kudryavtsev2a (947416), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Система элементов е„еи Х, и = 1, 2, ..., называется полной, если множество конечных линейных комбинаций элементов этой системы плотно в пространстве Х. Это означает, что для каждого элемента хе= Х и каждого числа е)0 существуют такой номер и=п(е, х) н такие числа Л,, ..., Лн, что выполняется неравенство )х — (Л,е, +... + Л„е„),", ~ е.
(58.39) х= ~~ а„е„, где а„= —,',",, п=1, 2, ..., (58.40) (х, е„) !ел ~ и=! 11п! ~х — 'У', а„еь =О. и со~ (58.41) Следовательно, для каждого числа е ) 0 существует такая частнчп ная сумма э„= "', анен ряда Фурье (58.28), что А=! 1х — э„!,':, е, (58.42) т. е. выполняется условие (58.39).
Обратно, если условие (58.39) выполняется при каких-то коэффициентах Л„..., Л„, то оно заведомо выполняется согласно теореме 3 и в случае, если взять Л,=а„..., Л„=а„, т. е. в этом случае для заданного е) 0 выполняется условие (58.42) при некотором и, а значит, и при всех т) и (см, (58.31)), а это равносильно выполнению условия (58.41). 1 ) Следствие непосредственно вытекает из теорем 5 и б.
Полнота ортонормированной системы является условием, обеспечивающим сходимость ряда Фурье любого элемента пространства к самому этому элементу. Сформулируем зто условие в виде теоремы. Теорема 6. Ряд Фурье по ортогональной системе (58.27) любого элемента предгильбертова пространства сходится к сал!олгу этому элементу тогда и только тогда, когда система (58.27) является полной, Следствие. Для того чтобы ортогональная сиспгема (58.27) предгильбертова прас!пранства Х была полной в пространен!ве Х, необходимо и достшпочно, чтобы для любого элемента х е:— Х выполнялось равенство Парсгваля (58.36). Доказательство теоремы б.
Пусть Х вЂ” предгильбертово пространство и система (58.27) является ортогональной системой этого пространства. Если для любого х~Х его ряд Фурье по системе (58.27) сходится к х, т. е. В8.4. Рлдн Ф(тьг Выясним теперь вопрос о единственности элемента, имеющего данный ряд ~" а„ещ своим рядом Фурье. л=! Теорема 7. Если ортогональная система (58.27) предгильбертова пространства Х полная, то элемент х~ Х, у которого все козффициенты Фурье по системе (58.2?) равны нулю, сам равен нулю.
Следствие. Оз равенства всех коэффициентов Фурье у двух элгл!ентов пространсп!еа Х по полной ортогональной системе (58.27) вытекает равенство самих в,!ементов. Доказательство теоремы 7, Если система (58.27)— полная,' то согласно теореме 6 любой элемент х~Х является суммой своего ряда Фурье: х= ~~ а„е„.
Поэтому, если а„=О, и=— и = 1, 2, ..., то и х= О. Ло к а зяте льство следствия. Если х, я Х, х,си Х них коэффициенты Фурье равны между собой: (х! гп) (х! !О) ! !,е„(! (е„„' ''1 то для элемента х=х, — х, все коэффициенты Фурье равны нулю: (х, ги) (х! — хл, !л) (х! гл) (хл, !щ) 1'гщ (гщ! !гщ' !ги и '! щ 2 и, следовательно, согласно теореме, х=О, т. е. х,=хь. П Замечание. Следует отметить, что если в предгильбертовом пространстве Х задана некоторая ортогональная система (е„), е„ФО, и для некоторого х ~ Х су!цсствует его представление в виде х= ~ч х„е„, к=! то оно единственно и коэффициенты х„, п=1, 2, ..., являются коэффициентами Фурье.
В самом деле, если указанное представление сунгествует, то для любого т= 1, 2, ... в снлуортогональности системы л!е ) получим: (х, ьщ)=(~х~ед, ещ~= г кь(ед~ ещ) — хщ(ещ, ещ) л=! I л=! откуда (х, ещ) (гщ, ещ) ' т. е. коэффициенты х„„т= 1, 2, ... определяются однозначно и совпадают с коэффициентами Фурье.
Итак, если в предгильбертовом пространстве имеется полная ортогональная система, то всякий элемент этого пространства 490 э бв. Оргонорлировинные базисы и разложения ионин раскладывается в ряд по этой системе (теорема 6) и притом единственным образом согласно сделанному замечанию. Иначе говоря, (см. определение 33 в п.
57.6) всякая полная ортогональная система (е„), е„чьО, и = 1, 2, ..., в частноспги, всякая полная ортонормированная система, предгильбертова пространства являепгся его базисом. Например, согласно результатам п. 58.3 полиномы Лежандра (58.3) образуют базис в гильбертовом пространстве Е,[ — 1, 11, а тригонометрическая система (58.2) — базис в гильбертовом пространстве Ее[ †, и).
