свойства интегралов Г (3) и В (р, г)). Прежде всего из формулы (54.36) непосредственно получаем Г (3) ) 0 (3 ) 0), (54.36) в частности, гамма-функция не имеет нулей.
Далее, проинтегрировав по частям, получим + гч ~+ гч + чг Г(з+1)= ! хге-лт(х= — хге-"~ +3 ~ х'-е-лс(х=зГ(з). (54.3Я) о о о !! ° 324 4 5в. Нссоаственнь~е интегралы, зависящие ат нараяетра Таким оГ>разом, если 5)п (п=1, 2, ...), то Г (в) =- (з — 1) (5 — 2)... (з — п) Г (з — п). (54.40) При любом . )О можно выбрать целое неотрицательное число п так, чтобы О а з — п:-1 (п=: О, 1, 2, ...), и тогда Г (з) с помощью формулы (54.40) будет выражаться через значение гамма-функции в некоторой точке промежутка (О, 11. Иначе говоря, зная значения гамма-функции на промежутке (О, Ц, можно найти ее значение в любой точке. Заметим еще, что Г (1) =1, и, следовательно, в силу формулы (54.40) Г (и+ 1) = п!.
Отсюда видно, что гамма-функция Г(5+1) является продолжением функшш 51, определенной только для целых з = О, 1, 2,..., на всю полуось з~ — 1 действительных чисел. Из свойств бета-фуикции В (р, д) докажем следующие. 1. Для любых р)0 и д)0 в (р, д) = в (д, р). (54.4!) Чтобы в этом убедиться, достаточно в интеграле (54.35) выполнить замену переменного 1 = 1 — х. 2. Для любых р- 0 и д)! в (р, д) = ' — ', в (р, ~-1). (54.42) Аналогично, в силу симметрии (см. (54.41)), для любых д)0 ир)1 В(р 'т')= В(р 1 ч). (54.
43) Действительно, проинтегрировав по частям (54.35) и заметив, что х (! — х) -'=х -'(1 — х)т-о — х -'(1 — х) -', получим 1 В(р, д) = ~ (1 — х)о-те(- — = ~ + 'о 1 1 + ~ ха(1 — х)о-тих= ~ ~ ха-'(1 — х)о-ос(х— о ! —: — ~хр-'(1 — х)о-то(х=а ! В(р, д — 1) — О В(р, с1), о откуда следуст (54.42), а в силу симметрии и (54АЗ). 3. Для любых р)0 1 2.3...
(л — 1) В(р„п)=В(п, р)=, +„1), п=1, 2, .... агя. Эйлервввг гвпег!гвевг 325 Эта формула получа;тся последоватсльнмм применением соотно! щения (54.42), ссли только заметить, что В (р, !)= ~ хр-гг(х=---. 1 Р' Если же и р = и — натуральное число, то В (и, и) = (а — 1)! (го — ! !! (га+ о — 1) ! Между функциями В (и, д) и Г(в) существует связь, которая устанавливается формулой Эйлера В(р, а)=- (Р) (», р)0, д'>О. = Г(Р+») (54.44) Докажем ее, сл"-дуя методу Дирихле.
Сделаем в формуле (54.35) замену переменного х=-(! +г) у, Г)0: + ОЭ рг -!,.к!,г|в,(д (1+ г)в .! и положим з=р+д, р)0, д)0; тогда + го — — ~ ((Р!й-гЕ-емг!ГГ(я. 1'(Р-1-») (1+йр'» о ву + +~' Г (р+д) ! ', с!! = '1 (Р ге(1 1 ((Р'о-га-гм "в!(у. (54.45) ! (!+пр., о о В интеграле, стоящем в левой части этого равенства, выполним замену переменного г=— ! — х' + оэ 1 г(1= ~ х!"'(1 — х)»-!г(х=В(р, д).
(54А6) (1+ пр "о о о г)ля вычисления правой части равенства заметим, что (Р-гг(! ~ ур'аге-сп"в~у= о о + вв +а~ = !пп ~ (Р 'гй' ~ ув!»-'е-!'+г1вг(д. $ +о о е (54.47) Помножим обе части этого равенства на (рл и проинтегрируем по ! от 0 до +оса 326 у Ое. Нееобетвенсанв ентееГсаеы, вавиеяскне вт параметра +СО действительно, обозначая Ф ((, 1) =.. ~ ув'е-'е-мст>те(у, из оценки О-.=-Ф(!, О» — Ф(», й) г)у '- — (у, о + ОС + СО ~ ! -'Ф(г, Р (( ~ ( 'Ф(», о) а в в заключаем, что при с-»+О функция Ф(г, й) стремится к Ф(г, 0) равномерно относительно г ен (О, + со) и что интеграл ~ (т-аФ(Г, $)Л равномерно сходится относительно $, ибо схо- о дится интеграл (54.45).
Следовательно, в правой части (54 47) можно перейти к пределу под знаком внешнего интеграла. Далее, + +Ос ~ (т-т г(» ~ уесе-тв- яц)е г(у = о В .~- СО + СО ут+е-те-е<(у ~ (Р-тв-гвт(» $)0, р) 1, д==.!. (54.48) $ о Перестановка порядка интегрирования здесь возможна в силу того, что, во-первых, интеграл Р-' ~ ув т-'е-(тсот йу равномерно $ сходится по г на любом отрезке (О, п], что следует из равномер- ной оценки подынтггральной функции 1г хутев-те-и он~от-туесе-те-е, Оа-.(-.=а, + сс и сходимости интеграла ~ у"те-'е-ет»у, во-вторых, интеграл е ут'е-'е-е ~ (а-те-'е г(г е равномерно сходится по у на любом отрезке (а, Ь!, $»0, что следует из равномерной оценки подынтегральной функции утсе-'е-е(т-те-те ~ Ьтсе-т(т-те-У + Со и сходимости интеграла ~ (в-'е-а Й; в-третьих, интеграл, стояо щий в правой части равенства (54.48), существует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
