kudryavtsev2a (947416), страница 97

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 97)

Вычисляя производную функции а (1) согласно классическому определению производной из (59.10) получим ~ оо при(-0, (59.12) 1 0 при 1ФО. На основании этого было бы неверно утверждать, что 6'(1) явля- ется дельта-функцией, так как одной лишь формулой (59.4» функция 6(1) не определяется, поскольку даже физически ясно, что только из этой формулы не может следовать, что сила 6(1) сообщает рассматриваемому телу именно единичное количество движения. Однако, удобно положить, по определению в' (1) = 6 (1). Это помимо равенства (59.12) оправдывается тем, что в этом случае сохраняется основная формула интегрального исчисления, восстанавливающая функцию по ее производной — формула 69.д Общие сооброхения Ньютона — Лейбница.

Действительно, теперь формула (59.11) может быть переписана в виде 6(т)= ~ 8'(1)сУ, — оэ<т<-)-со (отметим, что В ( — сс) = О). Заметим, что мы не дали четкого математического определения самой функции 6(1) как функции точки (выше отмечалось, что формула (59.4) ие является таким определением); это вообще невозможно сделать, так как дельта-функция является понятием другой природы. Мы же определили нс функцию б(г), а «интеграл» (59.5).

Это не случайно. Характерным для многих задач физики является то обстоятельство, что вводимые для описания того нли иного объекта функции имеют смысл лишь постольку, поскольку непосредственный физический смысл имеют некоторые интегралы от этих функций. Обобщенные функции и возникают как некоторое обобщение семейств интегралов от произведения двух функций, одна из которых фиксирована, а другая может выбираться произвольно из некоторой совокупности.

Итак, нами определено новое понятие — понятие интеграла от дельта-функции (и даже более общее понятие интеграла от произведения непрерывной функции на дельта- функцию). Это не обычный интеграл, т. е. не предел интегральных сумм, а предел соответствующих интегралов, или, образно выражаясь, «предел пределов интегральных сумм». Иначе говоря, для определения +сс интеграла ~ б(х))(х)дх надо к предельному переходу, дающему + СО значение интеграла ~ б, (х) ~(х) пх, добавить еще один предельный переход при е-».0. Здесь наблюдается своеобразная аналогия с определением несобственного интеграла: исходя из известного определения интеграла, мы с помощью дополнительного предельного перехода получаем новое математическое понятие.

Конечно, дополнительные предельные переходы в этих случаях различны, это приводит к различным понятиям. Прн новом определении символа (59.5) мы находимся в круге привычных нам математических определений, расширяющих запас понятий, с которыми имели дело раньше; нам удалось выявить одно интересное свойство дельта-функции 6(() (см. (59.9)): она ставит в соответствие каждой непрерывной функции )(1) число ~(0), т. е. дельта-функцию можно рассматривать как функцию, определенную на множестве всех непрерывных функций, Отображения, области определения которых представляют собой некоторыемножествафункций, называются функпионш«ами.

Дельта-функ- Э бэ. Обобщенные функции ция является одним нз простейших примеров функционалов. Обобщенными функциями, которые упоминались в начале этого пункта, называются функцноналы определенного вида (см. п. 59.2). Как мы видели, свойства дельта-функции определяются свойствамн функций бс(х). Если взять в= —, п.=1,2,..., то получится 1 а последовательность функций, которая, как и аналогичные ей в определенном смысле, называется дельта-образной последователь.

пастью (точное определение дельта-образных последовательностей будет дано ниже: см. упражнение 6 в п. 59.3). Всякая дельта- образная последовательность может служить для определения свойства (59.9) дельта-функцин. Следует отметить, что мы уже встречались раньше с дельта-образными' последовательностями: примером такой последовательности является последовательность ядер Фейера Ф„(п), а=1,2,.... Однако мы не акцентировали внимания на последовательностях такого рода, поскольку оии, не являясь самостоятельным объектом изучения, играли вспомогательную роль.

Теперь мы перейдем к систематическому изучению обобщенных функций. Отдельные обобщенные функции возникли первоначально в работах!!. Дирака и других физиков в качестве символического способа описания определенных физических явлений. Для использования этих понятий в качестве метода теоретического исследования возникла необходимость создания теории обобщенных функций, что и было сделано.

Теория обобщенных функций является весьма полезным математическим аппаратом. С ее помощью удалось решить ряд задач, не поддававшихся решению старымн методами. Ныне обобщенны" функции широко применяются как в прикладных, так и в чисто математических исследованиях. В следующих пунктах этого параграфа мы изложим основы общей теории обобщенных функций, построенной С. Л. Соболевым и Л, Шварцем'.

89.2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАИСТВА СО СХОДИМОСТЬЮ. ФУНКЦИОНАЛЫ. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение 1. 11 уста Х вЂ” некоторое м ожество и пусть в совокупности всгх последовательностей (х„) его цементов, х„~ Х, выделен некоторый класс последовательностей, названных сходящимися, и каждой схоЪицейся пас гедователвности поставлен в соответствие элемент х ~ Х, называемый ее пределом.

