kudryavtsev2a (947416), страница 94
Текст из файла (страница 94)
ряд Фурье элемента Р ен Й.в 1 — и, п1 с (.т 1 — и, п1 совпадает с рядом Фурье каждой функции )'~ Р. Согласно теореме 12 в пространстве (о[ — и, п1 имеет место разложение Р= — '+,1 п„созпх+Ь„з!плх, и=! и равенство Парсеваля (58.52) -)Р),,= д1+,~~ и'+Ь:. (58.53) «=! Если, теперь, ~~Р, то (см. (57.42)) ! -в ~*ч.-!!и!-ели...=~Г1и!!-в.и!! . !ылв! е' Индекс у скалярных н полускалярных произведений указывает, в каких пространствах берутся рассматриваемые произведения, Если о„(х) = — + г а» сох Ах+ Ьа з(п йх — частичная сумма ая ~Ю а=! ряда Фурье (58.52), то сходимость этого ряда в пространстве (.я1 — и, п1 к элементу Р означает, что !Пп 1'Р— Я. (х))с! =О. ВВ В, Раелоаееаае фуалцлй е рлд Фурье где (7 (х) — В„(х) 1яс, — полунорма функции Р (х) — 5„(х) в пространстве )хье1' — и, л), что имеет смысл, ибо 1(х) — 3„'(х)'е== в=р — 8„(х).
Йз (58.54) и (58.55) следует, что 1нп $ )~(х) — Я,(х)Кдх=- 1!ш Ц(х) — 5„(х))яс,=-О. л еа л л- ео т. е. равенство (58.50) доказано. Лалее, поскольку в силу той же формулы (57.42) имеют место равенства (Е ,'с, = ;'~)'ряс, = 1/ ~ 1-(х) с(х — л и поскольку коэффициенты Фурье у Е и 7" одинаковы, то (58.51) следует непосредственно из (58.53). Для доказательства следствия 2 заметим, что если все коэффициенты Фурье функции 1 е= его( — л, л1 по тригонометрической системе равны нулю, то из равенства Парсеваля (58.51) следует, что ) 7" 1 = ') )е (х) дх = О, а это согласно определению 38 из п. 57.10 эквивалентных функций и означает, что О.
Итак, обратим внимание на то, что если у функции с интегрируемым квадратом все коэффициенты Фурье равны нулю, то оиа не обязательно является тождественным нулем, а только эквивалентна ему. Оба следствия доказаны. Из равенства Парсеваля (58.51) еще раз (независимо от теоремы 2 п.
55.2) следует, что коэффициенты Фурье функции 7(х) стремятся к нулю (ибо общий член сходящегося ряда (58,51) всегда стремится к нулю), однако лишь для функций с интегрируемым на отрезке (†и, и) квадратом. Поскольку всякая функция, непрерывная на отрезке (†и, л) является и функцией с интегрируемым квадратом, то для нее также справедливо утверждение первого следс1вия теоремы 12: она раскладывается в ряд Фурье, сходящийся к ней в смысле среднего квадратичного, и для нее справедливо равенство Парсеваля (58.51). Второе же следствие для непрерывных функций может быть существенно усилено.
Сформулируем его в виде отдельной теоремы. Теорема 13. Если все коэффициенты Фурье непрерывной на отрезке [ — и, и1 функции рванье нулю, то сама вта функция тождественно равна нулю. 500 Э ВВ Оргонорнироеанные базисы и разложения но ним Следствие (теорема единственности разложения непрерывной функции в ряд Фурье), Если две непрерывные функс!ии имеют одинаковые коэффициенты Фурье, то они тождественно равны. До к азат ель ство. Если функция 7(х) непрерывна на отрезке [ — и, и] и все ее коэффициенты Фурье равны нулю, то из равенства Парсеваля (58.5!) имеем 1г!яь,=-О. Но полунорма пространства !!аз[ — и, и] на множестве непрерывных функций являезся нормой (см. пример 9 в п.
57.4), поэтому 7 (х) =-О для всех хе-:[ — и, и]. Следствие вытекает из того, что разность двух функций, у которых одинаковые коэффициенты Фурье, имеет коэффициенты Фурье, равные нулю и потому является тождественным нулем.
Д Замечание 1. Теоремы 12 и 13 были сформулированы применительно к тригонометрической системе функций. Подобные утверждения справедливы, конечно, для любой полной ортогонзльиой системы функций, т. е. системы, образующей ортогональиый базис в пространстве Ел[а, Ь]. В частности, аналогичные утверждения справедливы для разложений функций по полиномам Лежандра (см.
пример 2 в п. 58.3) в пространстве Ез[ — 1, 1]. Например, если все коэффициенты Фурье непрерывной на отрезке [ — 1, 1] функции по системе полиномов Лежандра равны нулю, то эта функция равна нулю во всех точках отрезка [ — 1, 1]. Доказательства подобных утверждений могут быть проведены по той же схеме, что и выше. Замечание 2. Основным и существенным фактом, позволившим доказать теорему 12, является полнота тригонометрической системы в пространстве Ел[ в п,п], которая в свою очередь основывается на возможности сколь угодно точно в смысле среднего квадратичного приблизить на отрезке [ — и, и] всякую функцию с интегрируемым на этом отрезке квадратом непрерывной, периода 2п, функцией (см.
