kudryavtsev2a (947416), страница 89
Текст из файла (страница 89)
$58. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ ПО НИМ зад. ОРТОНОРМНРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ Определение 1. Пусть Х вЂ” линейное пространство с полускалярным произведением. Злеменпил х ен Х и у еп Х назывшотся ортогональными, если (х, у)=0, в этом случае пишется также х1у Определение 2. Система элементов х, а е= 21, (% — некоторое многкество индексов) линейного пространства Х с полускалярным произведением называется ортогональной, если каждые ее два элемента ортогональны. Если, кроме того, норма ее любого элемента равна единице, т. е.
(х„1=1, а~ Я, то она называется ортонормированной. Очевидно, если система х„, сьыН, ортогональна и х ~0 для всех а ~ 'Л, то ее можно «нормироватьм Действительно, поделив каждый элемент на его норму, т. е. умножив х„на число Цх„1, получим ортонормированную систему ~ — „",, аеий~. Напомним, что если Х вЂ” пространство со скалярным произведением, то условие (х1~0 равносильно тому, что хФ0.
472 у 58. Ортоноратроааннпге оазисы и разломенал ао ння Лемма 1. Если система ',ха, и ен 6) элементов пространспгва Х с по.гускалярным произведением ортогональна и 1,'х„!1 ~ 0 для всех и е= А, то она линейно независима. Доказательство. Пусть для некоторых элементов х„, иа ен 21, й=-1, 2, ..., и, Лгхаг + Лампа + ° ° ° + Лпхап — О. имеем Учножим скалярно обе части этого равенства на ха, 1г — фиксировано (й=1, 2,,, и), получим Ла(ха„, х,а) = О, ибо в силу ортогональностп спстсмы (х„, х„)=О, 1'~й. Замечая далее, что, по предположению, х„а эь 0 и, следовательно (х„„, х„и)ФО, получим Л„=О, й=!, 2, ..., и.
Линейная независимость системы хсо ась Я, доказана. ( ) Докажем еще одну лелгагу, выражающую критерий линейной независимости функций через скалярные произведения. Лемма 2. Если для системы элементов х„..., хп пространства Х со скалярным про введением определитель (хг, х,) (х„х,)... (хь х„) (х„хг) (ха, х,)...
(х„х„) С(хг, ..., хп) = (хп, хг)(хп, х,)... (хп, х,) (Л,х,+...+Лоха, хг)=0, 1=1, 2„..., и, (58.1) пли Л,(х„хг)+...+Лп(х„, хг)=0, 1=1, 2, ..., и. Определителем этой системы является транспонированный определитель Грама, который по условию леммы равен нулю.. Следовательно, система (58.1) имеет нетривиальное решение Л,..., Лп (т. е. такое, что не все Лп 1=1, 2, ..., равны нулю).
Умножнм равенство (58.1) на Лг и просуммируем по г от 1 до и: (Лгхг+...+ Л„х„, Л,х,+...+Лоха) =О. *' И. Грач (1850 — 1916) — датской яатсчагик. равен нулю, то система линейно зависима. Определитель С(х,, ..., хп) называется определителем Грама *1 данной системы. Доказательство. Рассмотрим систему и линейных уравнений с и неизвестными Лн г'=1, 2, ..., п: б8.1. Ортонормированные системы 47З Отсюда лтхт+...+л„х„=О, что означает линейную зависимость системы х„..., х,. Ц У п р а тк н е н и я.
1. 11оказать, что если конечная систеча элса!юмов предтильбертова пространства лнвейно зависима, то ее определитель Грана равен нулю. 2. Доказать, что если (ыл) — ортонормироваиная система, то длч любых двух ее элементов ы и ю„, имеет место равенство 1се„, — ю„(= ) 2, а' ~ а, 3. Доказать, что функции ып х, мп Зх, а(п бх, Мп 7х, ауп эх — линейно независимы. Примеры 1. Тригонометрическая система функций 1, сокх, Мпх, сок2х, еап2х, ..., соках, купах, ... (58.2) ортогональна в пространстве Ьз[ — и, п) (см.
