kudryavtsev2a (947416), страница 67
Текст из файла (страница 67)
П "' а ба.з. интеГРАл диРихле. пРинцип лОкАлизАции Пусть функция 1(х) абсолютно интегрируема на отрезке 1 — и, и). Найдем удобное для исследований выражение частичной суммы о„(х; 1) ряда Фурье функции ), называемой также просто суммой Фурье и-ео порядка и=О, 1, 2, ..., этой функции. Подставив в Я„(х; )) выражения для коэффициентов Фурье (55.6), Так как любая финитная ступенчатая функция является линейной комбинацией конечного числа характеристических функций полуннтервалов рассмотренного вида, то утверждение теоремы справедливо и для любой финитной ступенчатой функции. Если теперь функция ) является абсолютно интегрируемой на промежутке с концами о и Ь, — со~а<Ь==.+со, тодля любого числа е -~ О, согласно лемме существует финитная ступенчатая функция ~р, такая, что ВВ.д Интеграл Пирикле. Принцип локализации получим: ~н(х' !у 2 + т пасозйх+Ьлз!Пйх= А=! и л и 1 !' 1 ) 1(!)т(!+ лг - ~1(1)(созйгсозйх — )-а!пй1з!пйх)е(1= и†! и р л ! !е!( !.у кт„ь йа — ))й.
— и (55.11) Положим Р. (1) = 2 + У сов й), и .! тогда формула (55.11) перепишется в виде 8„(х; )') =-„- ~ Р„(! — х))(1) е(!. — и (55.13) Р„(О)=п+ 2-!. 2) !1довлетворлгт угловпуо — ~ Р„(!)еУ=1; (55.14.) 3) при 1чь2нй, й=О, -1, ! 2, (55.15) Доказательство. Непрерывность, четность и существование периода, равного 2п, для ядра Дирихле Р„(1) непосредст. венно следует из его определения, т. е.
из формулы (55.12). Из этой же формулы следует и равенство(55.14): чтобы сто получить, достаточно проинтегрировать по отрезку ( — и, п1 обе части ра !2 Кудраваеи Л. Д. т, 2 Функция Р„(1) называется ядром Дирихпг, а интеграл, стоящий. в правой части равенства (55.13), — интегралом Дирихле.
Лемма 3. Ядро Дирихле: 1) четиая непрерывнал 2н-периодическая функция, причем Е да Тригонометрические ряды Фурье венства (55.1 2): ~ О, (1) с(1 = - — ~ с(1+ ~~ ~ сок Ы Ж = и к — м и=! — м ибо при 1=1, 2, ...: ~ созЫс((=О. Докажем теперь формулу (55.15). Имеем: Рл (т) = 2 + 7„соз Ы = — 2!о -2- +, 2 юп -2- сох Ы = и=- ! 2 21п —- л у~. 22+1 . 22 — !)1 = —,"з(п--+ У ~з(п — 1 — з)п — 1) = 2 /~ 2 я'и 2- А=! яп ~л+--) 2 —, 1~2пй, А=О, +'1, !-2, ... 2 язв 2 Отметим, что в силу четности ядра Дирихле о м ~ О„(1)с(1=~0„(1)е(1, поэтому ~ п„(1) а=2(,о„(т) а, — Л о Отсюда и из свойства 2' ядра Дирихлз следует, что — '~ В„(1) Й=1. и (55.16) 2) то функцию, можно доопределить при 1=2лй, А=О, 2 яп— 2 -!-1, .+-2, ..., считая ее значение в каждой из этих точек по Заметим еще, что правая часть равенства (55.15) имеет сммсл лишь при 1Ф2ПА, А — целое.
Но поскольку 21П Н+ — ! 1 ') 1пп ~ = !1гп Вл(()=п+- 1 2нк 2Яп 1 еуп 2 г5.З. Интеграл мирихле. Принцип локализации определению равным и+ †. Доопределенная указанным способом 1 функция непрерывна прн 1=2пй для всех целых А. Вернемся к рассмотрению функции 1, абсолютно интегрируемой на отрезке [ — и, п|. Нас будет интересовать, в частности, предел последовательности частичных сумм 8„(х; 7) ее ряда Фурье. Заметим, что непосредственно перейти к пределу при и-» со в правой части равенства (55.13)„т. е. перейти к пределу под знаком интеграла, нельзя, так как предел ядра Дирихле при п-».со не существует.
