kudryavtsev2a (947416), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Поскольку зто неравенство справедливо при любом е- О, то его левая час ь равна нулю. ( ) Следствие. Если еыпоянены предположения теоремьь то 1пп $ [[(х) — Зя(х),*дх=О. л со 55.10. хАРАктеР сходимостн РядОВ Фупье. НОЧЛЕННОЕ ДНФФЕРЕИННРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ Изучим связь рядов Фурье функции и ее производной. Теорема 13. Пусть функция 1 непрерывна на отрезке [ — л, л), ) ( — л) = ) (л) и пусть 7(х) ' — '+ ~~) а„созлх+Ь,з)плх.
«=! Действительно, в силу теоремы 12 при л-в.со правая часть равенства (55.52) стремится к нулю. ( ) у 55 Тригонометрические ряды ФуРье Если функция Т кусочно непрерывно дифференцируема на отрезке 1 — и, 4 (см. оггределение 1 в и. 30.2), то ~'(х) ,У, — па з[ппх+пЬисозах, т. е. ряд Фурье производной получается из р.чда Фурье самой функции форма гьным почленным дифференцированием '"'. Доказательство. Пусть Т'(к) - р+ ~г гх„соках+()„з[ггпх. ь=г Тогда, замечая, что)(п) ==1( — и), и интегрируя по частям, получим ( — п)1=0, п=1, 2, ....
П Перейдем к изучению скорости сходимости ряда Фурье в зависимости от гладкости функций. Предварительно докажем лемму, Лемма 7, Пгусгпь функция )' илгеет на отрезке непрерывные производньге до порядка Ь вЂ” 1 включительно и кусочно непрсрыснучо производнуго порядка гг([гги1) "э), причем Тц'( — и) =Тггг(п), 1=0, 1, ..., й — 1, и пусть ~(х) -'2'-+ ~ а совах+Ь„в[пах. ы ь=- г При этом без каких-либо предположений о сходимостн ряда Фурье производной. Мы говорим, что некоторая функция имеет кусочно непрсрывиую производную на данном отрезке, если эта функция является кусочно непрерывно дийх[ерсггцируемой функцией иа указанном отрезке [ем. определение 1 в п.
30.2). Тем самым, если функция имеет кусочно непрерывную производную на паком-то отрезке, то может случиться, что в конечном числе точек этого отрезка она вовсе пе имеет производной. Например, функция 1(х) = ~ х ~ па отрезке [ — 1, 11 имеет кусочно непрерывную производную, а в точке х= О не имеет производной. .=-„'- ~Г (1)д[=-.'и() — ~ л л сх„= — ~ )'([) созгг[с[1=-„-)(1) созп[ ~ + р„.= — - ~ Т'(1) з[пгг[дг'=-Т(1) з[ п[ ~ — )(1) к[пи[с[1= — пЬи, Т (1) соз п[ с[1 = — па„, 55.!О.
Характер схадамаста рлдса Фурье Тогда )а„~.= '„, (Ь„( =:-"„, и=1, 2, ..., где е„)0 и ряд ~Х„г,"1 сходится. л- — -1 До к а з а т ель ств о. Применяя последовательно теорему 13 Ь раз, получим (м) (х) ~ , 'а„соз пх+ р„з(п пх, а=т где либо а„— .+. пса„, 1„= -+. пьь„, (55.54) либо а„= т пьЬ„, р„= пьа„ (55.55) причем по неравенству Бесселя лт' а-"„+ 1(е ~ — ~ ~)~ь1(х)1' с(х. (55.56) сходится. Если справедливо (55.54), то Аналогично, ~Ь„!(-'"„Й=-!, 2, Г1одобнмм же образом эта оценка получается и в случае (55.55). ( 1 Теорема 14.
Пусть функция ) имеет на отрезке 1 — и, и) непрерывные производные до порядка Ь вЂ” 1 включительно и кусочно непрерывную производную порядка Ь (Ь'з:1), причем (со( — л) = =:)и'(и), 1=0, 1, ..., Ь вЂ” 1. Тогда ряд Фурье функции Р равномерно и абсолютно на всем отрезке ( — и, п1 сходится к самой функции ~ и ! 1" (х) — о„(х; 7) / ~ а где Ит т1„= 0 ((т1 ) — числовая последовательность), а 5„(х; Д— а. сс сумма Фурье тгорядка и функции ).
