kudryavtsev2a (947416), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Определение 3. Последовательность функций ~р„(х), п = О, 1, 2, ..., определенных в некоторой проколотой окрестности точки а (конечной или бесконечно удаленной), наз»вается асимптотической последовательностью при х — а, если для всех и = О, 1, 2, ... имеет листа соотношение ер„, (х) =о Ор„(х)), х- а. (54.69) Прим рами асимптотических последовательностей при х-ь а являются ~р„(х) =(х — а)", если а — конечная точка и гр,(х) — -л-.", если а=+со или а= — со, п=О, 1, 2, ....
Определение 4. Пусть <р, (х), и = О, 1, 2, ..., является асимптотической последоват льностью при х — э-а, Ряд (54.7О) аьгрь(х)+а1~, (х)+...+а„р„(х)+... называется асимптотическим рядом (или асимптатическим разлохсением) при х — а виданной функции г, определеннои в некоторой проколотой окреспи»оспш пючки а, если его частичные суммы 8„(к) = аь~рр (х) + а,ср, (х) +... + а„~р„(х) (54.71) удовлетворяет условию: для любого п=О, 1, 2,, имеет место асимптотическое равенство Г(х) — 5 (х)=о(<р,(х)), х-эа.
(54.72) Лемма 2. Пусть су„(х), п=-О, 1, 2, ...,— асимптотическая при х-+.а последовательность. Для того чтобы ряд (54 7О) являлся асимптотическим разложением функции 1" при х — э. а необходимо и достаточно, епобы 7" (х) — В„(х)=0(<рьы(х)), х-ь.а, п=О, 1, 2, .... (54.73) Иначе говоря, ряд (54.70) является асимптотическим разложением функции ) при х-ьа тогда и только тогда, когда его частичная сумма 8„(х) служит приближенным значением функции 7(х) с точностью до Ойр„+,(х)) при х — а, т. е. ошибка имеет порядок первого отбрасываемого члена. Доказательство необходимости условия (54.73». Соотношение (54.72) при п=-1, 2, ... можно переписать в виде 7 (х) — Я, ,(х) — а„~р, (х) = о (ср, (х)), х -э а, ЗЗЕ а бв'. Нееобетвенные интегралы, вивиевгцгге от параметра откуда 7(х) — 5„,(х)=а„ф„(х)+о(ф„(х))=О(ф„(х)), х-ьа, и=1, 2 ..., т. е.
выполняется условие (54.73). Ц Доказательство достаточности условия (54.73). В силу (54.73) и (54,69) имеем 7(х) — Я„(х)к — -0(фпт,(х))=0(о(ф„(х)))=о(ф„(х)), х — 1-а, п=-0,1,2,..., что совпадает с (54.72). (' ) Любопытно отметить, что если для любого и=О, 1, 2, ..., выполняется условие ) (х) — Яп (х) = 0 (ф„(х)), х- а, (54.74) более слабое, чем (54.72), то из него в силу (54.69) следует (54.72). Иначе говоря, выполнение условия (54.74) для всех и=О, 1, 2, ... означает, что ряд (54.70) является асимптотическим разложением функции г при х- а. Действительно из (54.74) для и=1, 2, ...
имеем 7(х) — Я„,(х) =а„фн(х)+0(ф„(х)) =0(ф„(х)) = =0(о(трн т(х)))=о(фп 4(х)), х — ыа, т, е. условие (54.72). Если асимптотическая последовательность ф„(х), и=О, 1, 2, ..., такова, что существует проколотая окрестность точки а, в которой при всех п=О, 1, 2, ... имеет место неравенство тр„(х) ФО, то аналогично случаю степенных асимптотическнх рядов функций получаем: если функция 7" раскладывается при х-+ а в асимптотический ряд (54.70), то такое разлохсение единстпвенно и его коэффициенты последовательно определяются по формулам л — ! 1от ~=~ —,[го)- л тип1. ! к- е к — офн(к) н=в и еи г(х, а)= ~ - — дг, х)0, к (54.75) Однако для практического нахождения асимптотическнх разложений заданных функций эта формула оказывается не всегда удобной.
