kudryavtsev2a (947416), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Положим И,.=~~!И)! ж~ . (57.15) е Покажем„что (57.15) является полунормой в Жр[а, Ь~. Из фор- мулы (57.15), очевидно, сразу следует, что !!7)рз: О. При атом из условия Ц)р — — О не следует, что 7'=-О. В самом деле, рассмотрим, например, функцию ) (х) = 1 при х=а, О при хев(а, Ь1. Ясно, что (1)л —— О, но функция 7 не равняется тождественно нулю на отрезке [а, Ь), и потому она не является нулем линейного пространства И.р[а, Ь).. Проверим однородность выражения (57.14): для всех ь(Ьл[п, Ь) и я~бого А~А' (илн Хя С) имеем Гь гь. (пл [Щ,=~~!А7(г)! б(~ =!А!~~!У(г)!л Г~ =!Л!1[),. а а Докажем для (57.15) неравенство треугольника.
Для любых [~ ен)сЬл[а, Ь) и дяКЬр[а, Ь1, согласно неравенству Минковского для интегралов (см. п. 28.4е), получим: гь )пз у+а!р= !$ !у()+а(т) !л и~ а ь пр Гь 1пл !(~пе ~е! -«!(~ем~ с! =упырь а е Итак, действительно, !)!!р является полунормой (не являющейся нормой) в линейном пространстве )сЬр[а, Ь1. *> Н вЂ” первая буква фамилии Н. Римаиа (Н. К(етапп), а Ь вЂ” первая буква фамилии А, Лебега (Н.
Ьеьеаяпе), ок4. Проперы иориировоииых и полуиормировоииыхпростраиств 435 Аналогичная конструкция справедлива и для бесконечных промежутков; соответствующие полунормированные пространства будем также обозначать через И,р. 9. Рассмотрим множество всех непрерывных на отрезке [а, Ь] функций. Оно является линейным пространством. Мы уже знаем, что в нем можно ввести норму ]7'[с, определенную в примере 7 этого пункта. Можно в нем рассмотреть и полунорму (57.15), причем в этом пространстве полунорма (57.15) является уже нормой. Действительно, если функция 7 н прерывпа на отрезке [а, Ь] и [7[р=О, 1~р(+со, и, следовательно, ь ~ 1 [(х) (р йх =- О, Я то из неотрицательности и непрерывности функции ~ 7 (х) ~р, хоп[а, Ь], следует (см.
свойство 9 интеграла в п. 28.1), что 7(х)= — О на [а, Ь]. Пространство непрерывных на отрезке [а, Ь] срункций с нормой (57.15) обозначается через С1. [а, Ь]. Подобным же образом строятся аналогичные пространства для неограниченных промежутков, а также и для функций многих переменных. Если одно и то же множество принадлежит различным линейным нормированным или полунормированным пространствам (например, пространства С[а, Ь] и СЕр[а, Ь] состоят из одних и тех же функций), то часто бывает полезным оцепить одну норму (полунорму) этих элементов через другую. Теоремы, выражающие подобные оценки, называются обычно теоремами вложения.
Поясним сказанное на примере, сформулированном в виде леммы. Лемма 3. 77уеть — со ( а ( Ь + оо, 1 ( р (+ со. Если [си И.р[а, Ь], то ]г'[ь~(Ь вЂ” а)вв[р[р, — +--=1, (57.16) а если 7" спи. [а, Ь]П5 [а, Ь], то ][)р ~ (Ь вЂ” а)п,][[ (57.17) Доказательство. Принимая во внимание, что полунорма Щр определяется по формуле (57.15), получим, используя неравейство Гельдера'(см. п. 28.4*), ь У[с=~~[(()! 1й(( о гь плГ ь 1пв ,(~~ (~(() (рйт~ ~ ~ с(х~ =(Ь вЂ” а)пв]7[р, — + — -=1, а .а и В7. Функциояальньсе пространства тем самым (57.16) доказано.