Положим е,=1 аа+11-„. В силу неравенства (55,55) ряд У',г', а=1 р лл. Трлгояол!етричеекие ряды Фурье Таким образом, можно сказать, что на отрезке [ — и, п) равномерно выполняется оценка Г(х) — 5„(х; 7) =О(и 1!' Предварительно заметим, что если 1и,', и (о„) — последовательности неотрицательных чисел, таких, что ~ч, ие(+со л.= ! гл и 'У', о„-<-+со, л — — 1 то '5", ило„==.1/ 'р', ие 1,/ '~', о,',.
л=! 1 л=1 т л=л (55.57) По лемме, ~а ~=-д, (Ь (=: — -д, (55.59) где е таковы, что ряд ;У; е. (55.60) ы=! СХОДИТСЯ. Применяя неравенства (55.57) и (55.59), оценим остаток гл(х) ряда (55.58): (г„(к)~= ~Х', а созтх+Ь з!Итх~.=. '5,' )а !+~Ь 1 ы=л-Ь! л!=л+1 ~2 д '— „~! )г ~ л, )г л —. 11!.1!! ы=л+! гл=л+1 ы=л+1 Действительно, это неравенство сразу получается предельным переходом из неравенства Коши — Шварца гг Г р Г и 'У', илпл == ~ГГ 'У', и,' ~/' "!'„О'„ПРИ Ь7-+.ОО (СМ.
П. 18.1 И 35.8*) л=! л=-! »=1 (отметим, что неравенство ' (55.57) является частным случаем неравенства (35.33) из п. 35.8» при р=-д=2). Доказательство теоремы 14. Пусть 7(х) — -+ ~~ а созтх+Ь з!Итх, (55.58) ы=1 л о„(х, ))=- -+ ~~) а соатх+Ь„ь!Ипех. уапЛО. Характер скодимвсти рядов Фурье Положим р!-!' х гл Рис. 224 13 нгпвппчоп Л. д. и. ! мп =,У„е'. т=л+! В силу сходимости ряда (55.60) имеем 1ип ил=О. л оо Далее, заметим, что на отрозке 1сп — 1, т) выполняется неравенство —,„« „— „-, (рис. 224) и, следовательно, т — ! Поэтому оо оо ьп +по чр ъ С С тол,~~,) х'я .) кьл (2а — 1) лп" ех т=п+! т=л+! т — ! л 'Таким образом, из (55.61) вытекает оценка Положим, наконец, т)л = —,= )/к„; в силу (55.62) 1ип !)л =О.
У 2!ь — 1 и оо Поэтому нз неравенства (55.63) получаем )гл(х)!» "', =о~ —,~, л=1, 2, ..., прн этом бесконечно малая пт не зависит от точки х. Согласно следствию 4 из теоремы 4 п. 55А ряд (55.58) сходится к функции ) (х), следовательно, гп (х) = =1(х) — оп(х, )) и, таким образом, равномерная сходимость ряда Фурье с указанной оценкой доказана. Его абсолютная сходнмость также дохазана, так как мы получили оценку(см. (55.61)) !х ~2Х.
! а,„~+ ! Ь ~ =. — "",, т=л-1- ! а из которой следует, что ряд Фурье функции г не только абсолютно сходится, но и что ряд, составленный из абсолютных величин его членов и даже, более того, ряд Х !и-!+!5-~ т=! сходится с той же «скоростью» ч", ( ) п 366 Э зц Тригонометрическое рядьг Фурье Теорема 14 показывает, что чем глаже функция (, т. е.
чем больше оиа имеет производных, тем быстрее сходится к ней ее ряд Фурье. При этом неравенство (53.63) дает возможность оценивать погрешность, получающуюся при замене ряда Фурье его и-й частичной суммой. Из этой теоремы следует, в частности при гс =1, что ряд Фурье всякой периодической периода 2л непрерывной и кусочно-непрерывно дифференцируемой функции (см. п.
30.2) равномерно на всем периоде сходится к самой функции. Упражнения. 11. Будет ли ряд Фурье функции((х)=~ х1, — и х~п, сходиться равномерно? Будет лн равномерно сходиться ряд, полученный почленным дифференцнровзнием ряда Фурье этой функции? 12. Показать, что ряд Фурье непрерывной периодической кусочно-линейной фунхции (определение кусочно-линейной функции си, в упраэкнении 6 в п.