лемму 16 из п, 57.10). Использование же общей теории о разложении по ортогональным системам в гильбертовом пространстве носило по существу лишь терминологический характер и позволило более кратко и наглядно проводить и записывать рассуждения. В качестве примера понятия, которое весьма удобно при рассмотрении изучаемых вопросов, отметим прежде всего понятие линейного нормированного пространства (в частности, предгильбертова пространства), а значит, и понятие нормы.
Введение этих понятий позволило изложить теорию разложений по ортонормированным системам вне зависимости от их конкретного вида. Эти понятия имеют разнообразное применение и в различных других разделах математики. В заключение, используя полученные результаты, докажем еще одну теорему. Теорема 14. Пусть функция 1 непрерывна на отрезке [ — п, и]. Если ее ряд Фурье сходится равномерно на отрезке [ — и, и], пю его сумма равна функции ). 80! ба7'. Теорела Плоншереля Доказательство. Пусть 7(х) - + Ъ а„созих+б„з(пих П =! ОЭ 5 (х) =--~' + ~~ а„соз их+ 5„з)них а =! — сумма ряда Фурье функции 7. Прежде всего функция 5(х), как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функции, также непрерывна.
Далее, в силу теоремы ! п. 55,! коэффвциентами Фурье функции 5(х) являются числа п„а„, Ь„, и= 1, 2, .... Таким образом, две непрерывные на отрезке ! — и, и! функции 7 н Е имеют одинаковые коэффициенты Фурье, и поэтому в силу сказанного выше они совпадают во всех точках отрезка ! — и, и]: 7(х) =5(х), — п~х~п. ( ) 88.7*. ПРЕОБРЛЗОВЛНИЕ ФУРЬЕ ИНТЕГРИРУЕМЫХ В КВАДРАТЕ ФУНКЦИЙ. ТЕОРЕМЛ ПЯЛНШЕРЕЛЯ Если квадрат функции 7 интегрируем на всей действительной оси, то сама функция 7, вообще говоря, не абсолютно интегрируема на всей оси, как это видно на примере функции 1(х) = Поэтому на основании теории преобразования Фурье, изложенной в й 56, нельзя утверждать существование преобразования Фурье для функций из пространства Ь. ( — оо, оо).
Покажем, что в этом случае можно определить преобразование Фурье в некотором обобщенном смысле. Предварительно остановимся на определении пространства !.з( — со, + со) для комплекснозначных функций. Пусть 7 и д — две непрерывные функции с интегрируемым квадратом модуля на всей оси и принимающие, вообще говоря, комплексные значения. Их скалярное произведение определяется в этом случае по формуле (7, д) = ~ ) (х) О (х) ггх. Легко проверяется, что все свойства, которыми должно обладать скалярное произведение в комплексном линейном пространстве (см. п. 57.7), в этом случае выполняются. Э аа.
Ортонормированные оивиом и разложении но ним Пространство А,( — со, со), которое мы будем рассматривать в этом пункте, определим как пополнение предгильбертова пространства непрерывных и с интегрируемым на всей оси квадратом модуля комплекснозначных функций с указанным скалярным произведением (ср. с теоремой 6 в и. 57.10). Через Щ в настоящем параграфе обозначается норма элемента ~~ Ед( — со, +со)д т. е. М(= У"К О, а также н полунорма / +оо 171=)/ ~ 7(х) 7(х) е(х для функций 7 с интегрируемым на всей осн квадратом модуля. Выше для случая действительных функций отмечалось без доказательства (см.
и. 57.10), что каждый элемент пространства Ед можно рассматривать как класс функций. Аналогичный факт справедлив и для пространства Ед комплекснозначных функций, причем полунорма 17"1 функций 7' совпадает с нормой элемента пространства й„ которому принадлежит (в смысле, аналогичном указанному в п. 5?.10) функция 7'. Мы не будем останавливаться на доказательстве этих фактов н не будем их использовать в дальнейшем. Комплекснозначную функцию )(х)=ер(х)+(ф(х), где ~р(х) и )р(х) — действительные функции, — со =х(+со, назовем финитной ступенчатой функцией, если финитными ступенчатыми функциями являются функции <р (х) и ф(х) (см.
определение 7 в п.55.2). В дальнейшем для краткости финитные ступенчатые функции будем называть просто ступенчатыми функциями. Любые две ступенчатые функции ~р(х) и др(х) можно представить в виде конечной линейной комбинации одних и тех же одноступенчатык функций (см. п. 55.2), принимающих значения 1 и О. Для этого достаточно взять всевозможные непустые пересечения полунитервалов постоянства функций ~р(х) и 'ф(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
