kudryavtsev2a (947416), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Действительно, пусть|ен 5', г„сна', и=1, 2, ..., 1!щг„=г и, следовательно, для любого р ен Я справедливо равенство !пп ([„, ср) =(1, ср). Тогда н со !1щ (Р[Я, <о) = 1пп ()„Р[ср]) =(1, Р[ер]) ==(Р[!], ф). Аналогично доказывается, что и Р-' непрерывно взаимно однозначно отображает Я' па Я'. [] П р и м е р ы. Найдем Р [6] = 6. Имеем +ьь (б, ср)=(6, ср)=ф(0)= — ' «р(х)е'кедх)у е= 2л .> = = ] ее (х) е(х = (=, <р), ф ен 5, поэтому Р[6]== и, следовательно, Р-'[Ц=-]/2лб (заметим, )к2л что обратное классическое преобразование Фурье Р-'[Ц, так же как и прямое Р [Ц, не существуют). С помощью интегралов (59.33) и (59.34) эти формулы можно переписать в виде +со +со 6(х)еевич=1, — ~ е'кедх=б(у).
1 Подобным же образом находится и обратное преобразование Фурье 6-функции: Р [6]- —, — Р[6] )/2л отсюда Р[Ц=Р-'[1]=]/2лб. Используя способ записи, основанный на равенствах (59.33) и (59.34), эти формулы можно переписать в виде +со +ьь — г'кейх=б(у), ~ 6(х)е'кудх=1. 2л б 59. Обобгцеллые функции Вычислим, далее, преобразование Фурье производной обобщенной функции и производную от преобразования Фурье.
Предварительно нам придется ввести понятие произведения обобщенной функции ~555' на обычную бесконечно дифференцируемую функцию ф(х), обладающую тем свойством, что для любой ее производной фл) (х) существуют постоянные ~„) 0 и а„» О, и = =- О, 1, ..., такие, что для всех х справедливо неравенство )фгл)(х),'([)„(1+(х))", а=о, 1„2,,...*) (5936) Заметим, что все многочлены удовлетворяют этому условию. Если функция ф — типа (59.36) и срано, то т(крево.
Если функция ) локально суммируема и удовлетворяет условию (59.25), а функция ф — условию (59.36)„то ф) также удовлетворяет условию (59.25) и (1, т)чр) = $ 1(х)ф(х)ф(х) дх=(ф, гр). Пусть ф удовлетворяет условию (59.36), а 1ен5'. Определим теперь функционал на Я, равный произведению ф), формулой ('И гР) = (1 фгР) Легко проверить, что ф) ен5' пл', т.
е. что ф) является линей- ным непрерывным функционалом, определенным иа пространстве о. У и р а ж н е н и е 2). Пусть функция ф= 9 (х) удовлетворяет условию (59.35), а обобщенная функция ) я 3'. Доказать, что ф) е 3'. Докажем в заключение формулы~) Р [ил)] — ($Х)л РЩ (59.37) (пР~п) Щ Р [хлД 1 ~ Я' (59. 38) Имеем (см. п. 56.8): (Р [[1п)] гр) ([(п) Р [<р]) ( 1)л (1 Р<пз [гр]) =( — 1)л(1, —., Р[хпгр])=за(РЩ, хпгр)=(((х)пРЩ, ф), <р 5=8, Формула (59.37) доказана. Докажем (59.38) (см. п.
56.10): (Р~п] Щ 1) ( 1)п (Р Щ ~п~) ( 1)п (т Р [гр~л)])— =( — 1)л(1, (зх)пР[<р])= —,, (х"1, Р[ф])=[-,:„-Р[х")], гр). Ц В силу этого условия (при п=в) можно рассматривать ф(х) как обобщенную функцию пространства 5' (см. (59.25)). Затруднения прн опоеделеннн произведения обобщенных функций связаны с тем, что произведение линейных функционалов в обычном смысле нак произведение фуикцвй (т. е. как произведение значений сомножителей в каждой точке) не является линейным функционалом, бу.7, Преобразование Фурье обобщенна~к функций 04) Пример, Найдем преобразование Фурье функции )'(х)=х: Р [х) =- Р [х ! ) = (Р' [1) = 1 )/2п б'.
