kudryavtsev2a (947416), страница 77

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 77)

7. Рассмотрим метрическое пространство функций, определенных и ограниченных на множестве Е, расстояние между которыми определено формулой (57.1). В этом пространстве последовательность функций ф„, п=1, 2,..., является фундаментальной, если для любого числа а~О существует такой номер п„что для всех номеров п=-п, и т~тл выполняется неравенство р(ф,', ф )=зпр~ф„(х) — ф (х)~ -'г, т. е. если последовательность (фл) удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости последовательности на множестве Е (см.

п. 36.2). В силу этого критерия последовательность (ф„) равномерно на множестве Е сходится к некоторой функции ф, т. е. (57.4) 1пп зпр )ф(х) — ф„(х) (=О. л сл г Покажем, что эта функция ф также ограничена и, следовательно, принадлежит рассматриваемому пространству. Действительно, в силу (57.4) для любого числа е О, в частности для е=1, существует такой номер п„что для всех п=-п, и всех х ~ Е выполняется неравенство ) ф (х) — фл (х) ~ ( 1; поэтому ~ ф (х) ~ — ) ф (х) фл, (х) ~ + ~ фл, (х) ! ( 1 + зпр ! фл, (х) !.

Так как функция фл, ограничена, то ограничена и функция ср, Мы доказали тем самым, что рассматриваемое пространство функций является полным. Можно показать, что метрическое пространство функций, рассмотренных в примере 5, не является полным. 4!а В7.!. Метра«вские пространства Для всякого метрического пространства Х естественным образом вводится понятие е-окрестности 1!(х, е) точки х ~Х, в~О: 1!(х, е)=(у: у ен )г, р(у, х) <е), а затем дословно, так же как для и-мерного пространства (см. т.

1, п. 18.2), вводятся понятия точки прикосновения множества, предельной и изолированной точки, граничной и внутренней точки, замыкания А множества А, понятие замкнутого и открытого множества. Справедливы для произвольных метрических пространств и леммы 3, 4, 5 и 6, доказанные в п. 18.2 для открытых и замкнутых множеств и-мерных евклидовых пространств, причем доказательства, приведенные в п.

18.2, сохраняют свою силу и в общем случае. Определение 6. Множество А метрического простран тва Х называется плотным в пространстве Х, если замыкание А множества А совпадает с пространством Х: А=Х. Например, множество рациональных чисел плотно во множестве действительных чисел. Очевидно, что свойство множества быть плотным в пространстве сохраняется при изометрических отображениях этого пространства.

Определение 7. Полное метрическое пространство Х* называется пополнением метрического пространства Х, если в пространстве Х* суи(еспмует плотное в нем подмножество Х', изометричное пространству Х. Например, множество действительных чисел является пополнением множества рациональных чисел. Иногда бывает удобно «отождествить» элементы пространств Х и Х', соответствующие друг другу при изометричном соответствии пространств Х и Х', и тем самым рассматривать множество Х как подмножество его пополнения Х*.

Поясним более подробно операцию отождествления элементов двух изометрических пространств Х и У. Пусть Х и У* — метрические пространства, У ~ У*, ): Х-в. У вЂ” изометричное отображение. Рассмотрим множество Х«=ХЦ(У*'~У), получающееся из пространства Х присоединением к нему множества У* У. Таким образом: Хв',Х= = У*'~У.

Определим для точек хан Хв и у АХ* понятие расстояния рх» (х, у) Зля удобства введем отображением: Х*- У*, задаваемое формулой вм ~ !'(х), если х АХ, Г (х) — ' ( х, если х АХ*" Х. Ясно, что Г является взаимно однозначным отображением (бнен- цисй) множества Х* на Ув. 4!6 У Б7. Функннональнив пространства Теперь для любых хев Х* и уе- =1'* положим Р» (х, у)=р(г (х), Р(у)).

Иш р (х„, д„) = О. и о» (57.5) Эквивалентность двух последовательностей (х„) и (у„) обозначается символом (х„) (д„); она обладает следующими свойствами: 1'. Всякая последовательность (х„) эквивалентна сама себе: (х."1- (х.) 2'. Если (х„) (у„), то (у„) (х„). 3'. Если (х„) (у„), а (у,) (г„), то (х„1 (г„). Нас будут интересовать только фундаментальные последовательности пространства Х.

Их множество распадается на непересекающиеся классы эквивалентных между собой последовательностей. Обозначим этн классы через х*, у*, г*, ..., а их совокупность — через Х*. Если фундаментальная последовательность (х„'1 содержится в классе х', то будем, как обычно, это записывать следующим образом: (х„) ~ х*. П. Определение расстояния р*(х*, у*) в Х*. Пусть (х„) и (у„) — две фундаментальные последовательности метрического пространства Х. Тогда числовая последовательность р (х„, у„) также фу.ндаментальна, т.