Неравенство (5?.17) также сразу вытекает из определений (57.14) и (57.15) соответствуюгцих норм: [ь )нр тир )йр= [([~(Г) [ д[~ ),'([,зпр [7(1) [~ д() а а [сь Ь) [ь с,т!р ~~д(~ =(Ь вЂ” а)ттр)Ц, П О Упражнение )б. Обозначим через Сын[а, Ь) подмножество пространства Сй,[о, Ь), состоящее из непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, Ь) функцвй. доказать, что 1) СЧ.з [а, Ь) является линейным нормированным пространством, если под нормой фуйкцни [ сц Сым [и, Ь) понимать ее норму в пространстве ССз [а, Ь); 2) оператор дифференцирования Р является линейным неогранищнным оператором Ти СсСз [а, Ь)-ьСйз[а, Ь).
Указание: йолеэно рассмотреть функции Нпахщ Старз[ — и, п). Зт.б. СВОЙСТВА ПОЛУНОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ В полунормированных пространствах можно ввести понятие сходяпгейся последовательности и ее предела. Определение 25. Если последовательность (х,Д элементов полу- нормированного (в частности, нормированного) линейного пространспыа Х такова, что существуып злемент х ~ Х такой', что )пп [ х„— х [ = О, то последовательность (х„) назсгвается сходни со щейся по полунорме (соответственно по норме) к злементу х и пи)иется х= 1пп х„.
ь сь Вводя в каком-либо линейном пространстве функций различные полунормы (в частности, нормы), будем получать различные понятия сходимости последовательностей функций. Например, сходимость в смысле нормы (57.!4) означает равномерную сходимость; сходимость в смысле полунормы (57.15) является уже сходимостью другого рода: она называется сходимостью в среднем, или, подробнее, в смысле р-среднего (иногда говорят и просто о сходимости в смысле пространства Ер). Мы уже встречались с частным случаем сходимости такого рода при р=1: см.
лемму 2 в п. 55.2, следствие леммы 4 в п. 56.7 и метрику (57.2), а при р=2 — в следствии пз теоремы 12 п. 55.9. При р=2 сходимость в среднем называется также сходимостью в смысле среднего квадратичного. Неравенства (57.16) и (57.17) между различными полунормами функций позволяют установить связь между различными видами сходимостей функций. Например, пусть последовательность функций )„, п=1, 2, ...
и функция ? таковы, что 1'. Последовательность (Д„) сходится равномерно на отрезке '[а, Ь) к функции Г. о7 о. Свойства полуаормароваялыл лрострааств 2'. При всех и =1, 2, ...: 1,— ! ен 3(а, Ь](! РЛ.Да, Ь). Тогда последовательность ()„) сходится к функции 7" на отрезке [а, Ь1 н в смысле р-среднего, 1 =-р с.'+со.
В самом деле, в силу (57.17) справедливо неравенство ((.— ) "(а = (Ь вЂ” а)'~Р((а — 7( . Равномерная сходнмость последовательности ()„) к функции 7 иа отрезке [а, Ь1 означает, что !пп (7„— 7' = О. Следовательно 1пп (7.— 7(,=О. а оа Ун р а яс и ен не !6*. Построить прныер последовательности непрерывных нсотрнцательнык на отрезке функцкй, сходящейся в среднеи, но не скодящейся нн в одной точке.
Следует обратить внимание на то, что в полунормнрованном пространстве у сходящейся последовательности предел, вообще говоря, не единственен. При этом, если )пп х„ = а и !!тп х„=Ь, и сю а -со то полунорма разности двух пределов равна нулю: (а — Ь(=О. Это сразу следует из неравенства (а — Ь(~(а — х„(+(х„— Ь!. Лемма 4. Для любых двух элементов х и у линейного полу- нормированного пространства Х справедливо неравенство !(х( — (у(! =-(х — у(. (57.18) Доказательство. Так как 1х(= !(х — у)+у(((х — у(+(у(, то (х( — (у(=-"!~х — у( н аналогично ( Из последних двух неравенств и следует неравенство (57.18).