Продолжим функцию 1 с полуинтервала [ — и, и) в 2п-пернодическую функцию и обозначим ее также через 1 (подробнес о периодическом продолжении см. в п. 55.1). Докажем следующую лемму. Лемма 4. Для частичной суммы Фурье Б„(х; )) абсолютно интегрируемой 2п-периодической функции 1' справедливы формулы (55.17) 3 (х' Г)= — 1) Р (1)Ц(х+1)+[(х — 1)1й(. (55.18) о Следствие. Для любых б еи (О, и), х е= [ — и, п1 частичная сумма З„(х; 7) ряда Фурье абсолютно интегрируемой 2п-периодической функции 7' обладает следуюи~им асимптотическим интегральным представлением: 8,(х; [)= — „~Р„(1)[[(х+1)+[(х — 1)]д(+о(1), и — » со.
(55.19) о Доказательство леммы. Выполним в интегралеДирихле (55.13) замену переменной интегрирования и = г — х: и — к и Р„(и) 7 (х+ и) йи = — ~ Р„(и) [(х+ и) йи. (55.20) Мы снова воспользовались здесь тем обстоятельством, что интеграл от периодической функции по отрезку, длина которого равна ее периоду, не зависит от положения этого отрезка на действительной оси (см. п. 55.1), и применили зто свойство к 2п-периодической по и функции Р„(и)1" (х+и). Итак формула (55.17) доказана. 1г» Э д5.
Трооономегрочеокие роды Фурье Лля доказатсльства формулы (55.18) представим правую часть равенства (55.20) в виде суммы двух интегралов с промежутками интегрирования [ — гс, О] н [О, и]; в первом интеграле выполним з ~мену переменкой и = — 1 и воспользуемся четкостью ядра Дирихле: Р„( — и) =Р, (и) (см. лемму 3). В результате будем иметь: 5„(х; /) =- .— ~ Р„(и))(х+и) г(и=- о Л 1 — 1 Р„(и)1(х+и) Ли+- - ~ Р. (и) г(х+и) г)и=- 1 о ~ Р„(1)[(х — 1) г(1 +-- ~ Р„(и))(х+и) г(и== о о' = — ~ Р„(1) [[(х+1)+)(х — М)]1(1. о Формула (55.!8) также доказана.
Д Лов азательство следствия. Зафиксируем число 6, 0(6(п, и представим правую часть (55.18) в виде суммы двух интегралов следующим образом: ь Л 3„(х; 1)=- — 1 + — ~. 1 Г 1 (55.21) 'о 1 Поскольку функция — непрерывна, а следовательно, и огра2апнпчеиа на отрезке [6, и] именно для всех)я[6, и]: О~ — --— 2ин-- 1 , а функция ) (х+1)+1(х — г) при любом фиксированном 2 о)п х [ — и.
и] 2п-периодичиа по 1 и абсолютно иитегрируема на отрезке [ — и, я], то иа [6, и] абсолютно интегрнруемо и их произведение /(х+1)+1(» — 0 . Поэтому, согласно т ореме Рпмаиа 2ип— 2 (ся. теорему 2 в п. 55.2) второй интеграл в правой части равенства (55.21) стремится к нулю при и — «со, т. е. я ] 1е* ь.й Е- 1 ~* - ') ; „ („ ~ ~ ) ~ О О ) 2 о1п— 2 55 4, Стодомость рядов фурье в точке Подставляя это выражение в (55.21) получим формулу (55 10) П Из формулы (55. !9) следует одно важное свойство рядов Фурье, называемое принципом локализации.
