kudryavtsev2a (947416), страница 104

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 104)

е. вне области определения е е функции Г. Однако если )'(Ь) одного знака с !"", то хец:-(а, Ь). Рассмотрим подробно, как и для метода хорд, случай, когда !" )О, )" ~ О на [а, Ь'). В этом случае функция ) строго монотонно возрастает, следовательно, ! (Ь))0; кроме того, функция ) выпукла вниз на (а, Ь), следовательно, Ь (х) ()'(х) (см. и. 14.3). Если Г(хо)=0, а(хо(Ь, то Е,(хо) (О, но 1 (Ь) =~(Ь) ) О, следовательно, Хо< хх(Ь При этом )' (х,) ) е. (х!) = О. Применяя те же рассуждения к отрезку [а, хе1, получим точку х„такую, что Хо — — Х! — —,, Хо(Хо(Хо 1 (н,) )' !Хе) ' и, далее, (60.15) ) (нл) Следовательно, последовательность (х„) монотонна и ограничена, а потому сходится.

Пусть 1пп х„=с. Переходя к пределу л са в (60.15), получим ) (с) =О, т. е. последовательность (60.15) схо'дится к корню уравнения (60.9). 552 Э 60. Некоторые вовросы лрийлилееннык вычислений Когда )~'(х) (~т~О, а .-х<Ь, то тем же способом, что и в случае метода хорд, получаем оценку Подобным же образом разбираются и оставшиеся случаи различных комбинаций знаков первой и второй производных (рис.

237). к ч и те у'>п,унй або, ( 1 Рнс. 231 Дадим еще одну оценку скорости сходимости метода касательных, из которой будет хорошо видно достоинство этого метода. Пусть для функции 1 на рассматриваемом интервале выполняются неравенства ( ~' (х) ( ~ т ) О, ( Г (х) ( -= М, а < х < Ь. Разложим функцию ~ в окрестности точки х, по формуле Тейлора, например, с остаточным членом в форме Лагранжа 1(х)=Их„)+1 (х,)( — хл)+--Г(9(х — х,), где $=х„+8(х — хл), 0<0<!. Если 1(с)=0, то, подставляя х=с в написанную формулу, получим ) (хл)+1 (хл) (с — хл)+ — ~ ($) (с — хл)'=О.

Отсюда хл — С = — + —, (с — х,), 1(х ) /" Ф в Р (кл) 2Г (кл) или в силу формулы (60.15) , х,ы — с= —,- (с — х„) . ГЙ) е 2Р (кл) Следовательно, (Хлы — С ~ ~ 2— ( Хл — С~, откуда (хл.н с ) ~ ~2 ~ хл — с ~) в и= 1, 2, 3, 5ЦЗ. Ягггеуполлцик функций 553 Применяя последовательно зто неравенство, будем имстгп М /М г» вЂ” -(х„— с(( — )лв г — с)) ~ = ~( — ( хв а — с () ) «=-... ~ ~- — ~ Ь вЂ” с () Если выбрать первоначальное приближение Ь так, чтобы г?=" —— '"г М вЂ” - — !Ь вЂ” с) (1, то получим 2»и в )х,— с)(- — г)к, т.

е. скорость сходимости приближенных решений х„к корню х=с значительно превышает скорость убывания геометрической прогрессии со знаменателем по абсолютной величине меньшим единицы. Пример. Применим метод Ньютона для приближенного вы- числения корня й-ой степени из числа а)0, й — целое положи- тельное. В этом случае речь идет о приближенном решении уравнения хк — а=0, т.

е. формулу (60.15) следует применить к функции 1'(х) =хе — а. Имеем ?'(х) =йхк-г, и потому для последовательных прибли- женных значений х„корня у'х имеем рекуррентную формулу к" — а л хкы — — х„— —,, и или 1 Г и х„»г = -; ~(й — 1) х„+ — г~. В случае й=2 мы встречались с этой формулой в и. 3.9. 65.3. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУННЦНЙ Пусть на отрезке 1а, Ь1 задана функция 1 и пусть фиксированы и+'! значений аргумента хг, 1 =1, 2, ..., и+1: а хвоях,<... с.хвм(Ь. (60.16) Одна из простейших интерполяционных задач состоит в отыскании многочлена Р(х) не выше некоторой данной степени и, который при значениях аргумента х=хи г'=1, 2, ..., и+1, называемых узлами интергголяг)ии, принимает те же значения, что и данная функция, т.

е. имеют место равенства 1 (хг) = Р (хг), г = 1, 2, ., гг+! . (60.1?) Такой многочлен Р (х) называется ггннгергго,гнг1ггонныи нногонленои, интерполирующим функцию 1 в данных узлах интерполяции. 18 Кукрввцв» Л. д. г. " 554 Э Вц Некоторые ооорогы оробломелкых еычиглечоа (60.18) а,+ а х„,,+...+а„,х„"'„!=-)(х„,!). . Определитель, составленный из коэффициентов этой системы, стоящих в серных й строчках и первых й столбцах, й~ ш!и (т+1. и+ 1) (число строчек равно и+ 1, число столбцов т+ 1), является так называемым определителем В аиде рмон да, известным нз курса алгебры: ! х!...х! 1 х2 хя о — ! — И (ху — х!).

