kudryavtsev2a (947416), страница 86
Текст из файла (страница 86)
1. Однако зта функция 7 разрывна и потому 7 ф СЕ2 [О, Ц. Следовательно, естественно ожидать, что последовательность (7„) не имеет предела в пространстве С1.2[а, 6). По- Рис. 226 кажем это. Нетрудно убедиться, что последовательность (57.34) сходится на отрезке [ — 1, Ц в смысле полунормы (57.31) к функции 7.
Действительно, 1 1/л У вЂ” Ма*)лл ~ ~[(к) — [,(Х)(адх= 1 Л(х) [„(Х)(ят(к, — 1 — 11и + 11л + 11и [~[(Х) (+(1Л(к) (~)1(ХИ=-4 ~ С(кил 8-Ь О Прн П-ЭСО, — 111и — 11л ибо 17(х) !( 1, ~[„(х) (1, хе= [ — 1, Ц. (57.35) Предел по полунорме не единственен и поэтому возникает вопрос не существует ли еще и непрерывной функции, которая также является пределом последовательности [7„) в смысле среднего квадратичного. Покажем, что такой функции не существует. Допустим противное. Пусть существует такая непрерывная на отрезке [ — 1, Ц функция я(х), что 1пп )д — 1„)=0. (57.35) поскольку 1 — (л уже ие является иепрсрывяо1й1 фуикцисй, то здесь си»вол , 'тр '1 обозначает уже полуиориу (57,31) фуикции я, Это следует иметь в виду и в дальнейших рассмотрениях.
Э" ЭУ.Функциональные пространства Тогда 1) — а!=К вЂ” У+().— а) Ъ--аМ вЂ” ).)+М.— аЪ, где оба слагаемых правой части в силу (57,35) и (57.36) стремятся к нулю при п-~-оо, а левая часть не зависит от и, следовательно, $ !)(х) — а(хИО ( =~!) — 8)О=~' — 1 тем более О 1 /~(х) — д(х)!Ос(х=О, $!)(х) — д.(х)!Одх=О. (57,37) Рассмотрим, например, случай х~О.
Поскольку функции 7 и д. непрерывны на интервале (О, 1), то в силу (57.37) они совпадают на этом интервале (см. свойство 9 определенного интеграла в п. 28.1). Поэтому д (+ 0) = !! ш д (х) = 1пп ) (х) = 1. к +О к +О Аналогично из рассмотрения случая х~О будем иметь а( — 0)= 1пп 1(х) = — 1, с — О т. е. д — разрывная функция. Полученное противоречие и доказывает утверждение. ( ) итак, линейное пространство с(.О(а, ь) не полно. Однако мы знаем, что всякое предгильбертово пространство можно дополнить до полного, в частности это можно сделать и с рассматриваемым пространством.
Мы вернемся к этому вопросу несколько позже, а сейчас рассмотрим етце одно пространство. Попробуем взять более широкий класс функций, чем непрерывные, а именно рассмотрим линейное пространство КЕО(а, Ь) функций с интегрируемым на некотором отрезке 1а, Ь) квадратом (см. пример 3 в п. 57.8) с полускалярным произведением, задаваемым формулой (57.30), и сконструируем из этого пространства пространство со скалярным произведением.
Определение 38. Две функции 1' и д с интегрируемым на отрезке 1а, Ь) квадратом назовем эквивалентными, если полунорма (57.31) их разности равна нулю: Гь )~ — а(= от ~ )1(х) — д(х))'т(х= О. (57.38) а Эквивалентность функций в смысле этого определения будем абем1ачать символом и (57.39) $7.7ц Пространство ц Употребление в этом случае того же символа, который употреблялся для асимптотического равенства функций, т. е.
для обозначения их эквивалентности в смысле порядка их изменения (см. определение 3 в п. 8.2), не приведет к недоразумению, так как всегда будет ясно, о какой эквивалентности функций идет речь. Отношение эквивалентности (57.39) обладает следующими свойствами: 1') 1 1; 2') если Г" д, то д 3')если7 янп Ь,то) Ь. Разобьем множество всех функций с интегрируемым на отрезке (а, Ь) квадратом, т. е. пространство И,,~а, Ь) на классы эквивалентных между собой функций. Эти классы будем называть классами эквивалентности н обозначать заглавными латинскими буквами Р, 6, Н, ..., а их совокупность — через 5. Каждую функцию )', принадлежащую классу эквивалентности Р, будем называть его представителем. Кратко выражая процесс построения множества 5, говорят, что оно получается из множества всех функций с интегрируемым квадратом «отождествлением» его эквивалентных элементов.
Итак, теперь каждое множество эквивалентных функций рассматривается как один элемент множества 5. Для каждого Р ен5 и каждого действительного числа Л элемент ЛР определяется следующим образом. Выберем какого-либо представителя 7 е-:Р, тогда функция Ц является также функцией с интегрируемым на отрезке (а, Ь) квадратом и, следовательно, принадлежит некоторому классу эквивалентности, т. е. является представителем некоторого элемента из $, который и определяется как элемент ЛР.
