kudryavtsev2a (947416), страница 69
Текст из файла (страница 69)
+..., 4 3 5 т получим так который нам уже встречался раньше (см. п. 37.7, пример 2). У и р а >к не ни я. 5. Найти ряд Фурье функции [(х)=-)х[, — л; х=> л, ъх ! и с помощью него вычислить сумму ряда т лй (2й — 1)з' а=! б. Найти ряд Фурье для функций а) [(х)=х', О.--х.==..2л; б) )(х)=хз, — л-.="х=- л; в) [(х) =х> прн 0:= х -.
л, а на [ — л, 0) функция [ прокол>кена нечетным образом. С помощью полученных разлогкений вычислить суммы рядов ( !)и > л= ! в=! 55.5*. СХОДИй)ОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЛОВИЮ ГАЛЬДЕРА В этом пункте мы укажем более слабое достаточное условие, чем условие односторонней дифференцируемости (см. следствие 2 теоремы 4 в и. 55.4), также обсспсчявак>щее сходимость интеграла (55.25) и, следовательно, сходимость ряда Фурье 2л-периодической абсолютно интегрируемой на отрезке длины, равной периоду, функции ) к значении> (55.26).
Определение 9. Функция 7", определенная на интервале (х„й) называется функциеи, удовлетворяющей справа условию Гельдера степени !х в точке х„, если существуют конечный правощпоронний предел )(ха+О) и тпакие постоянные М)0 и 6)0,' что дья любого й, удовлетворяющего условию 0(й(6, выполняется нера- венство [! (ха+й) ! (ха+О) ' «Мй (55.33) 1 У(х,— й) — 7(х.— О),! ~мй.. (55.34) Функция 7', удовлетсорягощая в точке х, условию Гельдера некоторой степени как справа, так и слева, называется функцией, Функция !', определенная на интерсале (а, ха), называется функцией, удовлетворяюи[щ! слева условию Гельдера степени сс в пшике х„если существуют конечный лееосторонний предел ! (х„— 0) и такие поспюянные М)0 и 6)0, что для любого й, удовлепморяюи(его условию 0(й<6, выполняется неравенство у 55.
Тригонометрические ряди Фудьс удовлетворяющей условию Гельдера данной степени в рассмагприваемой точке, Функция, определенная на некотором отрезке, называется функцией, удовлетворяющей условию Гельдера данной степени на этом отрезке, если в каждой его точке она удовлетворяет условию Гельдера указанной степени, причем в каждой внутренней точке отрезка как справа, так и слева: в левом конце отрезка— справа, а в правом - слева. Отметим, что так называемое классическое условие Гельдера данной степени состоит в следующем.
Функция Т называется удовлетворяющей в точке х классическому условию Гельдера степени а)0, если существуют такие 6)0 и М)0, что для всех )1, 1(1' ,-6, выполняется неравенство 1('(х+й) — Т(х) 1 ~М1)г ~". Очевидно, что в этом случае, благодаря условию а)0, функция ( всегда непрерывна в точке х: из 1пп ~/г,"=О, а-> О, слеа а дует, что (пп((х+гг) =) (х). ь а Аналогично определяются односторонние классические условия Гельдера. Таким образом, отличие рассматриваемого нами условия Гельдера от классического состоит, в частности, в том, что согласно нашему определению функция, удовлетворяющая условию Гельдера в некоторой точке, может быть разрывной в ней. Условие Гельдера степени единица обычно называется условием Липигиг(а е). у п р а ж и е и и я.
7. доказать, что если фуакпкя удовлетворяет в некоторой точке условию Гельдера степени и, то прк Ос () <и опа удовлетворяет в этой точке к уславпю Гельдера сгепепп Р. 8. Доказатчь ч~о если функция имеет ка отрезке ограниченную пропзводную, то опа удовлетворяет па кем условию Лппшаца с одной к той же постоянной М. 9. Доказать, что если функция удовлетворяет яа некотором отрезке клас. спческому условию Гельдера степени а ) 1, то ояа постоянна па этом отрезке. 1О. доказать, что функция 1(х).=ха, х= О, 0(аен1, удовлетворяет в точке х=-0 условию Гельдера степени и и пе удовлетворяет в ней никакому условию Гельдерн степени р и.