Часто проще получить нужное разложение другим путем, например, в случае интегралов при помощи интегрирования по частям. При этом, обычно, заранее не задаются асимптотической последовательностью (ф„(х))„а строят ее, исходя из свойств данной функции в окрестности точки а. П р имер. Разложим в асимптотический ряд прн х-м+оо функцию 84.8*.
Аслллтотические ряды (а) Π— параметр), подобрав соответствуюгцую асимптотическую последовательность. Поскольку + СО + О:Э г'(х а)= ~ ~~ с(1-~-с ~ — ""~ с(г к к то по признаку Дирихле (см. п. 33.6) мнимая и действительная части функции г" (х, а) представляют собой, прн х) О, сходятциеся интегралы. Поэтому сходится и интеграл (54.75). Отм=тим, что действительной и мнимой частью интеграла — г' ~х, — -) являются неполные интегралы Френеля (см.
5 34) + СО + ОО соз («е с((«, ~ з(п Ве На. Чтобы в этом убедиться, достаточно в интеграле —, Е!хе, — ) сде- лать замену переменной интегрирования 1=0«. Интегрируя по частям (54.75), получим + ОО + ОЭ е!с !»4», Е ец (е«е г'(х, а)= ~ -Огс(1= — — са ~ — „,с(1= — — (аг (х, а+1). к к Применяя последовательно эту формулу к значениям функции г", получающимся в правой части, будем иметь (еск ~~ я(я+1)... (я+л — 1« »а ье ((х,'к »=0 (54.77) явля«тся асимптотическим разложением функции г'(х, а) при х — О+ -. действительно, последовательность функций сре (х) = ес х-" и=:О, 1,, является, как легко проверить, асимптотической, (е1 к г" (х, а)= — — (аг (х, а+1) = (е'" .
Г ге«ч = — — (а!( — „, — с'(и+1) г" (х, а+2)1 = Ы!» я(ее«е ск (я-1-1«не» ( — !«Оа(я+1« ... (я+л — 1«(кое!» кк к' «+ к че +'''+ »ОЧК + +( — с)"+'а(и+1)... (а+л)Е(х, а+и+1) = и сея к! я (я+ Ч ... (я+« — 1«я(я+1« ... (я+««, + +1) .л к ( «« скм «=е Ряд ззз 4 о4. Иесобствекпые вптеервкы, эввпспщве от ппрааетра а для частичных сумм 8„(х, сс) ряда (54.?7) в силу (54.76) имеем' )Р(х, а) — 8„(х, а)(=~" ("+ 1"'(" ' ")г (х, а-,'-и+1)! = + оо -Ь со =сс(а+1)„.(а+в) ~ „„,,Й ==а(сс+1)...(а+и) «1 "(+ — ) 0~( ') х асс, колл '1кл. »»»' т. е. выполняется условие (54.74), н, следовательно, ряд (54.77) действительно является асимптотичсским разложением функции г (х, а) при х-»-+со.
54.9.* АСИМПТОТ!!Чв!СКОГ РАЗЛОЖК!!ИЕ НЕПОЧПОИ глммА-»ау!!кцнн Прп любом х) О для гамма-функции Г (з) имеем + о» к -) о» Г (е) = ~ !т-те-т сЦ = ~ 1»-те-' оу + ~ !т-те-' сК о о к Функция + о» Г(е, х) — '" ~ !к-те-сс(1, х О, к (54.78) Применяя последовательно зту формулу к значениям неполной гамма-функции, получаю:цимся в правой части, будем иметь: Г(з, х) =хк-'е-т+(е — 1)х'- е-к+...+(з — 1)(е — 2)... ...(з — п + 1) х'-"е- + (з — 1) (е — 2)...
