kudryavtsev2a (947416), страница 100
Текст из файла (страница 100)
уп р агк не н ни 10. Пусть 1 н у — обобщенные фупкцнн, д н И вЂ” числа Лаказатгн что (и/+1ее) =М'+М'. 1!. Локазать, что ( — +Х) О (х) е-ах=6(х). /4 ~лх 1 а (х) мп юх 12. Локазать, что ~ — - 1 юе) ~ лх' 1 е — прн 1х((— в 13. Если 6 (х)= то в пространстве обобщсннык е 0 прн 1х~.=- функций 6(х+ ') — 6( — ) 1пп бе (х) =6 (х,' н бе(х)= е о е Г й(х) прн х(хе, 14. Пусть 1(х) =~ ' где функции й(х) н )е(х) непре-' (1 (е(х) прн х~х„, рывно днфференцнрусиы н существуют пределы Л (х, н- 0).
Найти производную 5 (х) в пространстве 0'. 16. Пусть функцнп 1(х) непрерывно днфференцнруеыа на всей числовой осн. Найти пронзводную (Е()' в пространстве 1х. б9.4, Дифференцирование обобигениегх функций 1 16. Доказать, что в пространстве 11' справедлива с)ормула уг — =(1п )х))т х (см. упражнение 5). 17. Доказать, что в пространстве Р' справедливо равенство СО + СО Х сев их = — --+ и ~~~~ б (х — 2ел 2 л=! Указание: воспользоватьси Формулой (см. пример 3 в п. 56.4) ! яппи и — и — — 0( х( 2л. и 2 л= ! Лемма 5.
Пуспгь 7'„и= Р', 1 ея 0' и ))гпг )„= ~; тогда и 1ип 7"„'=)', (59.19) (59.20) т. е. для любой сходящейся в Р' последовапгельности обобщенных функций производная предельной функции равна пределу последовательности производных. Доказательство. Для любой функции фен 0 (7"', гр) — (~„', гр) = — [(7, гр') — ()л, ф')1-ьО прн и-+.оо, ибо ф'ен0. 1) Можно рассматривать и ряды обобщенных функций .'Уг исс л=.
! (59.21) где и„е-=0', и =1, 2„.... Сумма л ..= э'., ь=! называется частичной супной и-ео порядка (п=1, 2, ...) ряда (59.21). Ряд (59.21) называется сходящимся, если в 0' суп(ествует предел Иш ел =в. л=! Иобщенная функция з называется суммой ряда (59.21) прн.этом пишется з= ~ ил. У 59.
Обобщенные функции Лемма 6. Сходящийся ряд обобщенных функций можно почвенно диффер нцировать любое число риз: з1м = ~~ и'„', й=!, 2, .... н =.! Это следует из леммы 5. 59.5. ПРОСТРАНСТВО ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ Я И ПРОСТРАНСТВО ОБОБ1ЦЕННЫХ ФУНКЦИЙ Я' Обозначим через 5 множество всех бесконечно дифференцируемых на всей числовой оси комплекснозиачных функций, которые вместе со всеми своими производными стремятся к нулю при х — ~- со быстрее любой степени -. Иначе говоря, множество 5 1 х состоит из тгх н только тех бесконечно дифференцируемых функций ф, для которых при любых целых неотрицательных п и т выполняется условие (59.22) 11гп хнф' '(х) =О.
х еи Условие принадлежности функции ф к множеству 5 можно сформулировать и несколько иначе: бесконечно дифференцируемая функция ф принадлежит 5 тогда и только тогда, когда для любых целых неотрицательных и и т имеем зцр 1хнфои1(т)!=с (59.23) — со<ее+ > Действительно, если это так, то, заменяя в (59.23) и на п+1, получим ( х""ф'ы1 (х) ) ==- с„,'ь „„поэтому .и ~ы) (Х) ~ ени ы 1х1 откуда и следует (59.22).
Обратно, из (59.22) и нз ограниченности хнф1 (х) на любом отрезке следует (59.23). Очевидно, что множество 5 является линейным пространством. При этом, если ф ~ 5, то н любая производная функции ф принадлежит пространству 5. Определение 21. Последовательность функций ф„(х) ен 5, й = = 1, 2, ..., называется сходчщейся в 5 к функции ф(х) е= 5, если для всех целых неотрицательных п и т каждая последовательность х"фрн>(т), В=1, 2, ..., равномерно на всей оси сходится к функции хнф~"'(х).
Очевидно, что !1гп рь =ф в 5 тогда и только тогда„когда при л са любых целых неотрицательных и и т 11гп зир / х" (ф1ино (х) — фом (х)] ( = О. (59.24) Ь со — со «<+си бр.б. Пространство осн. функций 5 и простр. обоби4. функций 5' б31 Отметим, что если «ра-ьгр в 5, то для производных любого ПОрядКа гр~'"1-+.«р1"'> В 5, т=1, 2, .... ЛИНЕЙНОЕ ПрОСтраНСтВО 5 с введенной операцией предельного перехода является линейным пространством со сходимостью. Очевидно, что В ~ 5, в частности, последовательность функций «рь АР, й=1, 2, ..., сходящаяся в Р к функции «р, сходится к функции гр и в 5. Вместе с тем РФ5, ибо е — "'~5, но е-к*фР. Задача 42.
