kudryavtsev2a (947416), страница 73
Текст из файла (страница 73)
ппе о Как известно (см. п. 37.6), сок пх = - — (е"""+ е-"кг), 1 2 з(п пх — (енгл е-нк~) — (е — ккг енкг) и — 1 г — к г 2~ 2 (55.69) (55.70) Подставив (55.69) и (55.70) в (55.68), получим ) (х) —,"- + ~~' — (а„— Ьнг) е""+ — (ао+ Ь„1) е "". и= г Полагая — — (ан — ЬкГ), С-н = - — (ан+ Ьн1), имеем ) (х) ~ч ', с„е'"", н= — оэ (55.71) где, очевидно, с „=-сн, п=1, 2, .... Вспомнив, что созк-+ + г к(пп=е — ''" (см.
п. 37.6), будем иметь ск (ан Ьк 1) 2 ~ 1 (х) (соз пх 1 51п пх) с(х 1 1 1 =;„~ ~() "-(,* С „=--(ак+Ь„г)=,— ) 1"(Х)силле(Х, П=1, 2, .... '~ Определение ннтеграла от комплекенозначной функцнн действительного аргумента см. в и. 84.6. В заключение отметим еще так называемую комплексную запись рядов Фурье, часто используемую в математике и ее приложениях. Пусть 1'(х) 2к+ ~~ а созпх+Ь„зтих. (55.68) у 56. Интеграл Фурье и ареабрававание Фурье илн, объединив обе формулы и добавив случай и=О, с„= —,„~ !(х)е-'""ох, и=0, .+.1, +.2, ....
1 (55.72) Подставив (55,72) в (55.71), получим +со а 7 (х) — ~ е'"" ~ )'(!) е-'ссг г!!. 1 %~ 2~с л — со и Итак, мы записали ряд Фурье в комплексной форме и нашли соответствующие выражения для его коэффициентов. Требует разъяснения лишь понятие сходимости ряда вида (55.73), Частичной суммой порядка и ряда + со ел (55.74) + СО 5= я 56. Й11ТЕРРАЛ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАПИЕ ФУРЬЕ 56.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ИНТЕГРАЛА ФУРЪЕ Пусть функция !' абсолютно интегрируема на всей действительной оси. Напишем для нее интеграл, соответствующий в опредегенном смысле ряду Фурье, в котором суммирование по индексу и заменено интегрированием по некоторому параметру: + СО !а (у) соз ху+ Ь (у) з!и ху! г(у, е (56.1) где а(у)=- ~ !(!)созу!г(1, т =о Ь(у) =-„- ~ !(!) а!пу1гУ.
(56.2) (56.3) называется сумма З = У, 'еь. Ряд (55.74) называется сходя- ь= — л щимся, если существует 5= !!ш Я„при этом Б называется сум- л со мой ряда и пишется БВЛ. Представление Функций е виде интеграла Фурье 391 Формулы (56.2) и (56.3) напоминают формулы для коэффициентов Фурье. Определение 1.
Интеграл (56.1) называется интегралом Фурье функции 1. Подставляя (56.2) и (56.3) в интеграл (56.1), преобразуем его следующим образом: ~ (а (у) сов ху+ 5 (у) 5 1п ху) йу = о +се +сь — с(у ~ 1(1) (с05 1усозху+ 51п (у 51п ху) с(г = а ОЭ ) гу ) 1е) у( — ью. 156.41 Подобно тому, как сумма ряда Фурье функции при определенных условиях равна самой функции, интеграл Фурье также представляет исходную функцию. Теорема 1. Пусть 1) 4ункция 1' кусочно-непрерывна на каждом конечном отрезке и абсолютно интегрируема на всей действительной прямой; 2) в точке х существуют производная справа ~' (х) и производная слева 1' (х). Тогда для указанной точки х справедлива формула ~(+ ~ )=-„- ~ Ну ~ 1(1)сову(х — 1)й(. (56.5) Док аз а тель ств о. Рассмотрим интеграл Я (з)) = — ~ йу ~ 1 (1) соз у (х — 1) а(, (56.6) + сь — ~ ау ~ 1(() созу(х — 1)а1 (56.7) является пределом функции (56.6) при т1-н-+ со, т.
