kudryavtsev2a (947416), страница 74
Текст из файла (страница 74)
р. *! +со ' с» ц. р. 1 ср(х) Дх а — "! 1!!и 1 (Г(х)г(х. (55.!7) со »» +со Подчеркнем, что отличие этого определения от определения +со несобственного интеграла ~ !р(х)г(х в смысле определения п. ЗЗЛ состоит в том, что там для функции ф, интегрируемой на любом о' Главное ааачепае — по.французски ча!еот рнпс!ра!е. Зэт Ж4. Комплексная запись интеграла Фурье +го конечном отрезке, интеграл ~ гр(х) с(х определялся как предел интегралов ~гр(х)с(х при независимом сгремлеиии $ к — со и е) $ к + оа. Здесь же требуется существование лишь предела указанных интегралов ~<р(х) с(х для частного случая, когда $= — т1 и т( -~+ со.
Подобным же образом определяется и главное значение несобственного интеграла в точке: пусть а(с(Ь и функция ер' при любом э ~ О интегрируема, по Риману, на отрезках 1а, с — е] и (с+э, Ь) (естественно, предполагается также, что а(с — е и ь с+е(Ь); тогда главное значение интеграла )чг(х)с(х в точке с и определяется формулой ь ге — е ь . е 1е(пг = ° (1 е()ы ь 1 е(ео~. и е ь и с+е Иногда, там, где это не может привести к недоразумениям, интеграл в смысле главного значения обозначается просто символом интеграла без букв о.
Р. Если для некоторой функции существует несобственный интеграл, то у этой функции существует и главное значение интеграла и оно совпадает с ее несобственным интегралом. Обратное неверно: у функции может существовать (и, следовательно, быть конечным) главное значение интеграла, а несобственный интеграл быть расходящимся. +со е дх Например, интегралы ~ хдх и ~ — не существуют как не— го — ! собственные, однако существуют в смысле главного значения, которое в обоих случаях равно нулю. ЭВ.4. МОИПЛЕНСНАЯ ЗАПИСЬ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ Вернемся к формуле Фурье (66.14) и запишем ее, используя понятие главного значения интеграла, в другом виде. В силу не- четности по у подынтегральиой функции в интеграле (56.16) имеем, согласно сформулированному определению главного значения интеграла +со +со о Р $ с1У $ 1(г)э1пУ(х г1с(с=О.
(66.18) ззз У бб. Интеграл Фурье и преобразование Фурье с Умножив обе части этого равенства на -- и сложив с интегра- 2Л лом (56.14), получим -«со +ос Г(х)= — ~ г(у ~ ~(1)е«сл-ой(, (56.19) где внешний интеграл понимается в смысле главного значения. Формула (56.19) н называется комплексной записью интеграла Фурье. За.б. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Если положить + сь Ф(у) == «Р 'г яе т«'й(, Рзй з то формула (56.19) примет вид ) (х) = о. р. —...
) Ф (у) е'л«йу, 1 )с 2п (56.20) Определение 3. Функция Ф, которая .ставится в соответствие функции ) формулой +со Ф (у) = о. р, = ~( ) Я е-'«' аг, ))т т2и а (56.21) П)='р .,-2- ~ )а(у) г""йу (56.20') Эта формула позволяет восстановить саму функцию ), если известно ее преобразование Фурье ~. Она называется форлтулой обращения. называется преобразованием Фурье функции 1' и обозначается ГЩ или г'. В атом определении 1(1), вообще говоря, комплекснозначнаЕ функция действительного аргумента.
Отметим, что функция Ф =-- =г И может принимать существенно комплексные значения и в том случае, когда функция 1 принимает только действительные значения. Преобразование Фурье определейо, в частности, для всех абсолютно интегрируемых функций. Употребив, например, для преобразования Фурье функции )' обозначение ~, формулу (56.20) можно записать в виде '399 55.5.Преовреэевпнее Фурье Определение 4. Функция Ч", которая ставится в соответствие функции [ формулой +со Ч' (у) = о, р. = ~ 1' (1) е'е' Ш, (56.22) )' 2я называется обратным преобразованием Фурье функции 1 и обозначается Е [Л. Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье определены на множестве функций, для которых интегралы (56.21) и (56.22) существуют в смысле главного значения.