Теорема б. Пусть 4ункг(ия 1' абсолютно интегрируема на отрезке 1 — п, п). Если она удовлетворяет в точке х~( — и, и) условию Гельдера степени а, а)0, то ее ряд Фурье сходится в этой точке сс его сумлга равна 1 (х+ 0) + 1 (х — 0) 2 *' Р. Л и п ш и ц (1832 — 1903) — немецкий математик.
55.5'. Сходьмьсгь рядов Фурье в частности, если функция, кроме того, непрерывна в точке х ен ( — п, и), пю ее ряд Фурье сходится к значению функции в этой точке: !цп 5„(х, )) — г'(х). Если функция г' удовлетворяет условию Гельдера справа в точке х= — и и слева в токе х=п, то ее ряд Фурье сходится в этих пгочках и его сумма в них равна 1( — и) +1(п) 2 Доказательство. Выберем 6, 0(б(п, так, чтобы во-первых, на отрезке 10, 6] не было других особых точек функ- 1,* (О ции — ',„— кроме, быть может, точки х=О, а во-вторых, чтобы при всех )г, !Ь((б, функция ) удовлетворяла условиям Гельдера (55.33) и (55.34) в точке х. Тогда, в силу формулы (55.22) для функции г,'(г), будем иметь ! ! — ! ! — — — ! )в (г) ! )1(х-1-г) — 1(х-1-0) ! (1(х — г) — 1(х — О) ! 2М !+! в Г т Поскольку интеграл ~ —,„а) О, сходится, то в силу приза пака сравнения сходится в нашем случае и интеграл (55.25).
Поэтому теорема 5 следует из теоремы 4. П В заключение заметим, что если функция 1 в точке х имеет правостороннюю производную ~~ь, то 1 удовлетворяет в этой точке справа условию Гельдера степени 1. В самом деле, цз существования конечного предела 1(х+Ь) — 1(х+ О) 1(гп ' =(' (х) ь-о следует, что найдется такое 6)0, что для всех Л, )Ь!(б, будет справедливым неравенство ! 1 (х+Ь) — 1(х+ О) г, ! Ь + ! ю откуда, положив М ' — -" (г"„(х) (+1, получим г (х+ Ь) — ) (х+ О) Ь следовательно, (1(х+Ь) — 7(х+0)((М(Ь(, !6! б. Аналогичное утверждение справедливо, конечно, и для лево- сторонних производных.
р Вд Тригонометрическое ряди Фурье ОЗ.В. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ МЕТОДОМ СРЕДНИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ Пусть функции 1 абсолютно интегрируема на отрезке 1 — н, л1 и удовлетворяет условию! ( — л) =- Г (л), а следовательно, 2л-периодически продолжаема на всю вещественную ось. Пусть 5„(х)— ее суммы Фурье, а Р„(х) — ядра Дирихле, 11=0, 1, 2, ... (см, (55.11) и (55.12)). Рассмотрим средние арифметические: лч [х)+лг [М+ ° + зи [х) Ф„(х) = "[ ' '[ '"+ "( ), л=О, 1, 2, .... (55.35) и+! Сумма о„(х) называется суммой Фейераа' л-го порядка функции 1, а Ф„(х) — ядром Фейера л-го порядка.
Из формулы з„(х)= — ~ Р„(и)[(х+и) йи (см. (55.!7)) получаем о„(х) = — ~ Фа(и)1(х+и) г[гг. (55.36) Будем исследовать поведение сумм оа(х) при л — э.оо, т. е. рассмотрим суммирование ряда Фурье методом средних а р и ф м е т и ч е с к и х (см. п. 35. 15). Изучим прежде всего свойства ядра Фейера. Лемма 6. Ядро Фейера обладает следующими ссойствами, 1'. Функция Ф„(х) является четной непрерывной 2я-периодической, причем Фи(0) = —; и+1 (55.37) "' Л, Ф е й е р (1980 — 1969) — венгерский математик. задача зз. Функция 5 определенная на отрезке [а, ь[, называется грунхцией клагта Гальдера Туп (М) на этом отрезке, если для каждой пары тачек х и х+й этого отрезка, х гн [а, Ь), х+Ь гм [а, Ь[, выполняется неравенство [[[х+Ь)-[[х) ~ =.