е. Я (т)) является в этом смысле аналогом частичных сумм рядов Фурье. где т) ) О, а х — фиксированная точка„в которой существуют односторонние производные 1; (х) н )' (х). Очевидно, что интеграл Фурье у уб. унгеерал Фурье и ареабраааеание Фурье Для каждого числа $) О, согласно теореме об интегрировании интегралов, зависящих от параметра (см. п. 53.1), имеем ч о о ')е(у ~ !(1)соху(х — 1)ь(1= ~ 1(1)г(г'~соху(х — г)е(у= о — 1 — 1 о о = ~ 1(г) Я™ч сИ. (56,8) — о Действительно, в силу кусочной непрерывности функции 1(1) прямоугольник — $-==.1 =$, 0=-'у: тв можно разбить прямыми, параллельными оси Оу, на конечное число прямоугольников, на каждом из которых функция ) (1) сову(х — 1) будет уже непрерывной, как функция двух переменных, вплоть до границы (если иа границе указанных прямоугольников в нужном случае значениями функции 1 считать ее односторонние пределы, т.
е. 1(о+0) или 1(г' — 0)). Применяя теорему 3 из п. 53.1 к каждому прямоугольнику и суммируя полученные результаты, мы и получим формулу (56.8). Из очевидного неравенства ) ) (0 соз у(х — 1) ( = ( ) (~) ~ + со и сходимости интеграла ~ ~1(г)~е(1 следует равномерная сходи" са мость на отрезке 10, т1] относительно параметра у интеграла + сю Р (у) =- ~ ) (г) соз у (х — г) г(г, (56.9) т. е. функция х Р(у, $)=- ~ )(1) созу(х — Г)Ж стремится к пределу (56.9) при $-н+со равномерно на отрезке (О, Ч1.
Далее, функция Р(у, $) непрерывна по у. Действительно, функция ) ограничена на отрезке[ — '$, Ц: ~)(с) ~(М, — $ (~$ Обозначим через ьо(8) модуль непрерывности функции соху(х — 1), О~у(т), — $==.1==5, Тогда!пп ьо(8)=0, поэтому о о ~Р(у+Лу, $) — Р(у, й) ! $ — ~ 11(1) ~ ~ соз (у+ Лу) (х — 1) — сову(х — ()1е(1 ( 2Моьо(Лу)-ьО при Лу-с-О. В силу теоремы 2 п. 53.1 в левой части равенства(56.8) можно перейти к пределу под знаком интеграла при В-ь-+со.
66.1. Представление срдннний в виде интеграла Фарое 393 В результате получим + со ! ( [ Нот)(х — 1) ( Втот интеграл конечен, ибо (см. (56.6) и (56.9)) он равен ) Р(у) г(у, о где функция Р(у) непрерывна как предел равномерно сходящегося при $-т.+со семейства непрерывных по у функций Р(р, ~). Интеграл 8(т)) является аналогом интеграла Дирихле для рядов Фурье.
Положив и=1 — х (ср. (55,17)), получим 8(~)=-„~ 1(и+х) — Ч 1(и. Представив получившийся интеграл в виде суммы двух: +сс О +се 1=1+1 — со — со О и выполнив в первом из ннх замену и= — 1, получим 8(т()= — ~ [1(х+1)+1(х — 1)) 1 г((. Вспоминая (см. п. 54.4), что при т))0 + сс о получим /( )- )+1( ) ~ [ + +[ 1ин(й — [1 (х+О)+1(х — О)[-- ~ — ''~ г(1= о 1'С"((х-(-1)-!(н+О) .,„,+ 8(п 111 г(1+ о + ' ~ «' — ') — 1( — '),(1 (56.)0) о 394 З бб. г!агегрпл Фурье а преобрпвовпссае Фурье Рассмотрим, например, первый интеграл, стоящий в правой части этого равенства.