У ар а ж пение 22. Найти преобразование Фурье ыногочаена. При вычислении преобразования Фурье обобщенных функций иногда удобно выбрать последовательность обычных функций стремящихся в пространстве 3' к заданной (обобщенной) функции, найти преобразование Фурье членов этой последовательности, а затем вычислить искомое преобразование Фурье заданной функции с помощью предельного перехода, используя непрерывность преобразования Фурье. Так, например, для того чтобы вычислить преобразование Фурье Р[9) функции Хевисайда 9(х), найдем сначала преобразование Фурье функции 0(к)е-'" (1:ь 0). +ьь р е-хуио~ !+ьь Р[0(к)е-'") == ) е- имв'ь(к=в р 2и ' 1 У2н(г-1-)у)!о — (59.39) У 2н0+)у) )' 2н(у — и) Покажем теперь, что в 5' 1(гп 9(х)е-"=9(х) (59АО) ь -ьо Действительно, для каждой функции ф ~ 3 и любого числа А имеем: 1(0 (х), ф (х)) — (9 (х) е-ех, ф (х)) ( = ) (1 — е-'"') ф (х) ь(х:= о ~~) (! е-ех)ф(х)ь(х1+1 $ (! е-хх)ф(х)ь(х !о 1 1 А (59.41) Зафиксируем функцию ф ен Я и какое-либо число е-»О.
В силу абсолютной интегрируемости функции ф существует число А ~0, такое, что +вэ ) 1ф(х) (ь(х С вЂ”; А тогда (1 — е-") ~ 1ф (х) ! ь(х с о Выберем теперь (о 0 так, чтобы при 0((<(о было справедливо неравенство а 69. Обобщенные функции и, следовательно, Тогда при Он 1 -Цо из (59.41), (59А2) и (59.43) получим 1(6 (х), ср (х)) — (О (х) е-", ~р (х)) ~ ~ — + — = е, (59,44) г 16 (х)1= — = —.. Р'2и И вЂ” 16 Упражиеиие 23. Найти преобразование Фурье функций хаа(х), к.= = 1, 2 ....
! ~ (1 — и-'")~р(х)т(х ( (1 — е-14) ~ !~р(х)(т(хс: —Ђ . (59.43) д Формула (59.40) доказана. Б силу непрерывности преобразования Фурье 11пт Р 16 (х) а-'"1 = Р [О (хф т +о отсюда и из (59.39) имеем Е(6(х))= — = 1ип —., 1 Р 2и1 +оа — П' причем из (59.44) следует, что предел, стоящий в правой части, существует (в пространстве 5'), он обычно обозначается —,. (см, упражнение 8). Таким образом, ДОБАВЛЕНИЕ $60. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ 69.!. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ И ИНТЕГРАЛОВ Для вычисления значений функций очень удобно пользоваться формулой или рядом Тейлора.
Поясним это на примерах. !. Вычисление значения синуса. Формула Тейлора для функции э!пх имеет внд ъ-! хх!-1 эшх= У ( — 1)в-т 2А ! +г„(х), где х'л+~ г„ (х) = ( — 1)" з!и!х"~!1 Ох, 0 ( 0 <- 1 (2л+1!! (мы взяли остаточный член в форме Лагранжа), Поэтому 1х Р"+х (2л+ 1)1 (60.1) / и !хл+1 !2л+1)! '!9/ ~ ИИ (60.3) При и=1 это неравенство не вь!полняется: 1 /л~х 1 1 1 1 3! ! 9/ ~ 6 Зз = 1Б2 104' но уже при и=2 оно выполняется: Пусть требуется найти э!и 20' с точностью до 10-э. В раднаиной мере 20' соответствует -"-, поэтому выберем номер л так, чтобы 9' !гл ~-.) !< — ': (60.2) тогда значение многочлена Тейлора порядка л в точке х= — и 9 даст нам искомое приближение э!и 20'. В силу неравенства (60.1) для выполнения условия (60.2) достаточно„чтобы выполнялось нера- венство 644 б 60.
