kudryavtsev2a (947416), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Исходная функция ), как Рис. 223 всякая непрерывная на отрезке функция, ограничена, т. е. существует постоянная М~О такая, что 1[(х)1== М, хек [ — л, л]. Ясно, что тогда (7 (х) ) ~ М, х е:- )7, т. е. функция 7" ограничена на всей оси Л. Кроме того, функция 1 равномерно непрерывна на всей оси ес. В самом деле, будучи непрерывной на любом конечном отрезке, например, на [О, 4л], она равномерно непрерывна на нем (см. теорему 5 в п. 19.6). Это означает, что для любого е- О существует такое 6, 0 ( Ь (. 2л, что для всех х, ~ [О, 4л], х, е= [О, 4л], 1хе — х, ~ ( 6, выполняется неравенство 11'(хе) — 7(х,) ! < е.
Но для произвольных х,' и х', таких, что (х,' — х,' , '(6 найдутся целые числа п и т, для которых хг =х,' — 2лп е=(0, 4л1, х," —" х~— — 2лтен[0, 4л] и ]х,— хе~<6, а поскольку в силу 2л-периодичности Г(х,) =-7(хг), 1(хе)=7(хе), то /7(х.',) — 7(х[) !=/7(хе) — 7(хг)) (е. Б5.6. Сумиировииив рядов Фурье методом средних ириятл~вттяесхих 371 <[()- (и='— '..'5 (')"-='- 1 .(')~(+')"'- =,'- )"' и.
ии(>-п.~-или!= ,'- ] о ив и м -и ~- и ~ и = — „' [ ~- -,' ( -~ „'- ]. (55.39) где б) 0 выбрано так, что значение модуля непрерывности то(5; )) функции 7 удовлетворяет неравенству (б' Л<т' Это возможно, ибо функция 7 равномерно непрерывна на всей числовой оси лт. Поэтому для любого х в— : Ю: — 1 Ф„(() Ц (х) — [(х+ () ~ М-Π— ] Ф„(() с(т.— — - ~ Фи(т)сй= —. (55.40) Оставшиеся два интеграла оцениваются одинаковым способом: функция 7 ограничена на всей числовой прямой, т. е.
сущест- Это и означает равномерную непрерывность функции г' на всей числовой оси лс. В дальнейшем будем периодически продолженную функцию обозначать тем же символом 7, что и продолжаемую. Теорема 6 (Фейер). Если функция непрерывна на отрезке [ — л, л] и принимает на его концах равные значения, то последовательность ее сумм Фейера сходится равномерно на этом отрезке к самой функции. Следствие. Если ряд Фурье непрерывной на отрезке [ — л, л] функции, принимающей на его концах равные значения, сходится в некопюрой точке, то он сходится к значению функции в эпюй точке, Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть функции ) непрерывна на отрезке [ — л, л] и [( — л) =7(л). Продолжим ее 2л-периодически на всю числовую ось ле. Оценим разность 7'(х) — о„(х) между функцией 7" и ее суммой Фейера и„, используя представление суммы Фейера в виде (55.36) и свойства ядра Фейера, доказанные в лемме 6 и ее следствии. Зададим произвольное е)0. Имеем 372 5 55. Трьиололетрияеехое рады Фдрье вует такая постоянная М>0, что для всех хе= ее имеет место и;равенство (~(х),'= М. Следовательно, для любого х ен ес: ~ Ф„(() ( я' (х) — 1 (х+ 1) ~ е(г =:- — ~ Ф„(1) (< я' (х) , '+ ( ) (х+ () Д е(1: б лтя' ~ 1, (1),(1 ~~И пяах Ф (1) ~ 11 б ь — гпах Ф„(() (2М пяах Фл (1). 2М 1л — 6) б(ь(л б -я<л Согласно следствию из леммы 0 правая часть полученного неравенства сгремится к нулю при и-~ оо„поэтохяу су;цествует такое и„что при всех и =ио выполняется неравенство (55Л! ) Аналогично, для любого х ал ес и всех и-:-и;.
