kudryavtsev2a (947416), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Интеграл (54.82) называется сходя«с(имея, если при каждом фиксированном уо ~ 1' интеграл )1(х, У,) сИ сходится. В случае и=- 2 это, как известно (см, и. 48.3), эквивалентно условию сходимости интеграла яяз. Эаненаннн о крнгнык ннтеграгак монотонно исчерпывающей множество 6) естественным образом сопоставляется ряд, суммой которого он является: СО Р(х, у)й6=Р(х, у)й6,+ ~', ))(х, у)й(6 6„). (5488) ь=! Подобно одномерному случаю определяется и равномерно сходящийся интеграл. Определение 5. Сходящийся интеграл (54.82) назьыается равномерно сходящимся, если для любого е ) О суи(ествует такой компакпг А ~ 6, что для каждого открьипого измерилюго по )иордану множества Г, для которого А с:Г с:Г ~6, выполняется неравен- ссссо $ ! ~ (х, у) й(6, Г) ( ( е. Это определение равносильно следующему: Определение 5'.
Сходящийся интеграл (54.82) называется равномерно сходящимся, если, какова бы ни была монотонно исчерпывающая открытое множество 6 последовательность открытых измеримых.по Жордану множеств 6ю й=(, 2, ..., и каково бы ни было число е)'О, существует номер й„зависящий от данной последовательности и числа е, такой, чпю для каждого номера й=-й, и всех уен У справедливо неравенство ~ ~ ) (х, у) й (6'~ бь) ~ е. Если интеграл (54.82) равномерно сходится на множестве 6 относительно параметра у си У, то ряд (54.88) также равномерно сходится на 6.
Для кратных интегралов, зависящих от параметра, остаются в силе теоремы об их непрерывности, дифференцируемостн и пнтггрпруемости, аналогичные доказанным выше. В этом легко уб деться, и мы не будем на этом подробно останавливаться. Встречаются интегралы, зависящие от параметра и более сложным образом: в иих не только подыитегральная функция г, но и множество 6, по которому происходит иитегрировайие, зависит от параметра, т. с.
6=6(у): р(у)=ЧГ(х, у)й6(у). (54.84) Примером такого интеграла в одномерном случае является ипт.грал г(у)= 1 к „, а~у:-5, В н Здесь 6 (у) состоит из двух (кроме случая у = а и у = Ь) интервалов (а, у) и (у, Ь), меняющихся с изменением параметра у. 342 а 54. Несобственные интеграла, заеисягиие от параметра рассмотрим аналогичный пример в и-мерном пространстве. Пусть 6 — открытое множество в тел, функции р = )с (х) непрерывна в 6, р =-р(х, у) — расстояние между точками х и у, хе:-6, уев е- =Я" и а в некоторое число. Интегралы вида и (у) = ~ р ( ) (54.55) называются потенциалами и относятся к типу (54.84), так как в них множеством, по которому производится интегрирование, является множество 6",(у), зависящее от у (в формуле (54.85), мы обозначили, как зто делается обычно, область интегрирования просто через 6). Если а=! и п=З, то функция (54.65) называется ноютоновоьм тютенциалоль Задача 34.
Доказать, что если о — измеримое по Щордану открытое ююткество н функция И3 Н(х) непрерывна иа его замыкании О, то интеграл (34.83) прн гг(п непрерывен во всем пространстве. ГЛАВА ('ЕДЬМАН РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ и 55. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 55.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЯДА ФУРЬЕ. ПОСГАНОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ Определение 1. Ряд вида «о 2-+ ~~~„а„совах+5„з)плх а =-! (55.1) называется тригоноя«етрическим рядом.
Его частичные суммы являются линейными комбинациями !Рункций, входящих в систему 1) созх, з!(пх, соз2х, Ип2х, ..., сових, и!ппх, .... (55.2) ) созлхсозтхах=О, пинт, (55.3) '1 а!паха!птхг(х=О, п~т, ~ созпхх!птхйх=О, т, а,=О, 1, 2, ...; 2) ~ сова лхйх= ~ а(паахйх=п, и=1, 2, ....
(5б.4) "' Происхождение термина «ортогональность» будет разъяснено а и. ВВЛ. Определение 2. Множества функций (55.2) называсчпся тригонол»етрической системой, Лемма 1. Тригонометрическая система (55.2) обладает следующими ссойстваии: 1. интеграл по отрезку [ — и, п1 от произведения двух различнь!х функций, входящих в нее, равен нулю (это свойство называется орпюгональностью *!) системы (55.2), т. е. Э Эь Тригонометрические Гявы фарье л л 1 ли ах гд и тх йх = — ) (сох (а — т) х — соя (и+ т) х1 е(х = ып (и — е!) х ьл яп (я+ж) х )л 2(л — еь) ( л 2(л+т) ~ — л Аналогично доказываются и два других равенства (55.3). Докажем теперь (55.4): л л соя' пх йх = ') (1+ сов 2пх) йх = и, з!п*лхс(х=-2- ~ (1 — соз2пх)дх=п. П Теорема 1, Пусть 1(х)=--+ е~~ а„совах+Ь„э!пах оь я=! и ряд, стола(ий в правой части этого равенства, сходшпся равномерно на отрезке 1 — и, п).