!!екоторые вопросы лриблизиеллах вззчислелий Поэтому зйп 20' с точностью до 10-' находится по формуле и ! тп!зл1 к)п 20' 9 6 !91' (60.4) Беря значение ц из таблиц с точностью до 10-', подставляя в формулу (60.4), произведя указанные там действия и округляя результат с точностью до 10-з, получим искомое приближение з1п20': к)п 20' ж 0,343 **1, При вычислении значений синуса можно воспользоваться не формулой, а рядом Тейлора, который для действительного аргумента является зпакочередую.цимся и потому допускает простую оценку остатка: он не превышает по абсолютной величине абсолютной величины первого чл на остатка (см. п. 35 9).
Это дает, естественно, тот же результат, что и выше, так как приводит к оценке (60.3), которую ыы получили из других соображений. 2, Вычисление значений натуральных логарифмов. Ряд Тейлора для логарифма 1п(1+х) = ~ ( — 1)'"' — „, — 1:х=1, (60.5) л =-! может быть непосредственно использован лишь для вычисления логарифмов чисел, не превышающих двух. Однако из ряда (60.5) можно получить другие разложения, позволяющие вычислить логарифмы любых чисел. Заменяя в (60.5) х на — х и вычитая получившийся ряд из (60.5), получим л=- О (60.6) Когда х изменяется от — 1 до 1, то — принимает все поло!+х 1 — х жительные значения. Поэтому формула (60.6) может быть использована'для вычисления логарифмов любых чисел.
Естественно, возникает вопрос о том, сколько надо взять членов в ряде (60.6), л> Знаком ~ обозначается приближенное равенство с укаэанной степенью точности, лю Эаметнм, что в нашем случае легко устанавливается н более сильное /я! 1 неРавенство гз 1 9 1( З 1а~, а при Указанном выбоРе числа знаков л ошибка прн вычислении правой части формулы (60.4) во всяком случаечы будет пре- 2 вышать — 1О-з, поэтому суммарная ошибка н будет не больше 19-з. б0./. Прииенение формулы Тейлора чтобы получить логарифм числа с заданной точностью.
Для этого надо оценить остаток ряда (60,6). Имеем 2 ~х,""" (2а-)-1) (1 — хе) ' (х (( 1. (60.7) Применим эту оценку для вычисления 1п2 с точностью 10.*. Решая уравнение =2, 1 — х 1 1 находим х= —. Полагая в (60.6) х=, находим =3 з,ье (2а+1) зы' (60.8) Оценка же (60.7) в этом случае дает ~г I )1( 1 н(3)) (2а+1)3'нц 1 4(2а+1) Зы 1 1 —.. 9 Отсюда при и= 3 имеем Поэтому для вычисления 1п2 с точностью до 10 ' достаточно взять первые три члена ряда (60.8): )п2 '3~ +я+ 3 3) 0,693. При более грубых вычислениях значений функции с помощью формулы Тейлора Т(х) =1(хо)+)" (х,) (х — хе)+...+) ( ") (х — хе)н+г„(х) иначе говоря, заменить приращение функции ее дифференциалом Ау=7(х) — У(хе) =/'(х,) (х — х.) =Г (х,) Ьх, где Лх=х — хе.
Формула Тейлора позволяет приближенно вычислять и значения определенных интегралов. Рассмотрим один пример такого рода. часто бывает достаточно ограничиться лишь ее линейной частью, т. е. первыми двумя членами 1(х) =) (хе)+1' (х,) (х — х,), Э 60. Некоторые вопросы приближенных вычисления 3.
Вычисление с точностью до 0,0001 интеграла 1 о Напишем для подынтегральиой функции формулу Тейлора. Для этого воспользуемся известной нам формулой Тейлора для функции з(пх (см. (60.1)), тогда получим и «=1 поэтому 1 х Лы (2я — 1)1 3 а=! о о В силу оценки (60.1) 1 ! 1 '— "" бх =- ~' '"'"Н (х-, ' ~ ха ~Ь=, о х х (2л+1)1 (2л+1)! (2л-1- 1) ' о о Поскольку при п=3 1 ! ! ! (хл+! )! (2л+ 1) 7! 7 35 280 3 то с точностью до 0,0001 имеем 1 и б — е(х ~ е(х — -- ~ хае(х+ — - ~ хее(х= 1 — — + — 0,9961*1. д д о Отметим, что на практике для приближенного вычисления интегралсв применять 1)ормулу Тейлора обычно оказывается нецелесообразным, поскольку в нее входят производные заданной функции и их вычисление приводит к дополнительному накоплению ошибок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