~ Ф„(() ~1(х) — Г'(х+(), е(1 ( 3-. Из (55.39), (55.40), (55Л1) и (55.42) для произвольного х ает и всех и-"-и, имеем !1(')-'(')~(3+ 3+ ~=-' т. е. последовательность 1о„) сходится равномерно на всей числовой оси )я к функции ~. Д Доказательство следствия. Всякий сходящийся ряд суммирустся методом средних 'арифметических к своей сумме (см. и. 35,15). Поэтому, если ряд Фурье непрерывной на отрезке 1 — ч, и) функции, принимаю.цей на его концах одинаковые значения, сходится в некоторой точке к какому-то числу Л, то предел последовательности средних арифметических частичных сумм, т.
е. сумм Фейера, также рав и А: если 11гп 5„(хб; 1) =Л, то л — ьь 1пп о„(х,)=А. Но согласно доказанной теореме 11гп о„(х„) = и- Оь а а~ =1(Хе), СЛЕдОВатЕЛЬНО И 11ГП 5„(Хе; 1) =((Хб). ( ) л ь. Подчеркнем, что ряд Фурье функции„непрерывной на отрезке 1 — и, и1 и принимающей на его концах одинаковые значения, бб.7. Приближение непрерывных функ«ил многочленпмгг 373 может расходиться в ряде точек. Однако, согласно доказанному, сели он сходится в некоторой точке, то обязательно к значению самой функции в этой точке. В заключение заметим, что для нспрерывной на отрезке функции, принимающей на его концах одинаковые значения, ряд Фурье, независимо от его сходимости нли расходимости в отдельных точках, позволяет однозначно восстановить указанную функцккп достаточно образовать из его частичных сумм суммы Ф=йера — их последовательность уже сходится, и притом равномерно, к самой функции.
Таким образом, даже изучение расходящ тося ряда может оказаться полезным. 35.7. ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ Определение 1О. Функции вида л —" + Ч т А, соя Ьх+ Ви зги Ьх Алт+ Вле ) О 2 ь=-г назызаютгя тригонометрическими многочленами (полиномами) порядка гг, а=О, 1, 2, Т орема 7 (Вейерштрасс). Если фунггция 7' непрерывна на отрезке (' — и, п[ и г'( — и) = 7'(и), то для каждого числа е ) О сугщеспгвует такой тригонометрический полинам Т(х), что г ) (х) — Т (х) г ( е, — и = х ==:- и.
Действительно, в силу теоремы 6 (см, п. 55.6) в качестве такого тригонометричсского полннома можно взять, например, соответствующую сумму Фейера о„(х), являющуюся, очевидно, тригонометрическим полиномом порядка не выше и. Теорема 8 (Вейерштрасс). Если функция 7" неггргрывна на отрезке [а, Ь), то для каждого е'- О сугцгствует алгебраический многочлгн Р(х) такой что г~(х) — Р(х)' - е, а- х-.==Ь. Доказательство. Отобразим отрезок [О, п) линейно на отрезок [а, Ьг.
х=-а+ —:"~, О:=~. лп, а==-х-.==Ь, и пусть )" (1) =-((а+ — и г). Функция )* определена этой формулой на [О, п1. Продолжим ее чстпым образом на отрезок [ — и, 01, т. е. положим [е (() =[*( — (), если (е= [ — и, О). "' Здесь считается, что Вв=о. 374 4 У5. Тригокоггеграяеекгге ряды Фурье Полученная таким образом функция 1* непрерывна на [ — и, п1 (почему?) и ге ( — и) = (е ( — и). Поэтому, согласно теореме 7, для любого числа е- О существует тригонометрический полипом Т (1) такой, что Как мы знаем, созлг и з(пйг', й=1, 2, ..., а следовательно, и тригонометрический полипом Т(г) являются аналитическими функциями и поэтому разлагаются в степенные ряды, сходящиеся на всей действительной прямой и, следовательно, равномерно сходящиеся на каждом конечном отрезке (см. 2 37): Т(1) = я-о Если Ря(1) суть частичные суммы этого ряда, то в силу его равномерной сходимости на отрезке [ — и, и1 существует такой номер и„что прп и= и, 1Т(1) — Р„(1) )( -, — «1 и.