Тогда (55.5) Док аз а тельство. При любых целых неотрицательных и1, и, таких, что пеФп, имеем =-' 5н")" 1 л а„=--„— ~ 1(х) созпхйх, Ь„=- ~1(х) з(пахах, ~=1, 2, .... (55.6) — л Док аз а тельство. Поскольку ряд, стоящий в правой части равенства (55.5), сходится равномерно на отрезке [ — и, п), а все его члены являются непрерывнымн на атом отрезке функциями, то и его сумма )(х) непрерывна на отрезке 1 — и, л), а сам ряд можно почленно интегрировать (см. п. 36.4) от — и до и: )'ьь!е*= ( т-; ~ .. ° -ьь.
° )е.- л — л ' л=! л СО л л иь — ~ йх+ ~~) а„(~ сок пхе(х+ Ь„~ з!ппхйх=пае. — л л=! — л — л Отсюда следует первая из формул (55.6). дул. Определение ряда Фурье. Постановка освоения падая 34З Если ряд (55.5) почленно помножить на сових и з(п их (и =- =1, 2, ...), то полученные ряды будут также равномерно сходиться на отрезке [ — и, п1 (см. свойство 2 в п. 36.3).
Интегрируя почленно этп ряды и используя свойство ортогоиальпости (55.3) тригонометрической системы и равенства (55.4), будем иметь ~ Г(х) созлхе(х = ) а„созакхИх=па„, 1(х)51ппхих= ~ Ьнз)п пхе(х=лЬн. Из полученных соотношений непосредственно вытекают формулы (55 6) [ ) Теперь заметим, что интегралы (55.6) имеют смысл не только для функций, непрерывных на отрезке [ — и, п], а также, напримср, н для функций, интеграл от которых абсолютно сходится на этом отрезке. Напомним, что понятие абсолютно сходящегося интеграла (кгк и просто сходящегося интеграла) было введено только для функций, определенных на некотором интервале (а, Ь), — сс = а( (Ь =+со, у которых существует такое конечное множество точек хь 1=0, 1, 2, ..., А, а~хе(х,~...<хя==Ь, что фУнкциЯ гинтегрируема по Риману на любом отрезке ~$з тьй1, где х;,«$;( (т1; ~хь При этом, если а= — со, то х,= — со, а если Ь= +со, то х„=+ со.
Числа х„х„..., хн называются особыми точками функции. ь Если при этих предположениях интеграл ~ (1(х) ( е(х сходится, О то всегда имеет смысл и сходится интеграл 11(х) г(х (см. п. 33.5). О Функции, интеграл от абсолютной величины которых сходится на данном промежутке, называются абсояютяо интегрируемыми на этом промежутке. Отметим, что если функция интегрируема по Риману, на некотором отрезке, то ее абсолютная величина также интегрируема, по Риману, на нем (см. п.
28.1), и, следовательно, функция, интегрируемая по Риману на отрезке, абсолютно интегрируема на нем. Если интеграл от функции 1 абсолютно сходится на отрезке [ — и, п1, то для иее все интегралы (55.6) также сходятся, так как они представляют собой интегралы от произведения абсолютно интегрируемой функции 1(х) на ограниченную (синус или косинус), а такие интегралы абсолютно сходятся (см.
лемму 2 в п. 33.5). э" бб. Трпгоиометричегкие ряды Фурье Определение 3. )!усть функция 1' абсолютно интегрируслта на отрезке [ — и, п). Тригонометрический ряд (55.1), ковффициснты которого .задаются формулами (55.6), нххзывагтся рядом Фурье я!, или, более лодробно, глригвнометрическим рядом Фурье, а числа а„ и ܄— коэффициентами Фурье функции ~.
В этом случае пишут у(х) — -+ ~ а„совал+Ь,тплх. и=! Частичные суммы порядка и этого ряда будем обозначать через 5„(х, !), или, короче, 5л (х). Подчеркнем, что здесь знак- обозначает пе асимптотическое равенство, а просто соответствие: функции сопоставляется ее ряд Фурье. Теорему 1 в этих терминах можно перефразировать следую!пни образом. Всякий равномерно сходящийся тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы. Уп р з !к не ни е 1. Пусть функция 1 абсолютно интегрируема на отрезке [ — и, л) я пусть Г[») -2 +,)„созл»+Ь мпл» л=! Тогда, если функпия à — четная, то Ь„=О, л=1, 2, ..., если же à — нечетная функиия, то п„=о, л=о, 1, 2, .... 2. Является ли тригонометрический ряд ып лх лз л=! рядом Фурье? В этом параграфе будут изучаться периодические функции, т.
е. такиг функции ), для каждой из которых сутцествует число Т - О, тако, что при всех х, принадлежжцих области опредгл"- няя функции [, значения х+Т и х — Т также принадлежат этой области и выполняется равенство 1(»+ 7) =7(х). Такие функции называются Т-периодическими. Уп р зжнение 3.
Показать, по функция Г, равная нулю в любой рациональной точке н единице во всех иррвцнонзльнмх точках имеет своим периодом любое рациональное число, и никакое нррациоизльное число ие является ее периодом. ю Ж. Ф у р ь е [1768 — 1830) — французский физик и математик. 55.Л Определение ряда Фурье. Постановка осноенык зада«З4Т Пусть 1 абсолютно иитегрируема на отрезке [ — и, п1 и, следовательно, ей можно сопоставить ряд Фурье. Если ои сходится на некотором множестве, то сходится к 2п-периодической функции, так как все его члены 2п-периодичны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
