kudryavtsev2a (947416), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Таким образом, законность перестановки порядка интегрирования в (54А8) следует из теоремы 7 п. 54.3 (отметим, что здесь подынтегральная функция неотрицательна). 54.6. Комплекскозггптгьге г)лункцпн действительного аргумента Злт Выполнив замену переменного гу=и, получим +га +ал + га ~ ур" о-'е-ос(у ~ гр-'е-лс(1 =-Г (р) ~ ут-'е-лс(у. 4 о 4 (54.49) Наконец, 11ш ~ уо-'е-с с(у = Г (д). 4-Фо (54.50) Из (54.45) — (54.50) получаем формулу (54 44) для р==1, д:з:1.
Если теперь р ) 0 и д) О, то, во доказанному, Г(р+НГ(у+Н г (у+у+в) Применяя соотношения (54.39), (54.42) и (54.43), получим формулу (54.44) в предположении р- О, д)0. П 54.6. КОМНЛЕКСНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО АРГументА Мы будем в дальнейшем систематически рассматривать комплекснозначные функции се(1) =и(1)+1п(г) действительного аргумента 1 (функции и(1) и о(1) принимают действительные значения). Мы уже встречались с понятием предела и непрерывности подобных функций. Производная функции ти(1) определяется по формуле те' (1) =' и' (1) + (о' (1).
) ш (1) с(1 = ~ и (8) с(1+1~ и (1) с(1, — со =' а ( а --- + оз. ь Интеграл ~(и (х)+(п(х)) дх называется нееобеитвенным, если а ь ь несобственен хотя бы один из интегралов )и(х)г(х и )п(х)с(х. а а ь При этом несобственный интеграл ~(и(л)+(п(х)) л(х называется а Покажем, например, что, согласно этому правилу, (ег")' = = Тае'аг.
Действительно, (е""')' =(сова(+(з(па()' = — аейпа1+ 1асоза( = = (а(соза1+(з)па1) = 1аел '. Аналогично определяется и интеграл (собственный или несобственный) от функции то=и+и: ь ь ь г а4. 44ссоостеел!нме интегралы, еаеисяисие от аарал!стра ь ь схойлясс(пл!ся, если сходятся как ~ и(х) с(х, так и ~ о(х) йх. В этом случае ь ь ь С (с! (х) -1 си (х)) илх — "'-' ) «(х) ссх+ !' ~ и (х) с(х.
а а а При этом функция в называется а5со.!!оп!но питггрп!р(гелсой, если абсолютно интггрируемы функции и и и. Очевидно, что ряд свойств интегралов от действитгльных функций (линейность интеграла, аддитивность его по множествам и т. п.) автоматически переносится и на комплекснозначные функции. Отметим, например, что если в(х)=и(х)+си(х), где и(х) н о(х) — интегрируемые, по Риману, на отрезке [а, Ь) действнь тельные функции, то интеграл )в (х) с(х также является пределом а интегральных сумм о„= ~; вЯ!) Л."ч (т= ',х!)'; еь — разбиение от!=.! резка [а, Ь1, хс, =.$! —.=х!, Лх;=х! — х!.! л=1, 2, ..., А).
Отсюда, как и для действительных функций, сл дует, что в этом случае функция (в(х) ~ такжг интегрируема по Римаиу и что выполняется неравенство ! ь ь $ в (х) с(х ( ~ ! в (х) ( с(х. а а Предельным переходои справедливость этого неравенства устанавливается и для абсолютно интггрпруемых в несобственном смысле комплскснозначиых функций. Вместе с тем в случае функций, принимающих комплексные значения, следует быть осторожным при использовании аналогов теорем, доказанных для действительных функций.
Далеко не все утверждения, справедливые для функций действительного аргумента, принимающих только действительные значения, переносятся на комплекснозначные функции. С подобной ситуацией мы уже встречались прн изучении вектор-функций (см. п. 15.2 и п. 37.9 *). Например, утверждения, подобные теореме Ролля, а следовательно, и теореме Лагранжа о средних значениях, нг имеют места для комплекснозначных функций.
Зто показывает пример, приведенный в п. 15.2, если его записать в терминах комплексных чисел. Именно, рассмотрим функцию [(4) =сох |+ ! з(п 4, О ='=1== 2п, тогда [(О) =-!'(2л)=1, !" (1) = — зспс+! сои т. Поскольку ~['(() ~.= = ['с!пег+созе4=1, то не существует такой точки гете[О, 2п); что )'(г) =О.
Следовательно аналог теоремы Ролла в этом случае не имеет места. 629 64.7«. Асимптотическое поеедение гамма-функ«!ии Неверным оказывается и правило Лопиталя, доказательство которого было основано на т оремах о среднем. Подтв.рдим зто примером *!. Пусть )(!)=(„д(()=!+(зг«г, 0(((1. Поскольку согласно формуле Эйлера еу'=сон —;+(з(п —,, то ! .. ! гз !2 « ~ ео" ( = 1уг созе — е + з)па —, = 1. в!.а! П га Поэтому 1)ш)(() =1ппд(() = О и г о г-о 1пп — =1«ш (1+(еон) = 1.