М ~ а [а, иначе говоря, если функция [ удовлетворяет классическому условию Гельдера одной и той же степени и и с одной и той же постоянной М во всех точках отрезка [а, Ь[. доказать, что если 2л-периодическая абсолютно интегрируемая на отрезке длины 2п функция принадлежит на некотором отрезке [а, Ь[ классу Гельдера Я" (М), О ( и . 1, М ) О, го на всяком отрезке [а', Ь'1, содержащемся в интервале[а, Ь): О (а (а' (Ь'чСЬ (2прядФурьефункции !сходится к ней равномерно.
бб.б. Сулямироваиие рядов Фурье методом вредят врифметииееяил Збз 2', Для всех ! ядро Фейера Фи(1) неотрицап!олино: Ф„(1) =:::0; 3е ! ~ 1 (! й( 2 ~ р (1) ия( — м о 4'. При 1~2йя, й=-О, 1„+ 2, ...: ..и+! япя — ! Ф„(1) = 2(и+1) вп" -— Гяедствие. Прб! люйоле г)тинсированнолт 6, 0(6«п, ил!сент лбгс!т1о расенсгпво 1(пт гпах Ф„(1) = О. (55.38) и сиб(,.я,'(и Доказательство. Сначала докажем свойство 1'. Четность, непрерывность и периодичность ядра Фейера следуют сразу в силу форо улы (55.35) из тех же свойств ядра Днрнхле (см. лемму 3 в п. 55.3). Далее, поскольку !)и(0).=й+ —, й=О, 1, 2,...,то в в Ф.
(0) = „— + 1,~'„' Оя (О) = — „+1,», (й+ 2) = л=о и=о ! и(и+1) и+1 и+1 и--! 2 2 2 Докажем свойство 3'! м л п -„- ~ Ф.(1)й(= „—,,')' „- ~ 04Яг(1=1. — и я=о — и В силу четности ядра Фи (1) отсюда следует, что 2 ~ 1 о — Л Докажем теперь свойство 4', из которого, очевидно, следует свойство 2'. Для !Ф2йя, /г=О, !-1, ! 2, ..., имеем Мп (Ь+ 2) (п+ 1) Фи (1) = ~~ О„(!) =- о я о вяп 2 2в!п- -Мп (в+ 2 ) ! — ~~ 1созй( — соз(й+!) !1= и о ' 4 5)п 4 о)пе и+1 1 — соя,и+!) ! 2 4 Мп'— 2 2 е)пе . 2 зто 5 55. Трпгоколегрическпе риды Фррее Отметим, что формулу (55.37) можно получить, в силу непрерывности ядра Фейера, и предельным переходом из свойс1ва 4', устремляя 1 к нулю.
Доказательство следствия. Используя свойство 4' ядра Фейера, получим и+1 1 Мпе — — 1 2 1 О ~ гпах Ф„(1) = —,—, гпах б('г1(л ' + )б~~г'<и емг-- 2(п+1)е1пе-- 2 2 Поскольку правая часть получившегося неравенства стремится к нулю при п-э.со, то из полученной оценки сразу следует (55.38). 1 ) Примерный вид графика ядра Фейера изображен на рис. 223. В этом пункте будем рассматривать только непрерывные на отрезке [ — л, л] функции ), принимающие на его концах равные значения: 1 ( — л) = 1" (л). Очер видно, каждую такую функцию можно продолжить 2л-периодически с отрезка [ — л, л] на всю числовую ось ес. Полученная функция, которую обозначим ! через 7, будет непрерывна на -л -5 0 5 ег х всей оси 14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