Чтобы показать, что это определение корректно, надо доказать, это элемент ЛР не зависит от выбора функции ~ ен Р. Действительно, если ~ ~ Р и Г, ~г.Р, то Г, ~, т. е. (~„ — 7)= О. Следовательно, ЦЛГ", — Л7Ц = !Л/9)1 — 7) = О, а это означает, что Щ Ц. Поэтому функции Л), и Ц принадлежат одному и тому же классу эквивалентности, т. е. одному и тому же элементу множества 5. Определим теперь операцию сложения элементов множества Я. Пусть Ран 5 и 6я5. Выберем какие-либо функции Ге-=Р и й ен 6. Элемент Р+6 определим как класс эквивалентности, содержащий элемент ~+у. Зто определение однозначно, тан как если 7"ен Р, ~, я Р, д.ен 6, д, я 6 и, следовательно, 71 — 1~ й~ к то з" 5д Функциональные пространства 450 Поэтому т.
е. и, таким образом, функция [,+йт принадлежит тому же классу эквивалентности, что и функция [+й. Итак, для того чтобы сложить элементы из множества й или умножить нх на число, надо выбрать их представителей н проделать над ними указанную операцию; в результате получится некоторая функция; класс эквивалентности, представителем которого является эта функция, и будет результатом рассматриваемой операции.
Множество $ с введенными в нем операциями ЛР и Р+6 образует линейное пространство. Действительно, для этих операций выполняются свойства 1', 2, 3" определения 11 в п. 57.2. Проверим, например, что для любых Резо, Оя5 н любого числа Л справедливо равенство Л (Р + С) = ЛР + ЛО. (57АО) Если 1' я Р и д я 6, то, согласно определению сложения элементов нз множества й, получим [+Ль~Р+О, Л([+й) енЛ(Р+6).
Поскольку 7 и я — элементы линейного пространства, то Л ([+ф = =Л[+Лй. В силу же правила умножения элементов из 5 на число и сложения этих элементов Л) е ЛР, Лд я ЛО, Л7+ Лден ЛР-(-ЛО. Таким образом, классы эквивалентности Л(Р+6) и ЛР+ЛО содержат общий элемент Л(7'+я) — -Л~+Лд и, следовательно, совпадают. Равенство (57АО) доказано. Аналогично проверяется и выполнение остальных свойств линейных пространств (см. определение 11 в п, 57.2) для операций сложения н умножения на число элементов из множества б. Отметим, что нулем полученного линейного пространства б является класс эквивалентности, содержащий функцию, тождественно равную нулю на отрезке [а, 51, Этот класс состоит из тех и только тех функций 7, которые эквивалентны нулю, иначе говоря, для которых полунорма (57.31) равна нулю: 111=0, т. е.
ь ~ 7в (х) с(х = С. а Определим теперь в линейном пространстве й скалярное умножение. Пусть Ре-=й, О яй; выберем из классов Р н О каких- либо представителей 7енР и у~О и положим (Р, 6)"-'(7, я). (57А1) 46! ВХ70. Пространство Ь» Таким образом, для того чтобы скалярно перемножить элементы пространства й, надо выбрать их представителей и скалярно умножить их друг на друга (в смысле полускалярного произведения (5 .30)). Полученный результат и будет равен скалярному произведению рассматриваемых элементов из множества Я. Определение (57А1) также не зависит от выбора функций из классов эквивалентности. Действительно, если 1 ен Р, )'! ен Р, Ь ен 6, и, с: О, то 6".1 й'»-и и, следовательно, 11,-11=О, 1й,-д(=О.
Поэтому, используя неравенство Коши — Шварца (57.28) получим О== 1((! Ь!) — (Г д) 1= 1(Чи 9!) — 0 8»))+(й й») (7 О)) 1-== ==!(Л вЂ” 1дЦ+!((„й,— й) 1=11,— )11и,)+1!1)о,— д),=О. Таким образом (7д й!)=(1. Ы). Функция (57.41) удовлетворяет всем свойствам скалярного умножения. Действительно, пусть(енРенб,денОен5, ЬенНенб, Х и !» — числа, тогда (1«Р+рб, Н)=(Ц+рй, Ь)=7 (7, Ь)+р(й, Ь)=Х(Р, Н)+!»(6, Н), (Р, О)=(), а)=М, 0=(О, Р), (Р, Р)=(7', !') )О. Наконец, если (Р, Р)=О„то это означает, что для любой функции )'~Р имеем (!', 7) =1!')»=О, т. е. 1 О, а это, как отмечалось выше, и означает, что элемент Р является нулевым элементом пространства 6. Определение 39.
Линейное пространство Я со скалярны.и произведением (57,41) называется пространством ЙИ»=1«1.»1а, Ь], Отметим, что норма 1Р(й~ элемента Р в пространстве Й,»(а, Ь1, согласно (57.27) и (57.41), определяется через полунорму !)1я~,, функции ген Р по формуле )Р(д — — Д(дс —— ~~)»(х)с(х~, )~Р, (57.42) О причем в силу доказанной однозначности определения скалярного произведения это определение однозначно, т. е. не зависит от выбора функции ) ~Р. Замечание 1.
Элементами пространства Ж» "(а, Ь)являются классы эквивалентных функций, однако в математической литературе часто встречается выражение «функция из пространства вв.,». Это условное выражение означает просто, что речь идет о функ- ай у В7.Функциональные пространства цни с интегрируемым квадратом и, следовательно, принадлежащей одному из рассматриваемых классов эквивалентных функций, т. е. являющейся его представителем. Это выражение удобно, так как операция сложения, умножения на число и операция скалярного умножения классов эквивалентных функций сводятся к соответствующей операции над их представителями, причем результат не зависит от выбора указанных представителей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