Доказать, что пространство 0 плотно в 5, т. е. что любая функция ф и 5 является пределом в 5 некоторой последовательности фуикций фащ0, й=1, 2, .... Определение 22. Линейный непрерывный функционал, определенный на пространстве 5, называется обобщенной функцией лгедленнога роста. Мнозсество всех таких функционалов называегпся пространством обобщенных функций лседленнога роста и обозначается 5'. Каждый функционал уен 5', рассматриваемый только на множестве Р, является обобщенной функцией, следовательно, элемент множества 5' можно интерпретировать как продолжение некоторого линейного непрерывного функционала с множества Р на 5 (см. п.
59.2). Например, функционал 6, определенный нами в п. 59.3 на пространстве Р формулой (6, ф) =«р(0), ф ~ Р, может быть продолжен с помощью той же формулы на пространство 5. Можно показать, что не всякая обобщенная функция из Р' продолжаема на 5, в этом смысле можно сказать, что 5' составляет строгую часть Р'. У п р а ж в сии е 18.
Доказать, что обобщенная фуикция, порожденная локально интегрируемой Функцией е«, ие продолжаема в злемеит простраиства 5'. Всякая локально интегрируемая функция у(х), для которой в некоторой окрестности оо справедлива оценка (59.25) ~7(х) ( ~ А (х!а (А и й — неотрицательные постоянные) а1, в частности любой многочлен, порождает функционал пространства Р, продолжаемый в линейный непрерывный функционал на 5. Он определяется формулой (у, гр) = ~ 1(х) ю (х) йх, ф вн 5. (59.25) «' Такие фуикции иазываются функциями медленного роста, откуда и термии «обобщенные функции медлеииого роста».
б32 а бу. Обобщенные функции Действительно, пз условий (59.22) и (59.25) следует, что 7(х))с 1 хф(х) — «О при х — «оз быстрее любой степени —, и, следовательно, интеграл (59.26) существует. Заметим еще, что всякая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция ((х) также порождает по формуле (59.26) линейный непрерывный функционал пад 3. Действительно, поскольку всякая функция ф~З ограничена, то в этом случае существование интеграла (59.26) следует нз неравенства ц-со +ОЭ ( ()(х)ф(х) )г(х = зпр )ф(х)( ( (~(х)(г(х. со -со < к (+со Уп.ражиения. 19.
Доказать, что функционал (59.26) аннеси я непре. рывеи на пространстве б (как в случае, когда функция ) иедленного роста на бесконечности, так и в случае, когда она абсолютно интегрируеиа на всей числовой оси). 1 М. Доказать, что обобщенная функция, он Р' (си. упражнение 8) к+В продолжаеыа в алеиент пространства 3'. Множество Я' образует линейное пространство со сходимостью, сопряженное с Я (см. п. 59.2). Поскольку для любой функции фенЗ будем иметь ф'я5, то для обобщенных функций пространства о', как и для обобщенных функций из О', можно определить производную (' по формуле (1" ф)= — Ч, ф'), фа=а. Таким образом, для любой обобщенной функции ге:-5' проз нзводная )' всегда существует и )' ен5'.
При этом на элементе ф ен ь) производные обоб;ценной функции (, рассматриваемые соответственно как производные в пространствах (.)' и Я', совпадают. Как и в случае пространства 0', в пространстве 5' производная от предела всегда сущ ствуег и равна пределу производных. Б9.а. пРеОБРА30ВАние ФуРье В пРОстРАнстВе 3 Каждая функция ф янЗ абсолютно интегрируема, Более того, если ф ~Я, то при любом А=1, 2, ... функция хоф(х) также абсолютно интегрнруема на всей числовой оси.
Действительно, поскольку для функции ф ен 3 выполняется условие (59.23), то (хаф(х) ! «'с„е, ха ( хоф (х) ) = ( ха "ф (х) ~ == сооя, о и потому - сь о+пью. о (59.27) Здесь справа стоит абсолютно интегрируемая на всей числовои осн функция, следовательно по признаку сравнения для несобственных иатегралов функция х'ф(х) такхсе абсолютно интегри- Жб. Преобразование Фурье в пространстве $ руема при всех й=0, 1, 2, .... Отсюда следует, что для функций гр еио существует классическое преобразование Фурье +СО гр=Р[гр]= = [ ег(х) е-г"Удх, рено, 1 2л,) а также обратное преобразование Фурье +ьь Р-'[р]==- '] рЫе'пуду, ср =З. )т 2л Класснчность преобразования Фурье здесь понимается в том смысле, что написанные интегралы являются обычными абсолютно сходящимися интегралами, а не интегралами в смысле главного значения (см.
п. 56.3). При этом на 5 справедливы формулы обращения для прямого и обратного преобразования Фурье (см, п. 66.6): Р[Р-'[ч]]=р, Р'[Р[р]]= р р -=~. (59.29) Отметим, что, например, вторая из этих формул в интегральной форме принимает внд +Оп Р 'Ы== р®е'"вг(у= р(х). )т 2л,) Теорема 1. Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье отображают азаггино однозначнос линейно и непрерывно пространство Я на себя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
