kudryavtsev2a (947416), страница 68
Текст из файла (страница 68)
1," (О Р," У) Теперь заметим„ что функции †' н * эквивалентны при 2 Мп— 2 1-ь.0, ибо 2яп —- 1(гп 2 =1; е-ь поэтому по признаку сходимости интегралов, называемому признаком сравнения (см. следствие из теоремы ! в п. 33.3), примененному к абсолютным величинам рассматриваемых функций, интегралы ((;(е)( г ~ (й( ' 1 2е(п —- одновременно сходятся или расходятся.
В силу сходимости интег-. рала (55.24), отсюда сразу следует, что интггралы (55.23) также будут одновременно сходиться или расходиться. ( ) Теорема 4 (признак Дини). Пусть ~ — 2п-периодическая функция, абсолютно интегрируемая на отрезке длины 2п. Тогда, если х является точкой непрерывности или точкой разрыва первого рода и при некотором 6, 0 с.6 <и, интеграл (У„"())/ (55.25) сходится, то ряд Фурье функции ( сходится в точке х к значению 1 (х+ О) +1 (х — О) 2 (55.26 ( ) Следствие 1.
Если условия теоремы выполнены, то в любой регулярной точке функции 1 (в частности — во всех ее точках непрерывности) ряд Фурье этой функции сходится к ее значению в рассматриваемой точке. Следствие 2. Если )' — 2п-периодическол функция, абсолютно интегрируемия на отрезке длины 2п и в точке х суи(ествуют ((х+О), )(х — О), )„' (х) и (' (х), то ряд Фурье функции сходится в этой точке к значению (55.26). Следствие 3. Ряд Фурье кусочно непрерывно дифференцируемой на отрезке ( — и, п1 функции )' сходи~пел в каждой точке интервала ( — и, и) к значению (55.26), а в точках х = — и и х = и к значенюо 1( — и+О)+1(я — О) 2 ( .7) 55.2 у дд Траеонамеерпчеехие реди Фурье Следствие 4.
Ряд Фурье непрерывной кусочно диффсрснцируегнпи на еппргзкс ( — л, л) функции сходится в любой точкг интер-ааа ( — л, л) к значению функции в этой точке, а а точках к= — — л и х= л к значснсио (55.27). Доказательство теоремы. Используя формулы (55.)8) и (55 16) будем пясть о )(х+0)+)(» — 0) )) 2 л Л = ' ~ В„()()(х+()+И -())д(-""ЦО),"' " '„~ О ())д(== а о () О. (()() (х-)-()-)-) (х — 1) — 7(к+0) — ) (х — 0)) д( = о )"„' (г) о)п (и -~- 1~'дб (55.28) и,) . 1 '~ 2! а 2мп2 Пусть интеграл (55.25) сходится. Тогда, согласно лемме 5, сходится и интеграл й( "~);(г),„ 2 Мп-- ),* (О иначе говоря, функция ' абсолютно нитегрпруема на отрезке 2мп— 2 [О, л).
Поэтому, согласно теореме Римана (см. п. 55.2) ))гп — ~ $!п (и + 2)(е(г = О, )Т (О 2яп —— 2 следовательно, в силу (55.28): ) (х+0)+)(х — 0) 2 Следствие 1 непосредственно вытекает из теоремы в силу определения регулярной точки функции. Докажем следствие 2. Согласно теореме 4 достаточно показать, что если существуют пределы )(х+0), ((х — 0) и односторонние производные ),'(х), )'(х), то интеграл (55.25) сходится при некотором б- О. Прежде не=го, в силу существования конечного пред ла )','(Г) ), ) )(х+Г) — 1(х+0) )(х — Г) — )(х - 0) ~ г 55.4.
Сходилоеть редок Ф(трое о точке 301 1 (() функция — ' — ограничена в некоторой окрестности точки 1=0. Поэтому существует такое б, 0(б к, л, что на отрсзке [О, б] '; 0) функция — ' ограничена и, следовательно, не имеет особых точек, вследствие чего она интегрируема по Рнману на этом отрезке (см. и. 33.1, а также замечание 4 в п. 44.7). Функция, пнтегрируемая по Риману, абсолютно ннтегрируема, а поэтому интеграл (55.25) конечен. Д Для доказательства следствия 3 функцию 7, заданную на отрезке [ — л, л], продолжим периодически с периодом 2л с полуинтервала [ — л, л) на всю числовую ось и обозначим полученную функцию через (. В силу определения кусочной диффереицируелтостн (см.
определение 1 в п. 30.2) функция [ удовлетворяет условиям следствия 2. Согласно этому следствию ряд Фурье функции 7, очевидно совпадающий с рядом Фурье для 1, сходится в каждой точке х к ) (к+ О) + 1 (к — О) 2 'Если хе:-( — л, л), то ((х+ 0)=((х т-О) и, следовательно, 1("+01+ (" 01 ~~"» 1 '1( 1 П и г= — л указанный ряд 2 2 сходится к 1 ( + 1 11 ( 1, а при х = л — к значению . В силу периодичности функции 7 7( — л — О) =7(л — О) =)(л — О), 7(л+О) =~( — л+О) =~( — л+О). Поэтому 1 ( — и+01+[( — л-О) ) (л+О)+7(л--О) 1( — л+О)+1(л — О) 2 2 2 Следствие 4 непосредственно вытекает из следствий 1 и 3. П Заметим, что в формулах (55.26) и (55.27) сумма ряда Фурье функции ) выражсна через саму функцию(, заданную на отрезке [ — л, л], а не чсрез ее периодическое продолжение ) на всю числовую ось.