п. 57.10). Это было доказано в лемме 1 п. 55.1. Из формул (55с4) следует, что 1куп пх( — )т и, )сок!ух!! — )/и, и = 1, 2, ..., поэтому ортонормированная система, соответствующая системе (58.2), имеет вид 1 1 1 1 1 — — сокх, —,к1пх, ..., . сокпх, —,.к)ппх.... 2. Многочлены Ра(х)=1, Рл(х)=2— „, и „, л=1, 2, ..., (58.3) т(л (хе 1)л называются полиномачи Лежпндра. Из формулы (58.3) видно, что Рл(х) является многочленом степени и: Рл(х)лл "хл+.... (2л — 1)!! и! Покажем, что система (58.3) ортогональна в пространстве Ее( — 1, 11.
Для этого докажем более общее утверждение, а именно, — что полипом Лежандра Рл (х) ортогоналеп к любому многочлену (х) степени лз(п, Заметив предварительно, что выражение с(а (ха цл Ыха при а=О, 1, 2, ..., п — 1, обращается в ноль в точках х= — 1 и х=1, имеем, интегрируя по частям: ! с(л (ха 1)л лл-! (ха 1)л 1! 9„(х) и~, с(х = (е„(х) — ! ! ! — ~ (е' (х) „„„аО с(х=...=( — 1) (Й~(х) ) лт„„~ й~= — ! — ! ы !м! !(л-т-! (ха 1)л !! 474 э 88. Орта»ар»!ированнае базиса и рааложенил ловим Таким образом, ! ~ 0 (х)Р„(х)г( =О, тн" и; — ! в частности, ! ) Р,„(х) Р„(х) !(х = О, л! Ф н.
— ! Подсчитаем теперь норму полиномов Лежандра. Заметив, что (2л — 1) И Р»(х)=, ' х" +Я„,(х) где (~„!(х) — многочлен степени не вы!Ие п — 1, и использовав ортогональность Р„(х) ко всем многочленам меньшей степени, получим: +! +! 1 Р' (х) дх = 1 Р. (х) '[ — „1 Х+ е.-! (х)~ дх = — 1 — ! ! ! (2л — Ци [ Р (х)х" дх (2л — 1)и 1 !(~(ха 1)»х" л! б " л1(2л)И,) с1х» — ! — ! Интегрируя последовательно по частям, будем иметь +! ! »„! (2л — 1)И Р,' (х) !(х = ... = ( 1)'-! (2л л 1)'! [' хл (ха 1)» — ! — 1 ! =( — 1)"-! ~ (ха-1)»-!хаЙх т(2л — 1)И г (2» — 2) И вЂ” ! ! = ( 1) - (2"- ')И 1 С (х 1).
— И,р = (2л — 2)И З ) — ! ! ! »-т(2» 1)!! 1 ! а 2 =- ( — 1)"- (2 — 4)И З 3 "' 3 =2+1' ' — ~ (х' — 1)л-ахае(х= ..= 3 х'"!(х= — 1 — ! Таким образом, ))".( И=)/2л Система полиномов Лежандра, как и всякая ортогональная система ненулевых элементов, линейно независима (см. лемму 1) в пространстве ьа [ — 1, 1]. Поскольку в данном случае рассматриваемая система функций состоит из многочленов, то из их линейной независимости на каком-то отрезке (в данном случае на отрезке [ — 1, 11) следует и их линейная независимость на любом другом отрезке.
88.2. Оргогонализацил Действительно, если какие-то многочлены 1',)з(х), ..., (,)а(х) линейно независимы на отрезке (а, Ь1, то они, очевидно; линевно независимы и на всей числовой оси (всякая система функций, линейно независимая на некотором множестве, линейно независима и на всяком больше . множестве, на котором определены все функции рассматриваемой системы). Если бы многочлены Ю,(х), ..., 9ь(х) оказались бы линейно зависимы на некотором отрезке !а, ()1, т.