Если при этом вынолняются три условия: 1) каждая последовательность элементов множества Х люжет иметь нг более одного предела; С Л Соболев (рол. в !998 г.) — советский математик; Л. Шварц (род. а !9!8 г.) — фравцуасквй математик. 517 ао.2. Линейные пространства со сходилостам 2) всякая последовательность вида (х, х, х, ..., х, ...) является сходящейся, и ее пределом является элемент х; 3) всякая подпоследовательность сходящейся последовательности также является сходящейся и имеет тот же предел, что и вся последовательность, то множество Х называется пространством со сходимостью. Условия 1, 2 н 3 называются аксиомами Фронте*).

Если х является пределом последовательности (х„), то, как обычно, иишется х=1(щх„. л се Определение 2. Линейное пространство Х называется линейным пространством со сходимостью, если оно является пространством со сходимостью, относительно которой операции сложения элементов пространства и умножения их на число являются непрерывными. Это означает, что для любых сходящихся последовательностей (х„) и (у„) элементов из Х, имеющих своими пределами соответственно хяХ н уяХ, и любых чисел Л и р последовательность (Лх„+ру„) также сходится и 1пп (Лх„+ ру„) Лх + ру. Кроме того, если (Л„)-числовая последовательность и 11щ Л„=Л, л ее то 1пп Л„х=Лх для любого хан Х.

л со Примером линейных пространств со сходимостью являются нормированные линейные пространства; однако существуют линейные пространства со сходимостью, в которых нельзя ввести норму, порождающую заданную сходимость последовательностей. Определение 3. Отображения линейного простр нства Х во множество действительных чисел й (или во множество комплексных чисел С) называются функционалами, определенными на этом пространстве или функционалами над этим пространством. Значение функционала ) в пючке х линейного пространства Х обозначается через (7, х), т. е. так же как скалярное произведение элементов 1 и х в линейном пространстве Х со скалярным произведением. Это обозначение оправдывается, в частности, тем, что скалярное произведение (у, х) при фиксированном элементе у является функционалом, определенным на указанном пространстве Х, Определение 4.

Пусть Х вЂ” линейное пространство. Функционал 7", определенный на этом пространстве, называется линейным (пючнее, линейным однородным), если для любых элементов х еи Х, у я Х и любых чисел Л, р выполняется условие (Г, Лх+)ау) =Л(), х)+р(7, у). " М. Ф р еше (1878 — 1973) — Француаский математик. у бу. Обобщенные функции 518 Определение б. Функционал [, определенный на линейном пространстве Х со сходимостью, называется непрерывным, если для любой сходящейся последовательности х„~ Х, Ит хо ллх, выполнял со ется условие 1ип (~, х„) Д, х). л со Функционалы, как и всякие числовые функции, можно складывать, умножать друг'на друга, в частности на число. Например, если [ и у — функционалы, то значение функционала а1'+1)й (а и 6 — числа) в точке х~Х определяется по формуле (а~+Ц, х) =аД, х)+(3(д, х).

Лемма 1. Линейные непрерывные функционалы образуют линейное пространство. Доказательство. Пусть г и у — линейные функционалы, а н [) — числа. Покажем, что а[+Ц вЂ” также линейный функционал: (1+В Лх+ру)=а([, Лх+ру)+р(й, Лх+ру)лл =а[Л(1. х)+ рИ. уй+ИЛ(й. х)+р(й уН- =Л[аД, х)+1) (а, х)]+р[а(1, у)+р(а, у)1= =Л(с4+[»д, х)+)г(а[+[)й, у), т.

е. а[+ ~д — линейный функционал. Пусть теперь ( и д-непрерывные функционалы. Покажем, что тогда и а[+~)й — также непрерывный функционал. Пусть 1ип хл=х. Тогда л о» )ип (а1+[)у, хл) = 1ип [а([, х„)+р(д, х„))= л о» л со =а 1(гп Д, х„)+Р1ип (у, хл)=а(1, х)+~(д, х)=(а[+ру, х). Таким образом, во множестве линейных непрерывных функционалов естественным образом определены операции их сложения н умножения на число. Выполнение для этих операций аксиом линейного пространства проверяется безо всякого труда. [ [ В линейном пространстве линейных непрерывных функционалов пространства Х понятие сходимости последовательностей определяется следующим образом.

Определение 6. Последовательность функционалов [„, и = 1,. 2, ..., называется сходящейся к функционалу 1, если последовательность значений функционалов ~, сходится в каждой точке хен Х к значению в ней функи,ионина ~, иначе говоря, если для любого влемента хек Х числовая последовательность Я„, х)) сходится к числу Д, х).

Б19 бу.й. Линейные пространства со сходмиостью Таким образом, утверждение 1)т 7„=1 равносильно утвер- 6 Со ждению 11щ (1ю х)=(7', х) для всех хан Х. При таком определении сходимости функционалов операции их сложения и умножения на число непрерывны (это непосредственно следует из линейности функционалов и из свойств пределов числовых последовательностей), и, следовательно, если ввести понятие сходимости функционалов согласно определению б, то' будет справедливым следующее утверждение, которое мы сформулируем в виде отдельной леммы. Лемма 2.

Характеристики

Список файлов книги