Если функция ( удовлетворяет условиям следствия 4, т. е. непрерывна и кусочно-дифференцируема на отрезке [ — л, л] и кроме того 1( — л) =)(л) (т. е. ее периодическое продолжение на век! числовую ось совпадает с ней всюду на [ — л, л], включая концы), то на' всем отрезке [ — л, л] функция 7' равна сумме своего ряда Фурье: )(х) = -2к + ~, а. соз ттх+ (т„з (п пх.
о=! Э уд. тргггонометрияесхгге ряды Фурье 362 Поэтому такая функция в наждой точке отрезна [ — л, л1 может быть представлена с л!обой степенью точности частичной суммой ее ряда Фурье, т. е. линейной комбинацией синусов и косинусов кратных дуг (говорят также, что указанная функция аппроксимируется суммой простых гармонии *!). Го, что в рассматриваемом случае период равен именно 2л не существенно: случай произвольного периода Т)О легко сводится к рассмотренному простой заменой переменного (см.
п. 55.12). Примеры 1. Найдем ряд Фурье функции с)гх, — л -х~л. Вычислим ее коэффициенты Фурье: ! г з1гх 1л 2з(г и а„= .. 1 с)гхсозтгхг(х=( — 1)" ', гг= 1, 2, 1 !' 2з(г л л л (! -1- ле1 ' Из ч тности функции с)г х сл дует, что для нее Ь, = О, л = = 1, 2,,... Функция с)гх н прерывно диффзренцируема и, следовательно, удовлетворяет условиям следствия 4 из теоремы 4; кроме того она принимает одинаковые значения на концах отрезка [ — л, л), поэтому ее ряд Фурь" во всех точках отрезка [ — л, л1 сходится к самой функции с)г х: с)гх = — ~1+2 т ( — 1)л —.,совах л [ 'г 1+ '-' и=! Этот ряд сходится равномерно, что следует из его сравнения со 1 сходящимся числовым рядом х~г 1+ле я=о Графики функции с)гх и суммы 8(х) его ряда Фурье изображены на рис, 220.
2. Найдем ряд Фурье функции з)г х, — л -х:=-л. В силу ее нечетности имеем а„ = О, л = О, 1, 2, ...; да.лее, Ьл= — ~ 5)гхз!плхс(х=( — 1)" г е, а=1, 2, 1 гб 2гг зй л т ;г (1+ле) Функция з)гх непрерывна дифференцируема и удовлетворя т условиям следствия 4 из теоремы 4, но з(г( — л)Фз)гл; поэтому во всех точках интервала ( — л, л) ряд Фурье функппп з!гх схо- ь' Простой гармоникой ггазывакл (иреимуществеиио в 4гизггке) выражслие вида А созлх+В Мл лх, где А и  — лостояииые.
бдл. Сходи.кость рядов Фурье и то ме дптся к самой функции: 2ь!ел %~ ь ! я й х = — ', ( — 1)" ' — з( и пх, — ес < х ( и, и е 1-1- иь ь: —. 1 ин ( — и) -1- ь1ь и а в точках х= — и и х=-и — к значснио — '' =О. Рис. 220 Ряд Фурье функции з1!х уже не сходится равномерно к ней на всем отрезке 1 — и, п1 (действительно, в противном случае его сумма должна была бы быть непрерывной на отрезке [ — и, и1, а оиа имеет разрывы на его концах). Графики функций Йх и суммы5(х)ееряда Фурье для сравнения изображены иа рис. 221.
3. Разложим в ряд Фурье функцию 1()= — "-,', О Хотя функция ) выглядит нес- я колько искусственно, ее ряд Фурье имеет очень простой вид и позволяет получить ряд интересных формул. Продолжим функцию (2л-периодически с полуиитервала Рис. 221 1О, 2п) на всю числовую ось. В результате получится нечетная функция, в силу чего все ее коэффициенты Фурье аь будут равными нулю: а.==О, и= О, 1, 2, Вычислим коэффициенты Ь„. Интегрируя по частям, получим Ьь=-- ! —,з(пахдх=— 1 сое ях '2я 1 ! = — —,— (и — х) ! — — ! соз пх ь(х = —.
2:" п 1о 2ал 1 я и а 55. Трагояометраческие ряды Фурье Итак, л — х Ъ3 5!и лх 2 а',у й (55.29) л=-! В силу следствия 4 теоремы 4 для 0 х«с'2л имеет место равенство 2 (55.30) — — 0 (х л. (55.31) а=! Вычтем это равенство из (55.30): л 'Ч Мп 122 — 1) х у=! (55.32) Подставив получившееся выраж:ние для —" в (55.31), получим х= — 2 ~~У~ ( — !)"."'— '" ~ . л=-1 Это равенство верно уже и при х=О, а в силу нечетности обеяк частей равенства и при — л(х(0, т. е. на всем интервал= ( — л, л), но, конечно, не на его концах, в которых сумма ряда равна нулю.
При х=О зто равенство, оч видно, несправедливо, так как сумма получившегося ряда при х=-0 равна нулю, а )(0) ФО. График суммы ряда (55.29) у изображен на рис, 222. Заметим, что этот ряд заведомо не сходится равномерно на отрезке ъР— У и и У т - [О, 2л), так как его сумма не является на нем непрерывной функпией (равномерная сходимость ряда (55.29) была исследована в п. Зб.З). Заменив в (55.30) х ч.рез 2х и дзля об части получивш тося равенства на 2, получим 355 55 5' Сходимосгь рядов Фурье Отметим еще, что положив в (55.32) х=- -, называемый ряд Лейбница л ! 1 1 — =- [ — -. + -- —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
