kudryavtsev2a (947416), страница 88
Текст из файла (страница 88)
А=Х и А с: Вс: Х, то, конечно, множество В также плотно в Х, ибо А с: В с Х и так как А = Х, то и В = Х. Поэтому из плотности множества Ф(СЛз[а, Ь]) в пространстве Я.в[а, Ь] следует и плотность в нем множества Ф(С1.,[а, Ь]). П Если отождествить каигдую непрерывную функцию 7" ~ С).я [а, Ь] с классом эквивалентных функций Ген)с(.з[а, Ь], которому она принадлежит: 7' АР, т. е. отождествить 7 с ее образом при естественном отображении Ф, то получим, что С7.я[а, Ь] является подмножеством пространства Й.,[а, Ь]: С7.в[а, Ь] с: Кап, Ь]. (57.50) Это включение называется естественным вложением пространства С7.я в простраггсгво Я.з. Итак, в силу (57.48) и (57.50) справедливы включения Из[а, Ь] сС1.,[а, Ь]с: Я.я[а, Ь], причем согласно теореме 5 Сс'.з[а, Ь]=И- [а Ь] — множество С(,я[а, Ь], а следовательно н С1.,[а, Ь], плотны в пространстве Й.,[а, Ь].
Можно показать, что пространство Й. [а, Ь] не является полным, т. е. не является гильбертовым пространством. Задача 37. Доказать, что пространство тсьз (а„а) яе является полным. Выше было показано (см. п. 57.9), что всякое предгильбертово пространство можно дополнить до полного, т. е. до гильбертова пространства. В частности, это можно сделать и с пространством Д1.в[а, Ь]. Определение 41. Пополнение предгильбертова пространства аз=Из[а, Ь] называется пространством ьз=(.з[а, Ь]. В силу определения пополнения Й,,[а, Ь] с- с. [а, Ь] и И.я[а, Ь] плотно в пространстве 7.з[а, Ь], т.
е. Й.з[а, Ь]=1.я[а, Ь]. 488 и 57. Фрикциоиссзьиые пространства В силу включений (57.48), (57.50) и (57.51) имеют место естественные вложения С5а [а, Ь) с- Сс„[а, Ь) с й.е [а, Ь) с 3 е [а, Ь). (57 52) Оказывается, что не только Й.з плотно в пространстве 7.„ но и Сйа плотно в 1, Теорема 6. Пространство СВ,[а, Ь] плотно в ттространстве се[а, Ь].
Следствие. Пространство Сс.а[а, Ь] плотно в пространстве Ц[а, Ь]. Доказательство теоремы 6. Пусть ген (з[а, Ь] и пусть произвольно фиксировано е О. Для простоты все элементы пространства ).а[а, Ь] будем также обозначать строчными латинскими буквами, хотя они, вообще говоря, и не являются функциями, Поскольку пространство 5а[а, Ь] является пополнением пространства И.а [а, Ь), то существует такой элемеитд~й.а[а, Ь), что 2' Согласно включению (57.52) и плотности множества СЕа[а, Ь) в пространстве Й.а[а, Ь], существует такой элемент Ь ен Ст'.в[а, Ь), что )8 — Ь)с,(. 2.
Поэтому Ь[, =][ — 61 +[а — Ь[„С-'-+-'с=е. Это н означает, что множество СВ,[а, Ь] плотно в пространстве 1.,[а, Ь]. [ ] Следствие очевидным образом вытекает из теоремы, так как (как это было показано при доказательстве теоремы 5), если подмножество А некоторого множества В, А с: В, плотно в каком-то метрическом пространстве Х:з В, то и само множество В тем более плотно в Х. В данном случае Сйв[а, Ь] с: Сьз [а, Ь]) с ).з[а, Ь) и Сс.в[а, Ь) плотно в т'.а[а, Ь]. Поэтому С1.,[а, Ь] также плотно в ).а[а, Ь]. Упражнение 24.
Доказать, что если Х вЂ” метрическое пространство, А~:В~Х, множество А плотно в множестве В, а множество В плотно в пространстве Х, то и множество А плотно в пространстве Х. Замечание 2. Если рассматривать пространство (.а[а, Ь] как пространство, получающееся из пространства И.а[а, Ь] конструкцией пополнения пространств, описанной в теоремах 1, 3 4бз 57.70. Про«грпн«тво Г» и 4 настоящего параграфа, то его элементами будут являться классы эквивалентных фундаментальных последовательностей, составленные из классов эквивалентных функций с интегрируемым квадратом.
Если при этом произвести отождествление пространства С(.» и И,» с их образами в (.„как это указывалось выше, и тем самым считать, что С1.» с Й.» с 7.«, то окажется, что пространство 7.» состоит из непрерывных функций, из классов эквивалентных функций с интегрируемым квадратом, не содержащих непрерывных функций, и из «абстрактных элементов», представляющих собой указанные классы фундаментальных последовательностей. Можно, далее, условно в смысле замечания 1 «заменить» все элементы из пространства Я» функциями — произвольно выбранными их представителями.
