kudryavtsev2a (947416), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Согласно лемме 2 из п, 55.2, для любой действительной абсолютно интегрируемой на всей оси функции) (х) существует последовательность финитных ступенчатых функций ф„(х), п= 1, 2, таких, что .ь со 1пп ~ )ф,(х) — )(х)) дх=О. о со В силу следствия леммы 4 последовательность (ф„(у)1 сходится равномерно к функции 7(у). Для того чтобы убедиться в непрерывности функции ) (у), достаточно доказать, что функции фх(у) непрерывны (см.
теорему 8' в п. 36.4). Покажем это. Каждая финнтная ступенчатая функция является линейной комбинацией одноступенчатых (см. и. 55.2), точнее, характеристических функций полуинтервалов вида (а, Ь). Поэтому в силу линейности преобразования Фурье непрерывность функции 1' будет доказана, если мы покажем, что для характеристической функции любого полуинтервала [а, Ь) ее преобразование Фурье непрерывно. Пусть то — характеристическая функция полуинтервала (а, Ь), т. е. ы(х) =1, если а=--,.х<Ь, и ьо(х) =О, если х<а или х~Ь. Тогда в силу (56.21) при у~О имеем ь ь "()==-1 -'" = —;5 ""(-')= ! (у 1' 2л ~к=ь ((в;ьв — е ~ат) — Е-~хв ~ у)"2л (х=а у 1' 2л У бб.
Иигеерал Фурье и ареобраэоеанае Фурье 404 Если же у=О, то в силу той же формулы (56.21) ь й(0) == г! дх=:. ! Г Ь вЂ” а !'2а Р 2я Итак, ! !е лье — е 'ае) оо(у) = 1' 2и прн у~0, при у=О. Очевидно, правая часть этого равенства является непрерывной функцией при всех у ~ О, Покажем, что она непрерывна и при у = 0: 1!по = =- — Егп — [(1 — !Ьу+ о (у)) — (1 — (ау+ о (у))) = е о ур2а У2яе оУ = =1пп !Ь вЂ” а+ — ~==, 1 . Г а(у)Ч Ь вЂ” а 3/2ае о~ у ~ $~2а т. е. функция оо(у) действительно непрерывна в точке у=О. Таким образом доказана непрерывность на всей числовой оси преобразования Фурье ! абсолютно интегрируемой на всей число- вой 'оси функции ), принимающей действительные значения. От- сюда, как было сказано, сразу следует и непрерывность преоб- разования Фурье 1 абсолютно интегрируемой на всей числовой оси функции 1=и+!о, т. е. принимающей, вообще говоря, и комплексные значения.
Равенство (56.25) следует из теоремы 2, п. 55.2. Действительно, пусть снова сначала функция 1 абсолютно интегрируема на всей числовой оси и принимает только действиэельные значения, тогда + СЮ +СО !о)= —.(! я ~ * е — ! не ° ее]. -~2а, где в силу указанной теоремы вещественная и мнимая части, а следовательно, и сама функция ~ (у) стремятся к нулю при у-+ + со. Если, теперь, ! =и+ !о, то по доказанному 1!го й (у) = е +а 1!нэ о(у) =О, следовательно, 1!щ 1(у) =О. ! ) Е ььь а ььь Ьа.а.
пРВОБРАзОВАиие 'ФуРье пРОизВОдных Теорема 2. Пусть абсолютно интегрируемая на всей числовой оси йункция )' имеет и абсолютно интегрируемых и непрерывных на всей оси производных. Тогда Р(Р!)=(!у)'РЩ, й=О, 1, ..., п, (5626) бб.д. Преобразование Фурье произеодпык и суи(естеует постоянная М) 0 такая, что !Р[Л1 -1„.1. (56,27) Доказательство.
Пусть сначала функция 1' принимает' только действительные значения. Если 1 абсолютно ннтегрируема на всей оси вместе со своей производной 1' и эта производная непрерывна, то к 7(х) =7(О)+~ 1' (1) с(1. о +со Поскольку интеграл ~ 17'(1)1ь(1 по условию теоремы схо+о» дится, то сходится н интеграл ~ 1'(1)ь(1, поэтому в силу опрек деления сходимости интеграла существуют пределы 11гп )1' (1) ь(1 к- асов и, следовательно, пределы 11т 7(х). При этом из сходимости к васо +»» интеграла ~ ) (1) е(1 следует, что указанные пределы равны нулю: 11т 7(х)= — О. Применив интегрирование по частям к формуле к ьтсо преобразования Фурье, получим +со е 1 Н- »» щ'~ == ~ )' (х) е-'-'ее(х==[(х)е-ске~ + "ес 2я Г' 2я ~ — со +со + У 1 1(х) е-с"е с(х= (уРЩ. 12а .1 Таким образом, дифференцирование функции приводит к умножению ее преобразования Фурье на множитель ьу. Если теперь 7=и+ И, где и и о — вещественные функции, и снова 1 абсолютно интегрируема вместе со своей производной )'=и'+ш' и эта производная непрерывна, то Р [Д = Р [и'+ Ь'1 = Р [и') + ьР [о') = туР [и1 — уР [п1 = = (уР[и+ ьо)= ьуР Щ.
Формула (56.26) при и=-1 доказана. Для произвольного и она получается отсюда по индукции. функция Р[~~к)~ ограничена (см. лемму 4), поэтому верхняя грань М = знр Р[1чк~) конечна и, следовательно, оценка — о:»<в<+со (56.27) следует из формулы (56,26) при й=п. Ц б бб. Интеграл Фурье и преобразование Фурье Итак, чем больше абсолютно интегрируемых производных имеет функция ), тем быстрее стремится к нулю на бесконечности ее преобразование Фурье. Заметим, что теорема 2 вместе с ее доказательством остается справедливой и в случае, ногда производная и-го порядка рассматриваемой функции является не непрерывной, а имеет конечное число разрывов первого рода (см.