е. нашлись бы такие числа )г„..., Ц, не все равные нулю, что для всех хоп(а, Я выполнялось равенство )сз(гз(х)+...+)сь()а(х) =О, то это означало бы, что все коэффициенты многочлена )сДт(х)+...+АьДь(х) равны нулю (многочлен с неравными нулю коэффициентами может иметь лишь конечное число нулей). Это означает, что многочлены (~т(х), ..., 9а(х) линейно зависимы на всей числовой оси. Полученное противоречие доказывает их линейную независимость на отрезке (а, р1: Из линейной независимости полиномов Лежандра следует, что любой многочлен степени, не болыпей а, является линейной комбинацией полиномов Лежандра Р,(х), Р,(х), ..., Р (х).
Действительно, в (и+1)-мерном пространстве многочленов степеней, не превышающих л, любая система л+1 линейно независимых многочленов, в частности указанная система полиномов Лежандра, образует базис. Поэтому всякий многочлен рассматриваемой степени, является линейной комбинацией элементов указанной системы. 3. Система функций (е'"-"), и =О, + 1, + 2, ..., ортогональна на отрезке !†л, л!.
В самом деле, сзлхеьзл с(х — ~ 81 1п-ж1 х с(х Отсюда, вспоминая, что период функции еа равен 2лз (см. п. 37.6), прн и ~из получим: Е'""С' а С(Х = Е'(" 1 = О 1 !н 1(л — гн) ~ — н У н р а ж н е н и е 4. Доказать, что нослелонательность $ункиий а1н (2л — 1) —, и ='1, 2, ...; образует ортогональную систему на отрезке [О, и!. 58.2. ОРТОГОИЛДИЗАЦИЯ Пусть снова Х вЂ” предгильбертово пространство.
Рассмотрим следующую задачу. Пусть дана линейно независимая счетная система элементов х„, и=1, 2, ..., пространства Х. Ч'ребуется с помощью конечных линейных комбинаций получить иэ иее э бв. Ортонормировинныв бизисы и разложения но ним ортогональную систему. Оказывается, эта задача всегда имеет решение. Теорема 1.
Пусть х„, п = 1, 2, ..., (58.4) — линейно независимая система элементов пространства Х. Тогда сущесптвует орнюгональная система элементов у„, у„ФО, и = 1, 2, ..., этого пространства, такая, что каждый ее элемент у„, п=!, 2, ..., является линейной комбинацией первых и элементов системы (58.4): у„=а„„х,+а„,х,+...+а„,„х„. (58.5) Построение ортогональной системы (у„) вида (58.5) из линейно независимой системы (х„) называется обычно процессом ортогонализоции гиспаемы (х„~. Доказательство. Положим уз=-хы Поскольку система (58.4) линейно независима, то у,ФО (почему?). Пусть существуют попарно ортогональные элементы у„~О, п = 1, 2, ..., /г, й = 1, удовлетворяющие условию (58.5). Будем искать элемент у»+ь ортогональный ко всем ум ..., уд, в виде у»„, = ()ддь,у,+...
+ ()д+, дуд — х»+„. (58.6) Из условий ортогональности (ум уд+т) =...= (у», у»из) =О получаем (уд, ут)()ды.з=(уд хд+,), ..., (уд, у»)~дтьд — — (у», хд+т). (58.8) Отсюда однозначно определяются коэффициенты 11»»к т, ! = 1, 2, ..., й. Элемент у,м„задаваемый представлением (58.6) с найденными коэффициентами ~»+, ы 1=1, 2, ..., я, удовлетворяет условиям (58.7). Подставим в (58.6) выражения для у„, и =1, 2, ..., я, записанные в виде (58.5); после приведения подобных членов получим у»ы = а»дь дхд+.
"+ аз„ь»х» — х»+м (58.9) Отсюда следует, что у»ы~О, ибо в противном случае элементы х„..., хд„оказались бы линейно зависимыми. ( ) Замечание. Отметим, что если какая-либо ортогональная система элементов г„, г„ =,м О, и = 1, 2,..., пространства Х такова, что каждый элемент г„ также является линейной комбинацией первых п элементов системы (58.4): гн = Тн,дхд + .. ° +тн,»хн, и = 1, 2, ..., (58.10) то элемент г„отличается от элемента у„лишь некоторым числовым множителем А„~О: гн = Хнун, п = 1, 2, .... Ы2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