Тогда пространство 1.«окажется состоящим из функций с интегрируемым квадратом и тех же абстрактных элементов, необходимо возникающих при процессе пополнения пространства ~Ж» ввиду его неполноты. Зга «условная замена» элементов пространства й,»1а, Ь] их представителями отражает точное утверждение, что операции над классами эквивалентных функций сводятся к соответствующим операциям над их представителями в вышеуказанном смысле.
Оказывается, и это очень интересно и важно, что указанные абстрактные элементы можно рассматривать не как классы фундаментальных последовательностей классов эквивалентности, а как некоторые функции, точнее как классы эквивалентных функций в смысле определения 38, причем скалярное произведение для ннх также определяется формулами (57.30) и (57.41), только интеграл в этих формулах следует понимать ие в смысле собственного или несобственного интеграла Римана, а в более общем смысле, в смысле так называемого интеграла Лебега.
Рассмотрение этого вопроса выходит, однако, за рамки рассматриваемых 'методов и поэтому не будет излагаться в настоящем курсе. Его изложение можно найти, например, в замечательном учебнике С. М. Никольского «Курс математического анализа», т. 1, 11, 2-е пзд,, М., 1975. Замечание 3. Определение пространства 7.»1а, Ь)естественным образом обобщается и иа случай бесконечного промежутка. Рассмотрим для определенности всю числовую ось. Для двух непрерывных интегрируемых в квадрате па всей действительной оси функций «Г и «р скалярное произведение определим по формуле (57.53) 470 и" 57. Фрннааональные пространства Это определение корректно, ибо интеграл, стоящий справа, при сделанных относительно функций ~р и ф предположениях сходится, и даже абсолютно.
Это сразу следует иэ неравенства 1«р (х) ф (х) ! ( р ( ) +~ ( ). Свойства скалярного произведения для (57.53) легко проверяются. Можно показать аналогично случаю конечного промежутка, что получившееся при этом метрическое пространство непрерывных интегрируемзях в квадрате функций, так же как и предгильбертово пространство, получающееся «отождествлением» эквивалентных функций с интегрируемым на всей числовой оси квадратом, ие является полным в метрике, порожденной скалярным произведением (57.53).
Пополнения этих пространств совпадают с точностью до изоморфизма и обозначаются через Е,( — со, + оэ). Уп р з ж и е и и я. 25. Локзззть, что функции 1(х) = .. из отрезке [О, Ц 1 'г'х ие является пределом в смысле среднего квздрзтичиого последоввтельиости непрерывных функций. 26. Докззвть иеэквивзлеитиость понятий сходимости в среднем в смысле Е„ и в смысле Ез для последовательности функций. 27.
Доказать, что если последовательность интегрируемых ив некотором отрезке функций рзвиоь1ерио из этом отрезке сходится к некоторой интегрируемой из ием фуикции, то указанная последовательность сходится в той же. функции из рассматриваемом отрезке и в среднем кзк в смысле Е„ твк и в смысле Ез. 28.
Построить пример последовзтел;ности непрерывных из некотором отрезке функций, сходящейся из ием к некоторой непрерывной функции в среднем в смысле Еж по ие сходящейся равномерно нв этом отрезке. 29. Построить пример последовательности неотрицательных непрерывных из отрезке функций, сходящейся из ием в среднем, ио ие сходщцейся в смысле среднего квадратичного. Задача 38. Доказать, что для любого р, 1 ( р (+со, и любого промежутка с концами в точках а и Ь, — оо(а(Ь +со, множество непрерывных из ием функций плопю в прострзистве РЕр (а, Ь). Мы описали различные типы пространств. В анализе в основном изучаются пространства, элементами которых являются функции. Такие пространства называнпся функциональными.
Для простоты в примерах рассматривались функции одного переменного. Подобным же образом, если взять линейное пространство функций, непрерывных на замыкании некоторого измеримого по Жордану множества 6 ~Рн, ввести скалярное произ. ведение по формуле (~р, тр) = ~ ~рфс(6 и пополнить получившееся пространство, то получим гильбертово пространство, которве обозначается Е,(6). При этом можно показать, что все таким образом полученные пространства Е,(6) будут .севарабельными бескоиечномерными гильбертовыми пространствами. ВВ.!, Оргонормироваьчые системы 471 Бесконечномерность пространства Ь,"(а, о1 будет установлена в п.
58.2, а его сепарабельность — в п. 58.3 (теорема 2). В дальнейшем (см. п. 58.5, теорему 10) будет доказано, что все бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства нзоморфны между собой. Таким образом, изучив определенные свойства функций одной или многих переменных, удается из некоторых нх множеств образовать пространства Т., Однако, превратившись в точки этого пространства, функции утрачивают многие свои индивидуальные свойства.
В частности, пространства 1,, неотличимы друг от друга по числу переменных, от которых зависят функпии, из которых образованы эти пространства. Зто, конечно, нисколько не мешает применять функциональные пространства с большим успехом как в чисто теоретических вопросах, так и в приложениях математики. Введенные в этом параграфе многочисленные определения будут применяться в дальнейшем для описания определенных свойств различных классов функций в привычных и наглядных гсомстрических терминах (прострапство, точка, расстояние, вектор, базис и т. п.) и помогут установить аналогии, имеющиеся между обычными и-мерными векторными пространствами и пространствами функций, и выяснить специфические свойства бесконечномерных функциональных пространств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