Сформулируем его в виде теоремы. Теорема 3 (принцип локализации). Если [ — 2п-периодическая абсолютно интегрируемая функция, то существосание и значение предела последовательности ее частичных сумлт Фурье 3„(х; 7) в любой точке х, ~ [ — и, и! зависит только от сущеслиювания и значения предела лри и — ~со интеграла — „~ Г-)о (!) [1 (хо+ !)+1(хо — !) )~К о где б — сколь угодно малое положительное число.
Подчеркнем„что в подынтегральное выражение указанного интеграла входят лишь значения функции ) на отрезке [х„— б, х„+ б), и, тем самым, существование и значение предела частичных с)мм ряда Фурье функции 7' зависит только от ее свойств в окрестности точки хо, илн, как говорят, от ее локальных свойств вблизи точки х„. Из принципа локализации следуст, что если в любой, сколь угодно малой, окрестности точки хо функции 1 и у совпадают, то пределы 1пп о'(х,; 7) и 1пп Я (хо) д) одновременно существуют или нет, причем если эти пределы суп;гствуют, то они равны. Это тем более интересно, что ряды Фурье таких функций вообще говоря, различны, ибо в формулы для коэффициентов Фурье входят значения функции по всему отрезку [ — и, п) 55А. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФЪ РЬЕ В ТОЧЕЕ В этом пункте будут рассматриваться 2п-периодические абсолютно интегрируемые на отрезке длины 2п функции, которые имеют только точки разрыва первого рода, вследствие чего в каж ой точке х, числовой осп существ)ют односторонние пределы: 1цп 7'(хо+)1)=7'(Хо+О), !пп 1'(хо — й)= — )'(ло — О).
а-+о 'ь +о Определение 8 (Лебег о'). Точка хо называспься регулярной точкой функции [, если ! 1хт+0)+)(хо — О) !(хо = Очевидно, каждая точка непрерывности функции является ее регулярной точкой. ь' А. Л. Лебег (1575 — 194!) — французский математик. Е Ец Тригонометрические ряды Фурье Если хо — точка разрыва первого рода функции (, то под ее односторонними производными ~„'(х) и Т'(х) будем здесь понимать пределы В Ц +ь) — Ц +0) о +о а 7 (х — и) — ) (х — О) ь-.+о В случае, когда функция непрерывна в точке х, и, следовательно, ( (х+0) =( (х — 0) =-("(х), сформулированное определение односторонних производных совпадает с данным раньше (см.
п. 9.1). Для удобства формулировки теоремы о сходимости ряда Фурье введем обозначение (х(() =У(х+()+Р(» — () — )(х+0) — ~(х — О). (55.22) Очевидно, что в регулярной точке х функция (э(() имеет вид ( (() =( (х+()+)'(х — () — 2)(х). Нам понадобится следующая простая лемма. Лемма 5. Для 2п-периодической абсолютно интегрируемой на отрезке длины 2п срункции (' интегралы о й(, 0(6 -гс, и ~ ' " й( (55.23) (У",(О( 1);(О) о 2ип— 2 сходятся или расходятся одноеременно. Док аз ательство.
Действительно, для любого 6, 0(6(п 1 функция ( непрерывна, а поэтому и интегрируема по Ри2о!и-— 2 г:ану на отрезке 16, я"). Функция же (е(() (х фиксировано) абсолютно интегрирусма на этом отрезке, следовательно н нх произ- („' (О ссдение " с абсолютно ннтегРиРУемо на отРезке 16, и), т. е. 2яп— 2 при любом 6, 0<6<и, интеграл л (55.24) о 2о1п-- сходится (см. лемму 2 в п. 33.5). Выберем теперь 6)0 так, чтобы на отрезке (О, 61 функция ("„-(() не имела особых точек (см.
и. 55.1) кроме, быть может, точки (=О, т. е. чтобы она при любом е„О<о(6, была интегрируемой по Риману на отрезке (е, 61; это всегда возможно, так как из предположения абсолютнои интегрируемости функции ) следует, 359 Вце. Скодимоегь рядов Фурье в точке что у нее, а следовательно, и у функции Г„' имеется лишь конечное число особых точек (см. снова п. 55.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