Разобьем его на два интеграла: +со 1 СО Поскольку 1(х-)-!) Функция — также кусочно-непрерывна на любом отрезке полуоси !.- 1 и так как + о» ~ )""+" ((1= ~ !)(+!)! и= ~ )1())б 1 к+! — ~ ~1(з))й~+ т. е. абсолютно интегрируема г' (х+ !) вательно, в силу той же теоремы + со !пп ! ~( + ) з!и + ! ! ! на этой полуоси и, следо- ц! (!=О. (56.12) + со Наконец, из сходимости интеграла ~ г(! (см.
п, 33.6), ь выполняя замену переменного и =т)г, получаем + СО + СО 1!щ ~ з!'пт)!Ж=)(х+О) 1!щ 1 — „г!и=О. (56.13) О»-О» ! и- )- Из (55.!1), (56.12) н (56.13) следует, что + СО о 1(х+!) — ! (х+О) -!в ! !х+ !) — Г (х+ О) то ' является кусочно-непрерывной функцией переменной 1 на отрезке (О, 1], поэтому в силу теоремы 2 из и. 65.2 1 !1и! '1 з!и 1)! й = О.
(56.11) О бб.2. Различные виды записи формула Фурье 395 Аналогично доказывается, что + со Р 1( — !) — (( — 0) . пп з (п Ч( с(( = О. л + о Отсюда в силу (56.10) получаем ( (х+ О) + ! (х — О) +о» 2 Поскольку предел, стоящий в левой части, равен интегралу Фурье (56.7), то равенство (56.5) доказано. ( ) Требования, пакладывасмые яа функцию в этой теореме, можно ослабить, потребовав, например, чтобы функция была абсолютно интегрируемой на всей числовой оси и удовлетворяла в каждой точке обобщенному условию Гель.
Лера. Мы пе стали этого делать ради некоторого упрощения доказательства (ср. с доказательством теоремы 4 и ее следствий в п. 55.4). Упражнение !. Доказать, что если функция ! в дополнение к наложенным на нсе в теореме 1 ограничениям является четной или нечетной, то справедливы «юрмулы: для четной функции +со +о» о аля нечетной +со +со 7 (я+О)+1(х — О) 2 сс о с(сс с о 55.2. РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ЗАПИСИ ФОРМУЛЫ ФУРЬЕ В дальнейшем для простоты записи будем считать, что функция ) абсолютно интегрируема на всей числовой оси тс и во всех ее точках непрерывна и имеет односторонние производные.
В этом случае для всех х ~ Ю согласно теореме 1 справедлива формула Фурье +о» +со ((х) = — ~ с(у ~ !'(г) сову(х — г) г(г, о — со и так как подынтегральная функция четная относительно переменной у, то +о» +со )(х)=2— ) с(у ) ! (с)сову(х — с)с(с. В силу очевидного неравенства ( ) (() з(п у (х — () ! - ! ( (() ( Э ВВ. Интеграл Фурье о нреоероговытое Фурье при ограничениях, наложенных на функцию ~, существует также интеграл +со ~(!) э!пу(х — г) г(г, причем в силу признака Вейерштрасса (см. п. 54.1) он равномерно сходится па всей числовой оси переменного у и, следовательно, является непрерывной функциен оту.
Поэтому для любого числа т! существует интеграл »» +со ~ йу ~ Г(г) э(пу(х — !) й(, причем в силу нечетности подынтегральной функции относительно переменной у этот интеграл равен нулю. Однако при сделанных предположениях относительно функции ) нельзя гарантировать существование несобственного интеграла +о» +со г(у ~ ! (!) в! и у (х — !) й. (56.15) Чтобы получить нужные формулы, нам придется ввести еще одно обобщение понятия интеграла. 56.3. ГлАВЫОе знАчкник интегрдлА Введем следующее определение. Определение 2. Пусть функция»р интегрируема на любом ко. печном отрезке. Если сугцествугт конечный предел 1!ш ~ <р(х)йх, ч)~0, +"-и -!-со тв он называется главным значением интеграла ~ »р(х) дх и обозначается буквами о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
