kudryavtsev2a (947416), страница 98

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 98)

Линейные непрерывные функционалы, определенные на пространстве со сходимостью, также образуют линейное пространство со сходимостью. Определение 7. Линейное пространство со сходимостью, элементами которого являются линейные непрерывные'функционалы, определенные на пространстве Х, называется пространством сопряженным Х. Пусть Х и г' — линейные пространства со сходимостью, причем каждый элемент пространства Х является элементом пространства У и пусть всякая последовательность х„ ен Х, и = 1, 2, ..., сходящаяся в Х к элементу х, сходится к х и в У.

В этом случае будем писать Х< У. Определение й. Говорят, что линейный непрерывный функционал у, определенный на пространстве Х ~ )', продолжаем на пространство У в линейный непрерывный функционал, если суи(ествует такой линейный непрерывный функцион л Р, определенный на пространстве У, что (Р, х)=(7, х) для всех х АХ (т. е. Р = =/ на т'). В этом случае функционал Р называется продолжением функционала 1. Упражнен не 1..'!усть Х и т' — линейные пространства со скодимостью. доказать, что если Х С, У и множество Х плотно в пространстве 1' (т.

е. каждый элемент из пространства У является пределом в этом пространстве последовательности элементов из Х1, то всякий лннейный непрерывный функционал пространства Х, продолжаемый з линейный непрерывный функционал пространства У, продолжаем единственныч образом. Как и для отображений любых линейных пространств, для пространств со сходимостью имеет смысл понятие линейного отображения (линейного оператора) одного пространства со сходимостью в другое такое же пространство (см.

определение 17 в и. 57.2). Введем еще понятие непрерывного отображения одного линейного пространства со сходимостью в другое. Определение 9. (lусть Хз и Х,— два линейных пространспиа со сходимостью. Отображение Ф пространспюа Х, в Х, (в этом случае отображение называется также и оператором) называется У б9. Обоб!ценные функции 620 непрерывным в точке хе ен Х„если, какова бы ни была последовательность х„~ Х„а= 1, 2, ..., сходящаяся в пространстве Х, к точке х„последовательность Ф(х„) ыХО п=1, 2, ..., сходится в Х, к элементу Ф (х,). Иначе говоря, отображение Ф является непрерывным в точке х„если из !пп Х„=х, следует, что !пп Ф(х„) =Ф(хь). к с» к о» Лемма 3.

Если линейное отображение Ф линейного пространства со сходимостью Х, в линейное пространство со сходимостью Хь непрерывно в нуле пространства Х„то оно непрерывно и всюду' в Х,. Доказательство. Пусть хьен Х и !!ш х,=х,; тогда 1пп (х„— х,)=0. В силу непрерывности отображения Ф в нуле 1(т Ф(х„— хь)=0. Поскольку отображение Ф линейно, то Ф (х„— хь) = Ф (х„) — Ф (х,) и, следовательно, 1пп 1Ф (х„) — Ф (хе)] О, откуда ! пп Ф (х,) = Ф (х,). Таким образом, отображение Ф непрерывно в каждой точке хесе ~х!. П Определение 1О. Отображение Ф линейного пространства со сходимостью Хе в линейное пространство со сходимостью Хк называется непрерывным на Х„если оно непрерывно в каждой точке пространства Х,.

Для всякого линейного пространства Х со сходимостью имеют смысл понятие ряда Я и„, и„си Х, о=1, 2, ..., сходящегося к=! ряда и его суммы. Зги понятия вводятся аналогично случаю линейных нормированных пространств. Это возможно, поскольку в соответствующих определениях из свойств нормы используется лишь то, что во всяком нормированном пространстве определено понятие сходящейся последовательности. Примеры линейных и непрерывных отображений пространств со сходимостью будут даны в п. 59.6 и в п. 59.7. зв.з. ОИРЕделение ОБОБщенных ФунКННА.

ПРОСТРАНСТВА 0 И 0' Определим прежде всего основное для нас линейное пространство функций О. Для этого рассмотрим функции, заданные на множестве действительных чисел Я и принимающие комплексные значения. Зу.э. Онределенг«е абайсценных функций. Пространства гэ а П' 521 в' (е "— ', если»х» (а, [О, если»х» а. (5йд З) " Отрезок (а, Ь1 сайер«кит носители всех функций ф, ц«н, и=1, 2, 17 Кукрнвкеа Л. Д. т. 2 Интересующее нас пространство 0 состоит из бесконечно дифференцируемых финитных функций (определение финитиых функций см.

в п.55.2). Все финитные функции при естественным образом определенных операциях их сложения и умножения на число образуют линейное пространство, а бесконечно дифференцируемые финитные функции — его подпространство. Введем в этом подираете ранстве понятие сходимостн последовательностей. у Определение 11. Лоследввательность бесконечно дифференцируелиях финитных функвий «р„, гг= = 1, 2,..., намявается сходящейся к бесконечно дифференцируемой финитной функции «р, если: !) существует отрезок [а, (г», вне которого все Рнс.