т ой(!) т- о Заметив, что й" (!) = 1+ ~2! — — ) ец", О < ! (1, (54.51) получим 12! 2 2 — ! (Е'(()(.-»1 —. 2!1 — 1ти 2! 1ои ... 1= (! ! =! Следовательно ~ —,— ~ =, =, вследствие чего )' (Е) ! 1 у'(!) ~ /а'(!)( 2 — г ' (54.52) т-.о й (г) Сравнивая (54.51) и (54.52) убеждаемся, что в данном случае правило Лопиталя не применимо. 64.7*.
Асимптотическое пОВедение ГАммА-Функции Покажем, что асимптотическое поведение гамма-функции Г (з+ 1) = ~ и-"х* г(х, з) — 1, о (54.53) " Зтот пример заимствован из книги У. Рудина «Основы математического анализам М., 1966. при болыпих значениях независимой переменной и может быть описано довольно простой формулой, содержащей только элементарные функции. Подынтегральная функция в интеграле (54.53) принимает, как легко видеть, наибольшее значение при х=з. Выполним в этом интеграле замену переменной интегрирования, перенеся точку х=з в новое начало координат: х=з+у, а затем произведя преобразование подобия с коэффициентом, равным и: у=з(, т.
е. ЗЗО б Б4. 77есобственные интеграеб!, вависаи!ие от иараметра положим х= в(1+1). Получим +от Г(.+1)= "-' ( (е-с(1+()7'61. — ! (54.54) Рассбтотрим функцию ср(!) в— '! е с(1+1), — со<1С+оо, (54.55) Поскольку тр'(1)= — М-г, то при 1)0 функция ср убываст, при 1~0 — возрастает, а в точке 1= — 0 достигаст наибольшего значения !Р(0) =1. Далее, положив )!(1) = — '- — 1+1п(1+1), — 1 =1( — со, (54.56) получим где прн ~1,'(1 ср(1) =Е" Н!, — 1~1(+ (54.57) н сз Й(1).=- — — +-----+ ...
З н поэтому Ь(1)= — - — +о((т), У вЂ” т-О. 2 (54.58) (54.55) и Итак, гамма-функция представима в виде (см. (54.54), (54.57)) -!. сс Г(э+1) =е вг!' ~ е'"'" с1г, — 1 (54.59) где поведение функции й(1) прн 1- 0 описывается соотношением (54.58). Прежде чем переходить к выводу асимптотической формулы для Г(э+1) при в-т-+со, поясним метод ее получения с помошью нестрогих, но правдоподобных рассуждений.
График функции р (1) имеет вид, изображенный на рнс. 217. При возрастании параметра з график ." т н ~сбт функции [ср (1)1' будет «прижиматься» к оси переменной 1 и к единичному отрезку оси ординат. Поэтому ясно, что интеграл +От Рис. 2!7 Ееано ٠— ! (54.60) стоящий в правой части формулы (54.59) при больших значениях з будет хорошо приближаться интегралом б б(о 1 — б зз! у4.7'. Асимптотическое иоаедеиие еамбиифуикяии гд" 6 0 произвольно, но фиксировано, причем с тем большей точностью, чем больше значение параметра з. Иными словами, если а достаточно велико, то как при — 1< 1 < — 6, так и при 1:> 6 значения функции е'й!с! столь малы, что каждым из интегралов ) е'"'" с(1 и ~ е'б!с! с(1 можно с высокой точностью пренеб— 1 б речь.
Естественно ожидать, что прн фиксированном 6 )О и относительная погрешность приближения интеграла (54.60) с помощью интегралов вида (54.6!) может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора достаточно большого значения параметра з. В силу (54.58), взяв достаточно малое 6)О, можно интеграл (54.61) хорошо приблизить интегралом б )/ -аб с(1 = ф — ') е™ е(и. (54.62) Если 6)0, то правая часть этого равенства при а-!-+со стре- мится к интегралу Пуассона (см. п. 48.2) (54.63) В результате интеграл (54.60) при больших значениях з оказывается в каком-то смысле хорошо приближенным выражением Р 2п,в (см.
(54.62) и (54.63)). Поэтому естественно попытаться доказать асимптотическое равенство -!- сс е бп! с(1 1/ — и-, з-~+со. — ! т, с. Покажем, что оно действительно имеет место. Зададим произвольно е, 0<а< —. В силу (54.58) существует такое 6, 0<6<1, что для всех ген( — 6, 61 выполняется неравенство з б4.