19,6) сходится к ней равномерно. 13. Используя результат предыдушего упражнения и результат упраткиения 6 из п. 19.5, доказать теорему 7 из п. 55.7 о равномерной аппронсимацни непрерывных периодических функций тригонометрическимн полипомамв. 55.11. ПОЧЛКННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ -йь+ ~ аасозпх+Ьаа1ппх а= — 1 (55.64) — ее ряд Фурье. Тогда ~ 1(х) дх= ~ — '+ ~> ~ (аасоз пх+Ь„з(п пх) дх= о О а=!О = '-'-+ ~~ '— " згп п(+ —" (1 — соз и(), (55.65) а=1 и ряд, стоящий справа, сходится равномерно.
Отметим, что утверждение о сходимости (и даже равномерной) ряда (55.65) имеет место без каких-либо предположений о сходи- мости исходного ряда (55.64). Доказательство, Рассмотрим функцию (55.66) В этом пункте покажем, что ряды Фурье можно почленно интегрировать. Теорема 15. 1Тусть à — непрерывнал на отрезке [ — л, л) гйунк14ия и 35.11. Лепленное ингеерироваю!е рядов Фурье 387 Она непрерывна на отрезке 1 — и, п), имеет на этом отрезке непрерывную производную Г' (1) =1(1) — -"--'- и 2 л Р(п) — Г( — и)= ~ 1(х) г(х — лая=О.
Поэтому в силу теоремы 14 се ряд Фурье сходится к ней и при- том равномерно. Обозначим ее коэффициенты Фурье через А„ Ал, В„п = 1, 2, .... Тогда в силу сказанного Р(1) =- + ~ Алсозп(+Во ззпн1. (55.67) л=! Найдем коэффициенты этого ряда.
Интегрируя по частям, получим п н Ал = — )) Р (1) со 3 п1 Й = — - Р (1) "", — — 1 !7'(1) — — "-1 1Ж вЂ” — "-, и' о=1, 2 Аналогично, Вл=-д, а=1, 2,,... Чтобы найти А„положим в (55.67) 1=0. Тогда, заметив, что Р(0)=0, получим й + 7 Ал=О, откуда -2- —— Ап ът Ап Ъ~ йл л=! Итак, Е(1) = ~~1~ -„'-зги п1+ „" (1 — соз п1). л- — - ! Отсюда и из (55.66) и следует формула (55.65), равномерная же сходимость ряда (55.65) следует из равномерной сходимости ряда (55.67) 1 ! %1 яп лх Задача 36. Доказать, что сходягнийси тригонометрический ряд л=з не является рядом Фурье никакой абсолютно интегрируемой функции.
Отметим, что если ~ 7'(х)г(х=О и, следовательно, аз=0, то в результате почлсппого интегрирования ряда Фурье функции 7 снова получается ряд Фурье некоторой функции 1', а именно, как !3" з" дк Триголоыетрасеелае ряды Фурье следует из доказанного, е Р (х) = 1 1 (1) с(1. о Поскольку для любой первообразной Ф для непрерывной на отрезке ( — л, л) функции )' справедлива формула Ньютона— Лейбница Ф(л) — Ф( — л)= ~ 1(х) с(х, то условие ~ 1(х) с(х= — О равносильно тому, что все первообразные функции 1 принимают на концах отрезка ( — л, л1 одинаковые значения. 55,12, Ряды ФуРье В случАе пРОизВОльнОГО интеРВАлА. КОМПЛЕКСНАЯ ЗАПИСЬ РЯДОВ ФУРЬЕ Теория тригонометрических рядов Фурье 2л-периодических функций легко переносится и на случай периодических функций с любым периодом 21.
Для этого достаточно отрезок [ — 1, отобразить на ( — л, л) с помо!пью линейного отображения; и= — ",-х, — 1=-х==1, — л=а(с~л, тогда вопрос сведется к уже рассмотренному случаю. Рядом. Фурье функции )' с периодом 21 по исходной переменной х называется ряд а, чз лах . лах — — + елсоз — +Ь,юп —, л=! где а,=- ~)(1)с(1, а„= — ~ 1(1)соз — "с с(1, — 1 — с с Ь„= —, ~ ~(1) з!и" — ", с(1, и=(, 2, В частности, если функция 1 четная, то 1(х) — -+ ~ а„соз —, л=! где ал= —, ~1(1) соз-"- с(1, п=О, 1, 2, ..., о Я.12, Комплексная запись рядов Фурье 389 а если ) — нечетная, то ~(х) ~~) Ь„з(п" — ", н=г где Ь„= — ~ 7(1) 81п — г(г, п=-1, 2, 2 Г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