232 функции «р„п = 1, 2, ..., и «р обращаются в ноль*«. 2) на этом отрезке последовательность функций цг„, и = 1, 2,..., и последовательности всех их производных цг«нг, и =1, 2, ..., равномерно сходятся соответегв~енно к функции цг и к ее еоответетвугоигим производным «р«н>, й=1, 2, .... Совокупность бесконечно дифференцируемых финитных функций с введенной операцией предельного' перехода является линейным пространством со сходнмостью. Это непосредственно следует из свойств пределов функций и свойств равномерно сходящихся последовательностей. Определение 12. Лространство бесконечно дифференцируемых финитных функции с введенной сходимостью называется основным' пространством О.

Очевидно, что если «у ен О, то н любая производная функции «р принадлежит пространству О. Заметим еще, что если [«у„» сходится к «р в О, то и последовательность [«р«"„'»» производных любого порядка й = 1, 2, ... сходится к «р«ьг в О, Это непосредственно следует из определения сходимости в пространстве Р. Тривиальным примером функции пространства 0 является функция, равная нулю на всей оси, менее тривиальным — функция (рис. 232). р бУ. Обобщенные функции У яр а ж не н н я. 2. Доказать, что функция (бзлз) бесконечно дифферснцируема на асей числовой осн (ср.

с (37.23)). 3. Доказать, что для того, чтобы для функции ср ск 0 существовала функ+ СО цня ф сж 0 такая, что ср=ф' необходимо и достаточно, чтобы ) ф(с) си=о. Определение !3. Всякий линейный непрерывный функционал ), определенный на Р, называется обобщенной функцией. Определение 14. Функция 7", определенная на всей дейспзеительной оси, называелюя локально интегрируемой, если она.

абсолютно интегрируема На любом конечном отрезке. Если 7 — локально интегрируемая функция, а ф ~ Р, то произведение )ф абсолютно интегрируемо на всей оси. Действительно, пусть зцрргрс:(а, Ь) (определение носителя эцррср функции гр см. в и. 55.2); функция ф, очевидно, ограничена: ~ р(х) ~ ==С, — оо(х(+со, поэтому + СО ь ь ( ~ (х) ср (х) ~ йх = ) (((х) ф (х) ! йх -= С ) ( ((х) ~ йх.

Определим для локально интегрируемой функции 1 функционал (), ср) на Р равенством + СО ((, ср) = ) 7" (х) гр(х)йх. (59.14) Этот функционал линеек и непрерывен. Линейность его очевидна; докажем его непрерывность. Пусть 1!гп ср„=ср в Р. Тогда Л СО существует такой отрезок (а, Ь1, что для всех и =1, 2, ..., имеют место включения зпрр ф„~ '(а, Ь1 и кцрр ф с: [а, Ь1; поэтому + СО ~(), ф) — (), ф„)( = )г !~(х)!(ф(х) — ф„(х)!йх= ь ь =) !~(х) Иф(х) — ф„(х) (йх(кцр ~ф(х) — ср„(х) /$~~(х) !йх-мО а О при и-м со.

Таким образом, всякой локально интегрируемой функции 7'(х) соответствует обобщенная функция (7, ф) *'; в этом смысле всякую локально интегрируемую функцию можно рассматривать как обобщенную функцию. Постоянная, т. е. такая обобщенная функция 7, что (7', гр) = + СО =с ~ ф(х)йх, с — постоянная, ф АР (в частности, нулевая функция) порождается локально интегрируемой функцией 7 (х) = с, — оо(х(+ ссз. " В атом случае говорится также, что обобщенная функция (7, ср) порождается функцией Ь б9.З.

Определение обоби(енных функций. Пространства 0 и О' 523 Напомним, что под лчнейным функционалом всегда понимается линейный одиар од вы й функционал. Поэтому функционал й равный одной н той же постоянной с, на всех элементах некоторого линейного пространства Х, хотя и является линейной функциея, но не является однороднои: если х ~и Х, у гн Х, Л и )г †чис, то для указанного функционала будем иметь )(х) =) (у) = = )(Лх+ру) =с. Если бы он был линейным однородным, то должно было бы иметь место ) (Лх+ру) =Л) (х)+р)(р)=(Л+р) с. Поскольку прн Л+р чь! ) (Лх+ру) Ф Л)(х)+р7 (9), то функционал Г не линейно однороднык. Следовательно, функционал, равный постоянной, не принадлежит к рассматриваемому нами классу функционалов, У п р а ж н си и е Л.

Доказать, что две непрерызныз на числовой оси функции различны тогда и только тогда, когда различны порожденные нмн обобщенные функции, Иногда обобщенные функции обозначаются символом ~(х). Это обозначение чисто символическое; оно отнюдь не обозначает значения обобщенной функции в точке хан)«, а отражает лишь тот факт, что обобщенные функции являются в вышеуказанном смысле обобщением обычных (локально интегрируемых) функций; никакое значение обобщенной функции в точке х здесь ие подразумевается. Для обозначения значения обобщенной функции )' в точке гр = ф (х) пространства 0 наряду с записью ((', гр) употребляется также запись ~ )(х) <р(х)ах. (59.15) Таким образом, по определению, + с» ~ 1 (х) ф (х) ггх = ((, гр). Ято равенство является определением символа (59.15), который формально читается как «интеграл от произведения ) на ~р».

Характеристики

Список файлов книги