Несобсгвенне>е ангегране>, ваваснщае ог аарааегра Сл,довательно (в силу монотонности функции ее), при всех з)0 имеет место неравенство (! Еге>е! ! ! — ге> еп г <-еел(>> ~:е Интегрируя его По отрезку [ — 6, 61, получим Ь П+гв>е(* Ь Ь (! — ге>а сЫ~ $ сел(>>(И=- $ е г (И. (54.64) Оценим теперь, насколько интеграл (54.6!), стоящий в середине этого неравенства, отличается от интересующего нас, интеграла (54.60). Вспоминая, что функция (р(!) = — е'л('> =е'(1+1) (см.
(54.55) и (54.57)) возрастает ва промежутке [--1, — 61 и убывает на [б, +со), получим для всех з) 1: + со Ь О( 1 с-'л(оЖ вЂ” 1 Ел(с>(11= — ! — Ь вЂ” Ь +ее $ „(е-Млн> л(е> (1+ $ в(е-г>л(г>ел(пс(1 — ! Ь вЂ” Ь +03 =е('-г>л( '> ~ е"('> с(Г+е(е-г>л(ь> ~ ел(г>(11.- — ! Ь + ее =.[е! -г>л(-ь>+е(е-г>л(ь>1 ~ ел('>(11(С,е- ', (54.65) — ! где а, = — >пах (У! ( — 6), й (6)) ) О, Отметим, что функция й(1) (см. (54.55)) достигает строгого максимума в точке 1=0, причем й(0)=0; поэтому й( — 6) -0 и й (6) с.
О. Г1одобным образом оцениваются и крайние интегралы в неравенств. (54.64). Выполнив замену переменной интегрирования и=с [/ ', получим (см. (54.63)) Бь,т». Асимптотическое поведение гамма-функции Тсперь, аналогично (54.65), будем иметь <!+ ге) и 2и 1' 0(1гг — — ~е е ' с(г= (1+2е) з -,'-со (1+2е)»!' б (1+2е)»Р = )е ' <(г — ')е ' й= — со — Ь вЂ” б (1+2е)(» — 1) !» (1+2е)Р =г)е ' е ' Ж+ -1-о» (1+2е)(» — 1)Р (1-1 2»)Р + ) е 2 е 2 <((=-" 6 <!+2»)<» — ПЬ ( — Ь <!+ге)1* 1, <!+2»)<* 2 ~ ~ 2 с(!+ ') е 2 с(1 со б )/'!+" — 61/— <!+ ое) < — Пм +о» вЂ” 1/' 2 1 1+2е = е 2 1/ — 1 е-"' йи+ 1 е-"' <(и (1+ 2е) (е-! ) Ь» +со 1/ ~е 1/ —,— 1 е-"» <(и:= Г 1-г.
26,] (1+2е)(» — 1)б» ~е 2 )/2и С,е»', (54.66) (1+ 2е)6' (1+2е) 62 где а,= —,— 2 О, Сз=е 2 1/2п. Тем же методом получается н оценка б (1 — ое)»Р О -' 1/ 2 — ~ е 2 <й =.Сзе»', (54.67) — б — 1 (1 — 2е) б* где аз= ~ О, Сз — — е )/2п. (1 — 2В) <)2 2 Положив а=<пш(а„с~, аз) и подставив (54.65), (54.66) и (54.67) в (54.64), получим прн соответствующих постоянных Се) 0 и Сь ) 0 (завися)цих от е) Зао У 54. Несобственные интегралы, эаваслтянв от штрал!етра Поделим полученное неравенство иа 1'2т!/з СО 1/ —" 5 1 / в = +С,е-"' 1/ 11 — 2о 2н Следовательно, для любого е )О 1 Устремив здесь е к нулю, получим 1!п! ~ е'н!'!с(1=1, 1 т с эа -~// 2н — — 1 или, что то же, искомое асимптотическое равенство (е-т (1+ /)1м Ж )// —,"-, з-»+ со.
— ! Умножив обе его части на е-'н-!т, в силу (54 54), получим асимптотпческую формулу ! т+ о- Г(в+1) )/2ле-*в, з — »+со, (54.68) называемую формулой Стирлиига для гамма-ф!/икции. Эта формула является, очевидно, обобщением формулы Стирлинга для факториала натуральнык чисел (см. и. 37.8), которая получается из (54.63), если положить з=л, ибо Г(н+1)=п1 (см. п. 54.5).
54.ан. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯЛЫ В п. 37.10о изучались разложения функций в асимптотические степенные ряды прп х-»+со. Напомним, что ряд ао+-! + — о+ ". + — + х ло '' х" Я„(х) = ао+ — „т-+ . ° + ф называется аеилттотичееким разложением с/тункции / при х-» -»+со, если его частичные суммы В».В". Асимигигиьеекиг ряды удовлетворяют условию ~ (х) — 5„(х) = о ( — „), х-ь. + со. Понятие асимптотического разложения функции естественным образом обобщается на ряды по системам функций, образующих так называемые асимптотические последовательности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