е. удовлетворяет условию Коши (см, п. 3.7). Действительно, для любых номеров и и т Р(хн, Ун) ~Р(хн~ х~в)+Р(хнн Утв)+Р(ди Ул) Легко проверить, что определенная таким образом функция р». (х, у) удовлетворяет трем аксиомам расстояния, и, следовательно, Х* является метрическим пространством, а отображение г' изометрично отображает пространство Х* на )т*, причем при этом отображении множество Х переходит в г'. Поэтому, если множество )т было плотным в пространстве 1'*, то множество Х будет плотным в пространстве Х*. Под утверждением «отождествим в пространстве )т* множество Х с изометричным ему пространством У» и понимается рассмотрение пространства Х* вместо )т*. Покажем, что для всякого неполного метрического пространства существует его пополнение, т. е, покажем, что всякое неполное метрическое пространство является плотным подмножеством в некотором полном метрическом пространстве. Теорема 1.

Для всякого метрического пространства суи(ествует его пополнение. Доказательство. 1. Конструкция пополнения Х* заданного метрического пространства Х. Две последовательности (х„) и (у„) элементов пространства Х назовем эквивалентными, если 417 57Л. Метрические пространства и, следовательно, в силу симметрии индексов п и лс !р(х„, д„) — р(х„, д ))(р(х„, х )+р(д„, д ). (57 6) Из фундаментальности последовательностей (х,) и (д„) следует, что для любого числа е л0 существует такой номер и„ что для всех номеров п~п, и лс~пв выполняются неравенства в е р(х„х )(- —, р(д„, д„)( —- Из (57.6) и (57.7) для п~пв и не~ив получаем !р(х„, д,) — р(х„„д )~ е. Следовательно, числовая последовательность (р (х„, д„Ц является фундаментальной, т.

е. удовлетворяет условию Коши и, следовательно, сходится. Пусть (х„) ен х*, (д„) е- =д'. Положим, по определению, р*(х*, д*)ив " 1пп р(х„, дл). В силу доказанного указанный прел»» дел существует. Покажем, что так определенная функция р*(хв, д*) не зависит от выбора фундаментальных последовательностей (х„) ен х' и (д„) яд* и удовлетворяет аксиолтам расстояния. Пусть (х„) еяхв, (х„') еих*, (дл) еидв, (д,',) еид*. Тогда р(х„, дл) =.р(х„х',)+р(х,', д,')+р(д„, д,') и (р(хл, дл) — р(х„', д„') ! ~р(х„, х„')+р(д„д„'). В силу эквивалентности последовательностей (х„), (х,') и ссютветствеино — (д„), (д„') получим (см.

(57.5)): 1пп р (х„х„') = 1пп р (д„, д„') = 0 н, следовательно, 1пп р(х„, д„)= 11тп р(х„', д',). Ш. Проверка аксиом расстояния для р" (х*, дв). Пусть (х„) еих*, (д„) яд*, (г„', яг*. Если рл(х", д") =-О, то !!ш р(х„, д„)=0, т. е. последовательности (х„) и (д„) эквивалеттны, что означает совпадение элементов х* и д*:хв=д*.

Из равенства р(х„,д„)=р(д„,х„), перейдя к пределу при и- оз, г»олучим р*(хв, д*)=р'(д*, х*), а из неравенства р(х,„дл)= ~ р (хл» гл) + р (гл дл) получим р*(х*, д*) =.р*(х*, г*)+р*(г", д*). Итак, Х* является метрическим пространством. !Ч. Построение подпространства пространства Х*, изометрпчиого пространству Х.

74 ктпеквпев,ч. Д. т. 3 4!8 Э Б7. Функциональные нространства Пусть х~Х. Последовательность х„=х, и=1, 2, ..., очевидно, фундаментальная. Поставим в соответствие каждому х я Х точку х* е= Хь такую, что (х) ен х*. Если при указанном соответствии точке х соответствует точка х*, а точке у — точка у*, то, очевидно, при х~у будем иметь х* чьуь, причем р*(х*, дв) = = 1пп Р(х, у) =-р(х, у), т. е. указанное соответствие осуществляет взаимно однозначное изометрическое соответствие между пространством Х и некоторым подмножеством Х' пространства Х*, Точку х* пространства Х', соответствующую при рассматриваемом соответствии точке х е- =Х, мы будем для простоты обозначать также через х, а пространство Х' через Х.

Можно считать, что мы просто отождествили соответствующие точки пространств Х и Х' (см. замечание после определения 7). В этих обозначениях имеем изометрическое включение Х сХ*. Ч. Доказательство плотности Х в Х*. Покажем, что каждая точка х* пространства Х* является точкой прикосновения множества Х.

Для этого достаточно показать, что для любой точки хь АХ* существует последовательность х„е= Х, и=1, 2, ..., сходящаяся к х*. Пусть х* ен Х* и (х„) ях*, х„АХ. Точку пространства Х*, содержащую фундаментальную последовательность, все члены которой равны одной и той же точке х„, будем обозначать, согласно сделанному выше соглашению, также через х„. Докажем, что последовательность (х„), х„АХ*, сходится к точке х* АХ*. Зафиксируем число е) О. Из фундаментальности последовательности (х„) следует, что существует такой номер п„что для всех номеров п=ле и т~ле выполняется неравенство р(х, х„) <- . (57.8) Замечая, что по определению расстояния в Х* р" (х*, х„)= 11гп р(х, х„), из неравенства (57.8) для п==:а, получим р*(х*, х„) ~-' — <е, т.

Характеристики

Список файлов книги