Беря для определенности и=и, и полагая Р (1) =Рек (1), имеем Уе (г) — Р (1) ~ !1" (г) — Т (г) ~ + ~ Т (() — Р (г) ~ — + Возвращаясь к переменной х, т. е. полагая 1 =- и, получим Ь вЂ” а' ~1'(х) — Р (и:) ! ~ е, и ==Ь, х-а~ где Р (и — ) — очевидно, многочлен. Е) 3 а меч а ни е. Пусть функция 1 непрерывна на отрезке [а,Ь).
Возьмем какую-либо последовательность чисел ео:.= О, гг = 1,2,..., !1 стремящуюся к нулю (например, е„= гг; тогда, согласно теореме 8, для каждо~о и=1,2,... существует многочлен Р„(х) (здесь и порядковый номер, а не степень многочлена) такой, что /[(х) — Р„(х) / -е„а(х--Ь. (55.43) Очевидно, при и-ь.со имеем Р„(х)=--7(х) на отрезке [а, Ь1.
Итак, всякая непрерывная на отрезке функция является преде- лом равномерно сходящейся на этом отрезке последовательности многочленов. Обратное, т. е. что всякая функция, являющаяся пределом равномерно сходящейся на некотором отрезке последо- вательности многочленов (и, более того, последовательности.любых непрерывных функций), непрерывна на этом отрезке, уже дока- зано (см. теорему 8' в п. 36.4).
55.8. Полнота тригонометрической системы и системы степеней х 375 Таким образом, теорема Вейерштрасса устанавливает характеристическое свойство непрерывных и только непрерывных функций. Весьма любопытно отметить, что первоначально понятие непрерывности функции было введено нами в абстрактной общей форме, оно никак ие было связано с конкретными классами элементарных функций, в частности — с многочлеиами, и тем самым ни с какими аналитическими представлениями функций через миогочлены. Теорема Вейерштрасса показывает, что введенный таким образом класс непрерывных функций в известном смысле не очень далек от класса миогочлеиов! Именно, какова бы ни была непрерывная на отрезке функция 7 и как мало бы ни было заранее заданное число е ) О, всегда существует миогочлеи, отличающийся на всем отрезке от функции Г' не более чем иа е, т.
е. аппроксимирующий (приближающий) ее с любой, наперед заданной степенью точности! Нетрудно получить и аналитическое представление в виде ряда миогочленов для непрерывной на отрезке функпии. Из (55.43) имеем )(х)=11ш Р„(х), а~х --Ь, (55.44) или ~(х)=Р,(х)+ У,'(Р„+,(х) — Р„(х)) (55.45) н=! (Р„(х) — многочлеиы), причем стремление к пределу в (55.44) и сходимость ряда (55.45) происходят равномерно на отрезке !а, Ь|.
При этом, как существование предела (55.44), так и существование разлсжеиия (55.45) являются необходимым и достаточным условием вепр рывности функции Г иа рассматриваемом отрезке. Это оправдывает интуитивное представление о функции как об аналитическом выражении, составленном из независимой переменной и постоянных посредством алгебраических и аналитических операций. Аналогичные замечания можно сделать и по поводу первой теоремы Вейерштрасса (теорема 7). 55.8. ПОЛНОТА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И СИСТЕМЫ НКОТР1ГЦАТКЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ СТКПЕНЕЙ х В ПРОСТРАНСТВЕ НКПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ В этом пункте мы перефразируем доказанные выше теоремы и выведем из них некоторые простые следствия. Определение 11.
Путь Х вЂ” некоторос множество функций, опрсдсленных на отрезке (а, Ь]. Система функций (55А6) тег ч'е~ ° ' срн, 376 У дд. тригонометрические ряды Фурье называется тголной для множества Х в смысле равномерного приближения, если, какова бы ни была функция ?" я=Х, для кажоого е)0 существует такое конечног число функций «р,ц, «Рая . ц',а из системы 155.46) и такие числа 1.„Л.„, Лю чпю ~ 1" (х) — ~Л,«р„, (х)+ ?ч «ра,(х) +... + Лясу,„(х) ] ~ ~ е для всех х гн (а, Ь]. Иначе говоря, система функций (55.46) образует полную систему для множества Х, если любую функцию из Х можно сколь угодно точно приблизить конечныни линейными комбинациями функций системы (55.46).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