)Г (х!, ..., х,) =- ! ( ! гч ! ( х о — ! 1 хл...х!! В данном случае этот определитель не равен нулю, нбо все узлы интерполяции различны. Поэтому ранг матрицы коэффициентов системы (60.18) равен наименьшему из двух чисел т+1 и и+!. Если п) т, то система (60.18), вообще говоря, не имеет решения. Если п.==т, то решение системы (60.18) всегда существует, причем в случае п=т решение единственно, а прн п(т решений бесконечно много.

Таким образом, какие бы ни задать значения в (и+ 1)-м узлах (60.16)„всегда сущесп!вует и притом единственный многочлен сп!гиена не выиы чем и, принима>ощий в этих узлах заданные зничения. Для отыскания интер поляционного многочлена Р (х) можно решить систему (60.18). Однако можно найти его и другим, более коротким путем. Рассмотрим многочлен (к — к,)... (х — хь,) (х — х!,,) ... (х — х„„,) (х! — к,! ... (х; — х! д (х! — х! д...

(х; — х„, !) Очевидно, что Р;(х) — многочлеи степени и и что Р; (х!) =- 1, Р! (х;) = О, !'=1, 2, ..., и+1, 1=1, 2, ..., ! — 1, ю+1, ..., и+1. (60.19) Поэтому искомый интерполяционпый многочлен может быть записан в виде (60.20) != ! Лля того чтобы исследовать вопрос о существовании интерполяционного многочлена Р(х), удовлетворяюцего условиям (60.17), запишем его с неопргделеннымн коэффициентами ахз ! = О, 1, ..., т; Р (х) = а,-! а,х+а,х'+...+а,„х'" и подставим его в систему (60.17). Получим систему нз (и+1)-го линейного уравнения с т+1 неизвестными ао, а„..., а: по+а,х!+...+а„х, =("(х!) бцЗ.И»герполлция фу»»иий Действительно, написанное выражение является многочленом степени не выше п и в силу (60.19) удовлетворяет условиям (60.17).

Интерполяционный многочлен, записанный в виде (60.20), назЬ)- вается интерполяционным многочленом Лагранжа. Исследуем теперь разность между функцией и интерполяционным многочленом )т (х) = )'(х) — Р (х), ф(к+1) (Г) /(»11) (1) (н+ 1)) ' в(») (60.22) Далее, функция ф(() обращается в ноль в н+2 точках х, х„ х„..., х„+,', поэтому в силу теоремы Рояля ее производная обращается в ноль по крайней мере в и+1 точке отрезка [а, Ь1, вторая производная — в и точках н т.

д. По индукции получим, что (и+ 1)-я производная функции ф обращается по крайней мере один раз в ноль внутри отрезка [а, Ь!. Пусть ф("+1)(ь) = О, а( <. ь Ь„ тогда из (60.22) получим Я (х) — ( ) 1»11(~) (п+ 1)! пли, подробнее, !((л) =(" »") (»»') "'(" »'"') [(к+1) (ь) а- х-= Ь а<.ь <.Ь (и+ 1)! Отсюда следует оценка остаточного члена [)Г(Х)) =-, ГааХ ((Х вЂ” Х1)(Х вЂ” Х )...

(Х вЂ” Х„+ )( Зцр )Г(кг1) (Х),'. ("+ ) а<к<1 а<к<1 Заметим, что, вообще говоря, даже для аналитических на отрезке [а, Ь! функций остаточный член интерполяции не стремится к нулю на отрезке [а, Ь! при и- со, т. е. интерполяцнон- 18* называемую остаточнв1м членом интерполяции. Предположим, что функция (' н+ 1 раз дифференцируема на отрезке [а, Ь!. Тогда этим же свойством обладает и остаток Я(х), причем Я(к-1) (х) =1(к-1) (х), а == х < Ь, (60.21) ибо Р( "(х) — = О. Положим гй(х) =(х — х1)(х — х,)... (х — х„„), зафиксируем х е- =[а„Ь! и рассмотрим вспомогательную функцию ф(1) =)г(() — — „) о) ((), а=(=-Ь. Я (х) Функция ф (1), очевидно, также п+ 1 раз днфференцируема на отрезке [а, Ь), причем из (60,21) и того, что ыок+')(!)=(и+1)1, имеем 556 У 60.

Некоторые вопросы нрсблн»ееннегх вычисление иые полииомы не сходятся к самой функции. Построение соответствующих примеров достаточно громоздко, поэтому мы не будем на этом останавливаться. 66.4. ННАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ Рассмотрим теперь некоторые способы приближенного интегрирования функций. Формулы для приближенных значений интегралов называются квадратурными формулаии. Пусть на отрезке (а, Ь] задана функция Е Разобьелг отрезок (а, Ь] на п равных частей точками хы й=1, 2, ..., п — 1: 6 — а а=хе(хг(... =х„, -.х,=Ь; х,— хе л= —, й=1, 2, ..., п.

Характеристики

Список файлов книги