kudryavtsev2a (947416), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Поэтому в дальнейшем мы часто не будем различать изоморфные полунормированные (нормированные) пространства, состоящие из различных элементов; такие пространства можно «отождествлять>. Поясним это подробнее. Пусть Х и У вЂ” линейные полунормированные пространства, У с: У*, а 7: Х->-У вЂ” изоморфное отображение. Рассмотрим множество Х* = Х () (У* ' У), получающееся из пространства Х присоединением к нему множества Ув' У. Таким образом: Х*' Х=У"" У. Определим для элементов множества Х* операции сложения и умножения иа число, а также норму — онн будут снабжаться индексом Х*.
Для удобства введем отображение г: Хв-». 1'", задаваемое формулой г,с ( 7 (х), если х е- =Х, с (х) — ' х если х я Х*', Х. (57.19) ()х+ру)х — Г 'Рг (х)+рг (у)1. 1х 1х — ' ( с (х) 3. Тзк определенное пространство Х* является линейным полунормнрованным (нормнрованным), изоморфным пространству У* и содержащим Х в качестве своего подмножества. Под утверждением «отождествим в пространстве Ув множество У с изоморфным ему пространством Х» и понимается рассмотрение указанного выше пространства Х* (сравннте с отождествлением изометрических метрических пространств п.
57.1). Ясно, что г" является взаимно однозначным отображением (биекцией) множества Х* на У*. Теперь для любых хан Х', у еи Х* и любых чисел Х, р положим э 57. Функциональные пространство У яр аж пенна. 17. Пусть Х вЂ” лянейное полунормнрованное пространство. Элементы х ~Х н у~нХ называются эяаиолентнымн, еслн (х — у(=-О. Обозначим через Х множество, элементами которого являются к.пассы эквнвалентных элементов пространства Х. Пусть Л се Х, у я Х, «~.Е, рай, л — число.
Определим я+у как элемент множества Х, содерпкащнй х+у, а )ьт,— как элемент нз Х, содержащий лх. Положим )х(-=,х,') . Доказать, что данные определения корректны, т. е. не зависят от выбора элементов ха Л н уеду, н что Х является линейным нормированным пространством с нормой (х)-. 18. Доказать, что функннн х+у н лх непрерывны на всяком лннейяом полунормнрованном пространстве Х (х н у в элементы этого пространства, а а †чис), нначе говоря, что операпнн сложения н умножения на число непрерывны в указанном пространстве.
57.6. СВОЙСТВА НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ В линейном н о р м и р о в а н н о м пространстве Х можно естественным образом ввести расстояние между элементами этого пространства. Именно, справедливо следующее утверждение. Лемма 7. Линеиное нормированное просгпрансглео Х является метрическим пространством с метрикой р(х, у)=))х — у'1, (57. 20) при етом сходимость последовательностей в пространстве Х по воюй метрике совпадает со сходимостью по норме.
Доказательство. Функция р(х, у), определенная форму- лой (57.20), действительно является расстоянием: свойства рас- стояния (см. п. 57.1) вытекают из свойств нормы 1' — 4 (про- верьте это). Второе утверждение леммы очевидно. Будем говорить, что метрика (57.20) порождается заданной норлгой пространства Х. Например, метрика, порожденная нор- мой 1«1=')/х',+., +х„' в арифметическом линейном пространстве и-мерных вещественных векторов х=(х,, хз, ..., х„), является метрикой евклидова пространства Яп, определенной форму- лой ' (18.1). Последовательность точек пространства Х, фундаментальная относительно метрики (57.20), называется также Чпундаменгпаль- ной относительно нормы, заданной в пространстве Х. Уп р ажне нне 19.
Доказать, что множество в линейном нормнрозанно:а пространстве ограничено по норме (см. опрсделенне 26 в п. 57.5) тогда н только тогда, когда оно ограничено как множество метрического пространстпа в' смысле метрики (57.20) (см. упражнение 1 в и, 57.1), Пример. Рассмотрим пространство (р, последовательностей действительных чисел с нормой (57.10).
Обозначим через е„по- следовательность, у которой п-й член равен единице, а все осталь- ные нули. Очевидно, что при п„ь т 1е,— е„1=(1+1)на= 2на, Б7.о. Свойства нормированных пространств Поэтому последовательность элементов е„, п = 1, 2,..., пространства 1 не может содержать фундаментальной, а, следовательно, и сходящейся подпоследовательности. Последовательность (св) ограничена, ибо для всех п имеем (в„1= 1.