Теперь дадим еще один подход к понятию полноты ортогональной системы в полном пространстве. Определение 6. Орпюгональная система (58.27) называется замкнутой, если в пространстве Х не существует элелгенгпа, отличного от ну.гя и ортогонального к каждому из элементов системы (58.27). Теорема 8. Если пространство Х полное, то ортогональная система (58.27) полна пюгда и только тогда, когда она замкнута. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если система (58. 27) полная, х ~ Х и х ортогонален ко всем элементам системы (58.27), то все его коэффициенты Фурье по системе (58.27) равны нулю (см. (58.23)), следовательно (теорема 7), х=О. Обратно, пусть система (58.27) замкнутая, х ~ Х н х ~", а„е„. Согласно теореме 4, ряд Фурье элемента х сходится, и=- ! и если хо= ~' а„е„, то х — хе 1 е„, и = 1, 2, ....
Поэтому в силу н=! замкнутости системы (58.27) х — хе=О, т. е. х=х, и х= ~', а„е„. и=! Поскольку х — произвольный элемент пространства Х, то отсюда в силу теоремы 6 и следует полнота системы (58.27). П Звдичв 39. Выяснить, зквивзлеитны нли нет понятие полиол ортогональной системы и понятие замкнутой ортогональной системы во всяком предгильеертовом пространстве. БЗ.З, СУВ(ЕСТВОВАНИК БАЗИСА В СЕПАРАБЕЛЬНЫХ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТ'АНСТВАХ. ИЗОМОРФИЗМ СЕПАРАБЕЛЬНЫХ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ Теорема В.
Во всяком сепарабельном линейном пространстве Х со скалярном! проггзведенггем существует ортонормированный базис е„, п=1,2,.... Доказательство. В случае, если пространство Х п-мерное, теорема очевидна (см. и. 18.4 и 57.2), поэтому будем рассматривать только случай, когда пространство Х бесконечиомерно. 88.8. Существование базиса 4з< Поскольку пространство Х сепарабельно, тон нем существует последовательность элементов ср„, п=1, 2,..., образующих полную систему. Отбрасывая последовательно те из элементов, которые являются линейной комбинацией остальных, получим последовательность элементов и= 1, 2, ..., имеющих ту же линейную оболочку, что и исходная система (ср„) и линейно независимых (почему?).
Применив к полученной системе процесс ортогонализации (см. п. 58.2) и нормирования (см. п. 58.1), получим ортонормированную систему еи, 1еа( = 1, я = 1, 2, ..., имеющую ту же линейную оболочку, что и система Щ, а значит, ту же, что и система (ср„). Поскольку в силу полноты системы (<р,) эта линейная оболочка плотна в Х, то система (е„) полная. В предыдущем же пункте (см. замечание после теоремы 7) было показано, что всякая полная ортонормированная система элементов предгильбертова пространства является его базисом.
П Теорема 1О. Все сспарабельные бесконечнолсерные гильбертова пространства изоморфны между собой *!. Предварительно докажем две леммы. Первая из них обобщает равенство Парсеваля (58.35). Лемма 4. Пусть Х вЂ” предгильбертово пространство, е„(е„~ О), п=1, 2, ..., — полная ортогональная сисспема в Х, кенХ, уенХ, и пусть я .У, 'а„е„, у ~ч„ Ь„е„', и ! и=- ! тогда (к, у)= ~Ч~ ~а„Ь„)е„м, в= ! (58 АЗ) и=! Формула (58,431 обобщает, очевидно, формулу для скалярного произведения в конечномерном пространстве (см.
п. 18А). "' Определение бссконечномерности пространства см. в п. 57.2, а изоморфизма пространств — в и. 67.9 (определеиие Зб). в частности, если дополнительно предположить, что 1е„(=1, п=1, 2,..., то (к, у) = ,"з, а„Ь„ 492 Э 58. Орхонориированные базисы и разложения ионин Доказательство. По определению коэффициентов Фурье, (х, е„) а»= е ь »= !,е»," ' поэтому имеем с л л х — ~ч, 'а»е», у — ~ч, Ь»е»!=(х, »=!»=! 1 л л — ~ а»(у, е»)+ ~ а»Ь»(е», е») у) — ~ч, 'Ь„(х, е„)— »=! л = (х, у) — '~ а»Ь»(е» 1»! (58.44) с=! Из полноты системы ел, а=1, 2, ..., имеем и ( — Е, л,)=с.
° !е — т,ье)=о, л со!» !, л ол поэтому в силу непрерывности скалярного произведения при п-».оэ левая часть равенства (58.44) стремится к нулю, следовательно, это имеет место и для правой части, т. е. 1пп 'У', а»Ь»(е» !!Я = (х, у). л сл!, л+р а»е» != »=л+! лир а'„, п=1, 2, ..., р=1, 2, ( и+р (эр»р — эл 1'= ~ ~ч, асею »=л+! »=л+ ! и в силу сходимости ряда э', а'„он удовлетворяет критерию л=! Коши для сходящихся рядов. Отсюда следует, что последовательность (э„) является фундаментальной в пространстве Х и, следовательно, сходится. Это равносильно равенству (58.43). П Лемма 5. Пусть Х вЂ” гильбертою пространство, е», Ь = = 1, 2, ... — ортонормированный базис в Х и аю Ь= 1, 2, ...— последовательность чисел таких, что ряд 5, 'а3 сходится. Тогда с=- ! ряд '~~ а„е» сходится в пространстве Х, и если х=-,У,' а»е„ » =-! с=! то ам Ь= 1, 2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