Это множество содержит в себе, в частности, множество всех абсолютно интегрируемых на всей вещественной оси функций, для которых интегралы в формулах (56,21) и (56.22) можно понимать как обычные несобственные интегралы, а не только как интегралы в смысле главного значения. Термин «обратное преобразование Фурье» оправдывается тем, что преобразование е-' обращает преобразование Фурье Р. Более точно, справедлива следующая лемма. Лемма 1.
Если непрерывная абсолютно интеерируемая на всей оси функция 1 имеет в каждой точке конечные односторонние производные, то Е '[ЕУУ1с Е[Е 'ЧП=[. Доказательство. Первая формула обращения, т. е. формула Р-'[Е[)11 =), является просто другой записью уже доказанной формулы (56.19). Покажем справедливость второй формулы обращения. Поскольку косинус — четная функция, то в (56.14) можно переставить местами г и х: +со +со 1(х) = — ~ ду ~ ) Я соз у (1 — х) Й„ в силу же нечетности синуса (ср. (56.18)) +со +со о.р. $ ду'3 [(1)з(пу(1-х) и(=О.
Поэтому наряду с формулой (55.19) имеем также +о +ос Г"(х)=2 — „') ду ~ 1(1)е" и-е~д1, илн -Ь оо +ос по — '- ( -'-- [ с~о""е~ '""с. У ЗВ. Интеграл Фурье о нреоброеоеоние Фурье где внешний интеграл понимается в смысле главного значения. Эта формула может быль переписана в виде Р[Р'И)=[ П Отметим, что справедливость формул обращения может быть доказана и при более слабых ограничениях на функцию, чем существование у нее в каждой точке односторонних производных.
Лемма 2. Пусть для функций [, и 7', существует преобразование Фурье (соответственно обратное преобразование Фурье). Тогда, каковы бы ни были числа Л, и Л, длЯ фУнкйии Лг),+Лег, также существует пргобразование Фурье (соответственно обратное ему), причем Р [Лг7г + Л оЦ = ЛтР ~~т~)+ Ле Р [Ц (соответственно Р-' [Лг[т+ Л,Ц = Лтр [Ц+ Льр ~[Я). Это свойство называется линейностью преобразования Фурье (соответственио обратного преобразования Фурье).
Оно непосред- ственно следует из линейности интеграла и нз формул (56.21) и (56.22). Следствие. Р [01 = Р-'[01 = О. Действительно, например, Р [О) = Р [О О) = 0 . Р [О~ = О. Впрочем, это свойство следует, конечно сразу и из формул (56.21) и (56.22). Лемма 3. Преобразование Фурье Р, так же как и обратное преобразование Фурье Р-', являтотся взаилтно однозначными ото- бражениями множества непрерывных абсолютно интегрируемых на всей вещественной оси функций, имеющих в каждой точке одно- сторонние производные, во множесоюо функций, для которых ин- тегралы (56.21) и (56.22) существуют в смысле главного значения. Доказательство.
Достаточно доказать лишь взаимную однозначность отображений Р и Р-' — остальное уже доказано выше. Докажем, например, взаимную однозначность отображе- ния Р. Пусть Р[Я=Р[Я; тогда [ [ 1 г Р т [ Р Д г г Отсюда согласно лемме 1, следует, что [.=[' и Преобразование Фурье во всяком случае определено для абсо- лютно интегрируемых функций. В следующих пунктах будут изучаться свойства этого преобразования.