Она образует замкнутое множество в 1р, так как множество (в„) не имеет предельных точек в 1„ (в противном случае в ней нашлась бы сходящаяся подпоследовательность). Таким образом, в бесконечномерном пространстве существуют ограниченные последовательности, из которых нельзя выделить сходящуюся. Существуют также и ограниченные замкнутые множества, у которых не из всякой последовательности их точек можно выделить сходящуюся. Замечание 1. Если в линейном пространстве Х введены две нормы элементов ).
)оп и 1 1~'~, причем они эквивалентны (см. определение 23 в п. 57.4), то последовательность х„в=в Х, п=1, 2, ..., сходится к элементу хыХ в смысле нормы 1.)~п тогда и только тогда, когда она сходится к х в смысле нормы 1. ((й, Действительно, в силу эквивалентности норм 1 р» и 1 (по существуют такие постоянные с,,»0 и с,)0, что выполняются неравенства сх)х„— х)ов ()хн — х)ов о,)хн — х)йм. Из этих неравенств сразу и следует эквивалентность сходимостей последовательности (х„) к х в смысле норм 1.1~0 и 1 "гм. Из доказанной в теореме 2 п.
57.4 эквивалентности всех норм в конечномерном пространстве следует, что сходимости последовательностей его точек по всем нормам эквивалентны. Поскольку сходимость по квадратичной норме (х(в равносильна покоординатной сходимости (см. п. 18.1 и 18.4), то сходимость последовательности точек в конечномерном пространстве по любой норме равносильна сходимости числовых последовательностей координат рассматриваемых точек относительно произвольного базиса. Замечая'ие 2. Отметим, что в случае, когда полунорма пе является нормой даже такая простая функция как линейная на конечномерном линейном полунормированиом пространстве может оказаться не непрерывной. Рассмотрим, например, двумерное арифметическое пространство Х векторов х= (хм хв) с полу- нормой (х1 = ~х,~.
Это действительно полунорма, так как (х( = =-~х,( » О. Кроме того, для любого числа ) имеем )х= (Лх„ 1х,) и потому 11х1= )7х,( = (3~)(х,( = )).)',~х). Наконец, если р= (у„ у,) также является элементом из Х, то х+у=(х,+у„хв+уа) следовательно (х+у)=(х,+у,(((х, )+!у,) =)х(+1у(. Таким образом, все свойства полунормы выполнены. Покажем, что линейная функция 1 (х) = х, не непрерывна на Х. Действительно, для последовательности хоо = (1/и, 1) любая точка вида х=(0, хв) (хв произвольно) является ее пределом Э 5Х Функциональные аровграчвгва 442 в смысле рассматриваемой полунормы: Вт (х1"1 — х[= Вгп — =О. 1 в о» И СО В частности точка 0=(0, 0) является пределом последователь- НОСТИ [Хсв1).
ОдНаКО 1пп [(х1в')=1=~0=7'(О). в»» Это и означает, что функция 7'(х)=х, не является непрерывной по полунорме [х[=~х,~. Подчеркнем, однако, что если в конечиомерном пространстве полунорма является нормой, то всякая линейная функция будет непрерывна относительно этой нормы. Действительно, пусть Х вЂ” п-мерное линейное нормированное пространство и 7 — линейный функционал иа Х. Пусть (е„..., е„) — базис в Х и, следовательно, любой элемент хе=- Х представим и притом единственным образом в виде х=х,е,+...+х„е„.
Поскольку 7 — линейный функционал, то 7(х) =7(х,е,+...+х„ев) = =х,[(еь)+...+х„((е„) =а,х,+...+а,х„, где ав — — 1(ев), Й=1, 2, ..., и,— фиксированные для 7 числа. Вспоминая, что сходимость последовательности точек по любой норме в конечномерном пространстве эквивалентна ее покоординатной сходимости, сразу убеждаемся, что из полученной формулы 1 (х) = а1хг+... + а„х„действительно следует непрерывность функции )'. Лемма 8. Норма является непрерывной функцией на линейном нормированном пространстве в смысле метрики (57.20). В силу равенства (57.20) это следует из того.
что полунорма непрерывна по полунорме (см. лемму 6 в п. 57.5). Определение 28. Линейное нормированное пространство называется полным, если оно является полным метрическим пространством в смысле метрики, порождаемой нормой данного пространства. Полное линейное нормированное пространство называется бана- ХОВЫМ ПрОСтраНСтВОМ в1. Линейное нормированное пространство С[а, Ь1 непрерывных на отрезке [а, Ь1 функций с нормой (57.14) является банаховым пространством.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