п. 5,!) при сохранении остальных предположений. Действительно, в этом случае указанная производная на любом конечном отрезке является кусочно- непрерывной функцией (см. п. 28.3) и потому проводимое в доказательстве интегрирование по частям законно (см. и. 30.2 и п. 33.2). Упражнение 2. Наказать, что преобразование Фурье Г(у) функции 1 !11 1(х).=1, равно О~ — 1 при у- со. ~х з 56.9. сВВРткА и пРеОБРА30ВАние ФуРье Пусть функции гр и ту определены на всей действительной оси. В различных вопросах математики часто используется так называемая свертка функций гр и тр, которая обозначается грету, или, если х — аргумент свертки, через (ер*тр) (х) и определяется равен- ством (Р $) (х) = ~ Р (() Ф (х — 1) й) (56.28) Для простоты в этом пункте будем предполагать, что рассматриваемые функции гр(1), тр(1), )1(1) принимают только действительные значения.
Интеграл (56.28) заведомо существует, если обе функции ограничены и абсолютно интегрируемы *1. При этом интеграл (56.28), и более того, интеграл ~ ~.(1)ф(х-)~й( равномерно сходятся на всей действительной оси. В самом деле в силу ограниченности функции тр имеем ~ ф,'==..М, где М вЂ” постоянная, поэтому для всех х и 1 ~ гу (1) тр (х — Г) ~ ~— М ~ ~гу ((Н и сделанное утверждение в силу абсолютной интегрирусмости функции <р вытекает из признака Вейерштрасса равномерной сходимости интегралов (см. п. 54.1~.
Из приведенных рассуждений следует также, что если функции гр и тР ограничены, абсолютно Сугцествовзние интеграла (86.28) можно гарантировать и при болев общих условиях, однако я~ы на атом не будем здесь останавливаться. 407 об.у. Свертка и вреобравовавие Фурье интегрируемы и непрерывны, то и их свертка 7" также непрерывна; ограничена и абсолютно интегрируема. Действительно, непрерывность функции ) следует из равномерной сходимости интеграла (56.28), а ограниченность — из оценки + со + 00 !(Ч'вФ)(х)~~- $ !'р(г) Р( — ()~ ((~М $ ~тр(М~г(Г Докажем абсолютную интегрируемость свертки.
Пусть ~=~риф; имеем .С СО +СО +СО 1 ~ и и е*- 1 О ~ О (с) м -+ +СО +СО + со + СО е(х ~ ~ тр (() ф (х — () ( Ж = ~ 3 тр (Г) ~ Й ~ ~ Ор (х — т) ~ е(х ОО О СО О (Чс(с) ( ь(с ~ (ф(в) (ь(в. (56.29) Перестановка порядка интегрирования здесь возможна в силу того (см. теорему 7 п. 54.3), что интеграл ~ ~<р(ь)ф(х — ~)(еУ + СО равномерно сходится на всей оси, интеграл ~ ~<9 (г)ф(х — ь) ~ е(х = + СО = ~'р(т) ~ ~ !ф(х — г) ~ е(х равномерно сходится на любом конечном +ОС +00 отрезке (почему?), а повторный интеграл ) е(х ~ ~~р(г)ф(х — г)~е((, как зто следует из последнего равенства формулы (56.29), существует.
Таким образом, при сделанных предположениях к функции 7 = тр в тр можно в свою очередь применять операцию свертки с некоторой непрерывной ограниченной и абсолютно интегрируемой функцией (причем снова получится функция того же класса) или преобразование Фурье. Операция свертки функций коммутагливна и ассоциативна в рассматриваемом классе функций. Действительно, выполнив в интеграле (66.28) замену переменного х — г=в, получим -,'- со + со треф= ~ тр(1)Ор(х — г)ьте= ~ <р(х — з)ф(в)е(в=фетр. Далее, производя в ниже написанном интеграле замену переменного г'=у — $, меняя порядок интегрирования и делая замену й оо. Интеграл Фурье и ареабрагаеассие Фурье х — у+$=т), получим (траьр)ау.= ~ т(у — х)пх ~ <р(()ф(х — ()е((= + со + со = ~ Х(у — х)у ~ р(у — $)ф( — у+5)А= + со + со ср (у — $) и'$ ~ ф (х — у+ $) 11 (у — х) е(х = + со -~- со р(у — $) $ ~ ф(Ч)Х($ — Ч)(Ч=(фаХ) р= р*(фа)().
Возможность перестановки порядка интегрирования и в этом случае следует пз теоремы 7 и. 64.3. Действительно, исследуем на равномерную сходимость интегралы )((у — х) ~ <р (у — $) тр (х — у+ $) й$, (56.30) тр(у — $) ~ ф(х — у+ 5) )((у — х) дх. (56.31) В силу ограниченности функцийфи у имеем ~ф) =М, )у~ М, где М вЂ” постоянная, и поэтому ~ т, (у — х) <р (у — $) ф (х — х+ в) ) .== М' ~ <р (у — $) (, ! р(у — В) Р( — у+В)Х(у — ) ЫМ"дЬ вЂ” х)1. Из этих неравенств и абсолютной интегрируемости функций ~р н 1( следует, согласно признаку Вейергнтрасса, что интегралы (56.30) и (56.3!) равномерно сходятся соответственно относительно переменнмх х и $ (переменная у фиксирована) на любом конечном отрезке (почему)). Наконец, существует повторный интеграл +со +со ~ 1Х(у — ) р(у — В)ф( — у+В) ИВ=(! р!*И!)а !Х!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