В дальнейшем же будет показано, как преобразование Фурье обобщается на более широ- кие классы функций, а именно на функции с интегрируемым квадратом (и. 58.7*) и на так называемые обобщенные функции (и. т59.7), бб.б. Иптегралэ( Лапласа 66.6. ИНТЕГРАЛЫ ЛАПЛАСА ' 401 +ОЭ л 1(у) = = 1 е- а (е-(ке,(х = )'2л ) о +оэ = = ~ е"е-("е((х+= ( е "е-("е((х= +ОЭ +ОЪ ~ ~! -(! е(х+. ~ е-(. м! ()х 6(2л ~ )с 2л 1 ~ 1 1 2 а ==~ — + Гс2л (а — (у а+(у) 1 л аэ+уэ Применение обратного преобразования Фурье к полученной функции дает исходную функцию +оэ е "== ~ г1,( — е(кеду х=-0. У(2л,) У л аэ+ Уэ Вспоминая, что е(ке=созху+1з!пху и замечая, что в силу не+со четности подынтегральной функции ~, ~эе(у=О, получим + ОО +Ос а !' еоеху 2а (" соску е "= — 1, ч((у= — о, эду, х)0.
Найдем теперь преобразование Фурье 1 нечетного продолжения функции е-'", а)0, с положительной полуоси х О, т. е. преобразование Фурье функции х~О, х~0. 1(х) = Имеем о +оэ 1(*(- — ! ( — "( -'*"к += ~ -э""к'= 1 Г 1 )('2л о г 2л 1 ( 1 1 =( — + Г'2л '! а — !у а+(у ) 2 у л аэ+у' ( ° Найдем преобразование Фурье ~ четного продолжения функции е , а)0, с полупрямой х=О на всю числовую прямую, т. е. попросту говоря, преобразование Фурье функции 1(х) = =е а!к( — сю Сх~+со: й ВВ.
Интеграл Фурье и лреобравование Фурье 402 Применив снова формулу обращения преобразования Фурье, получим +СО +СΠ— СО о Итак, нам не только удалось найти преобразование Фурье рассматриваемых функций, но и получить сразу из формулы обращения (56.20') значения двух интегралов: +СΠΠ— йу= --е " х-ОО ссо ху я аь+у' 2а + СО у моху и — — йу=- — е-"» х >О.
а»+у» 2 Эти интегралы называются интегралами Лапласа. аасп СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ Н этом и следующих пунктах будут рассмотрены некоторые свойства преобразования Фурье функции Г, которое, как и выше, будет обозначаться через ) илн г 1Д. При этом будет предпола- гаться, что функция ) принимает, вообще говоря, комплексные значения, а се аргумент, как всегда, действителен. Лемма 4. Если функция ~ абсолютно интегрируема на всей числовой оси, то ее преобразование Фурье Г (у) ограничено на всей оси, причем +СО Д(у) ~~= ~ /~(х) (йх. (56.23) Следствие.
Если последовательность абсолютно интегрируемых функций 1„(х), п=1, 2, ..., и абсолютно интегрируемая функ- ция ~(х) таковы, что +СО !пп ~ ~(а(х) — ~(х),'йх=О, то последовательность (~„(у)) равномерно на всей числовой оси сходится к функции 1(у). Д о к а з а т ел ь с т в о. Неравенство (56.23) следует из формулы (см. (56.21)) е (х) е-си у йу (56 24) )с 2п если только вспомнить, что ~е-' о ~=1. ( ) 403 бб.7.
Свойства яреобравованая Фурье Следствие сразу вытекает из неравенства (56.23) и линейности преобразования Фурье, ибо + о В.(у) †)(у)( = ~) (М вЂ” 1( )~ =- — ') У.( ) — )'( )~" П (56,23) Лемма 5. Если сйуннь(ия 1 абсожотно интегрируема на всей числовой оси, то ее преобразование Фурье 1(у) непрерывно и 1(п1 7(у) =О. (56.25) е +оь Доказательство. Пусть 7(х)=и(х)+(и(х), где и(х) и о (х) — действительные абсолютно интегрируемые функции.
Поскольку ) (х) = и(х)+ ро (х), то для доказательства непрерывности функции )(у) достаточно доказать непрерывность функпнй и (х) и п(х). Здесь, как в=егда, и(х) и п(х) — действительнозначные функции действительного аргумента, а и(х) и о(х) — вообще говоря, комплекснозначные функции действительного аргумента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