[ ) Определение 26. Пусть Х вЂ” линейное полунормированное (в частности, нормированное) пространство. Множество Е с- Х назысается огранпченныль или, подробнее, ограниченным по полунорме (соответспменно по норме), если существует такая постоянная И) О, что для всех х~ Е выполняется неравенство (х( =М. Лемма 5. Если последовательность (х„) сходится по полунорме в Х, то она ограничена. 438 э" $7.
Функциональные пространства Доказательство. Пусть х=11ш х„; в силу сходимости л со последовательности существует такое п„что если и ) по, то 1»,— х)«"1 и, следовательно, 1»„) =1(х„— х)+х( =)х,— х(+)»~1~)х(+1. Положим М=гпах(1»,1, )хо), ..., 1»л, 15, 1»5+1); тогда, очевидно, для всех п=1, 2, ... справедливо неравенство 1»„1== -=-М.
( ) На линейном пространстве с полунормой можно определить понятие непрерывной функции. Нам в дальнейшем (см. п. 57.9) понадобится понятие непрерывности функции одной и двух пере- менных на полунормированном пространстве. Определим эти понятия. Пусть Х вЂ” полунормированное пространство. Действительная или комплексная функция г, определенная на Х, называется непрерывной в точке хо ен Х, если для любого е ~0 существует такое 6 ) О, что для всех х е- =Х, удовлетворяющих условию 1» †хо1 «. 6, выполняется неравенство У(х) — Пхо)! ( е Пусть 1' — также полунормированное пространство.
Действи- тельная или комплексная функция (, определенная на произве- дении ХхУ, называется непрерывной в точке (хо, уо)енХхУ, если для любого е->О существует такое 6)0, что для всех (х, у) ~ Х х У, удовлетворяющих неравенствам 1х — хо ) < 6, 1у — уо1«6, выполняется неравенство !П», у) — 1(х„уо) ~(е, Если функция 1 непрерывна в каждой точке некоторого мно- жества, то она называется непрерывной на этом множестве. Определение непрерывности можно, конечно, сформулировать для полунормированных пространств и пользуясь последователь- ностями элементов пространства.
Например, числовая функция ), определенная на полунорми- рованном пространстве Х, называется непрерывной в точке хо, если для любой последовательности (»„), сходящейся к х, по полунорме пространства Х: 11ш 1»„— хо1=0 имеет место равенл со ство 1пп ~(х,) =~(хо) Л со Эквивалентность двух сформулированных выше определений предела функции доказывается по той же схеме, что и в случае, когда Х вЂ” множество действительных чисел (см, п. 4.5). Лемма б. Полунорма 1») является непрерывной функцией на полуноржированном пространстве Х.
Доказательство. Пусть заданы элемент хо АХ и число е О. Тогда для всех таких х, что (х — хо)«.е в силу леммы 4 В7.5. Свойства полрнврмированных пространств 439 имеем ~1х~ — )хв((((х — х»1(в, т. е. условие непрерывности функции на Х выполняется при выборе б=е. П Определение 27. Пусть Х и У вЂ” линейные полунормирован ые (в частности; нормированные) пространства. Отображение ), изоморфно отображающее пространство Х как линейное пространство на пространство У (см. определение 19), и такое, что для любого х ~Х справгдливо равенство )х!х=У(х)Ь называется изоморфным отображением или изоморфизмом линейных полунормированных (нормированных) пространств.
Если для линейных полунормированных (нормированных) простпранств Х и У сущ.ствует изоморфное отображение Х на У, то они называются изоморфными. Два изоморфпых полунормнрованных (нормнрованных) пространства могут отличаться друг от друга только природой своих элементов, а не свойствами пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