(е — п) Г (з — и, х) = л (к О (с ~1 " (с Ь+ !! кк +(а — 1)(е — 2)...(а — п)Г (з — и, х). называется неполной гамма-функцией. Опа определена при всех действительных значениях параметра е. Найдем ее асимптотическое разложение при х — «-+се. Выполняя в правой части (54.76) интегрирование по частям, получим + о» Г (з, . ) = ') !'-те-' с(1 = к + оо = хк-'е-т+ (з — 1) ) 1»-'е-с с(1 = хк-те-'+ (з — 1) Г (з — 1, х). к 543л.
Аеиаагагалеекее раалаеаелае аеаолааа еаалафуллциа 339 Отсюда ири п) а — 1 имеем л Г(з х) — -" ' э' ( 1)( ~1'"~ ~+ 1 ~ = хе а.=- о =((з — 1)(з — 2)...(з — л)Г(з — я, х)) = =~(з — 1)...(з — п)~ ~ — „„, е(1= к" + лл ( ~ (з — 1) (з — 2)... (з — и) 1 „, „~ е е Ш = 1 к ~(~ 1)'''(з п)(хл л е ~(хл л-е) х ~ + т. е. для частнчиык сумм ряда е-хгл ($ — 1) (5 — 2)... (к — л+ 1) хл л=а (54.79) и для последовательности ~р„(х) = х-ллк+'е-, которая ивляется, как это легко проверить, асимптотической, при хл.+ос выполняется условие (54.73).
Таким образом ряд (54.79) является асимптотическим разложением неполной гамма-функции Г (з, х) при х-+.+ со. В п. 54.7л был найден первый член асимптотического разложения гамма-функции Г (з-1-1) при з-л-+со. Можно найти и следукяцие члены, т. е. разложить гамма-функцию в аснмптотический ряд. Он выглядит следующим образом: Здесь (са) — последовательность коэффициентов разложения в степенной ряд (в окрестности нуля) функции 1=1(г), определяемой равенством — г'= — Ь (1), где й (1) задана формулой (54.56). Можно получить и асимптотическое разложение для натурального логарифма гамма-функции. Оио имеет вид 1ПГ ($) (Б — -- 1пз — 3+ 2 1П2Я+ х 2л(2л — 1) хал-л !) 1 Лл л=! а-л- + оо (54.81) Г(а+1) а-++ со. (54.80) З«О э" й«.
Несобственные интегралы, зависли!не ат парапетра и называется рядо,и Стссрлссяга. Здесь В,„— так называемые числа Бернулли, опредсляемые рсвенством п1 — 1 и ,'У" й"= — „', '')' С'„~,В1 и"'' »=-о «=о 1 (все нечетные числа Бернулли, кроме В,= — —, равны нулю). Из формулы (54.81) с помощью потенцирования можно найти асимптотическое разложение для гамма-функции, в котором коэффициенты выражены в явном виде.
Оно имеет вид 1 1 1 139 Г(з) (2п) т е-«з т 1+ — + — —, «+.. ), з-+. + со. Доказательство формул (54.80) и (54.8!) не входит в задачу настоящего курса. Описание методов, с помощью которых получаются подобные разложения можно найти в книге М. В. Федорюка «Метод перевалам М., 1977. 54.10. ЗАМЕЧАНИЯ О КРАТНЬ1Х ИНТЕГРАЛАХ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА Мы рассмотрели выше «одномерные» интегралы, зависящие от параметра, т. е. случай, когда и переменная интегрирования и параметр являлись числовыми переменными. Эта теория обобщается на случай кратных интегралов, зависящих от «многомерного» параметра, т.
е. на интегралы вида Р(у) =~~(х, у) «И. (54.82) ')!) (х, у,) )с(6. Сходящемуся интегралу (54.82) (и любой последовательности открытых измеримых по Жордану множеств 0», й= 1, 2...,, Здесь функция 1(х, у) определена на открытом множестве б с: Ви и интегрируема, по Риману, на любом открытом измеримом по джордану множестве Г, таком, что Г с: 6. Параметр у пробегает некоторое множество У, которое может быть, например, подмножеством ят-мерного пространства гт-, а интеграл (54.82) понимается, вообше говоря, в несобственном смысле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
