kudryavtsev2a (947416), страница 93
Текст из файла (страница 93)
— коэффси(иенгпьс Фурье элемента х. Доказательство. Если эл= ')~ ~а»е», то »= !' 888. Существование базиса Пусть Х =- 1'ПП ел, т. Е. Х = 'У', алЕ„; л со л= 1 тогда в силу единственности разложения элемента пространства по базису (см.
замечание к теореме 7) (х, ел) =- ал, и = 1, 2, т. е. а, коэффициенты Фурье элемента х. Ц Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 10. Пусть Х и У вЂ” два сепарабельных бесконечномерных гильбертовых пространства. Согласно теореме 9, в них существуют ортонормированные базисы, соответственно е„, и= 1, 2, ..., и !'„, и =1, 2, .... Пусть х~Х и х== ~; алел, тогда ал — коэффициенты Фурье л= ! смысл.
Отображение пространства Х в пространство У, ставящее в соответствие каждому элементу хек Х указанный элемент уенУ, и осуществляет изоморфизм этих пространств. Действительно, при этом соответствии в силу единственности разложения элемента по базису разным элементам пространства Х соответствуют разные элементы пространства У. Далее, всякий элемент пространства У поставлен в соответствие некоторому элементу пространства Х (т. е. указанное отображение является отображением на пространство 1'); в самом деле, если уен У, то, разложив его в У по базису, получим у=,'), 'Ь,Г„.
л= ! Пусть х= ~~ Ьлел (такой элемент существует, см. лемму 5). л=! Очевидно, что элементу х и соответствует при установленном соответствии элемент у. Покажем, наконец, что при этом соответствии сохраняется скалярное произведение. Это сразу следует из леммы 4. Действительно, если х= ~~; алвл, л.= ! х' =,')~ Ьлел, л= ! у=,~, а„Г"„, у'= ) Ь„Г"„, л.= 1 л=-! элемента х и, следовательно, по равенству Г!арсеваля ряд ~ч„а'„. л —. ! сходится. Положим у= !а а„г„.
Согласно лемме 5, это имеет 494 Э 5В. Орюнорл!ированные базисы и разлоасения нонна то в силу указанной леммы (х, х') =,'5~ ~а„Ь„=(у, у'). Д л=! В качестве модели сепарабельного бескоиечномерного гильбертова пространства можно взять пространство, элементами которого являются последовательности действительных чисел х= (хз~ ха ° ° - г хн ° ° ), для которых ряд 5„' хн сходится, т. е.
пространство 1, (см. прин=! мер 5 в п. 57.4). Скалярное произведение в этом пространстве вводится по следующему правилу: если х = (хь ..., х„, ...) и у = (у„..., у„, ...), то (х, у) = ~ хнун. и=! ОЭ Зто определение имеет смысл, ибо из сходимости рядов „У, 'х1 и=! и У„'уй вытекает и сходимость ряда ~ , 'хнун. Зто, например, н=! и=! следует из неравенства Гельдера для рядов при р= 2 (оно в этом случае часто называется неравенством Коши — Шварца), но может быть получено и из элементарного неравенства хне+Вне хнун ~ Норма в пространстве 1з определяется согласно общему правилу по формуле )х(!= 1/ ~, 'хй. г и=! Теорема 11.
)еространство 1, является сепарибельным гильбертовым пространством. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пространство 1, сепарабельио, ибо последовательности ем 1=1, 2, ..., у которых на всех местах стоят нули, кроме Й-го, где стоит единица, образуют ортонормнрованный базис и, следовательно, ик конечные линейные комбинации с рациональными коэффициентами образуют счетное плотное в пространстве 1, множество (почему)). Полнота пространства 1, доказывается несколько сложнее.
Пусть последовательное!ь х(н!=(х!зн>, х!"з, ..., х!„"', ...), А=!, 2, ..., (58.45) б8.б Существование базиса является фундаментальной последовательностью пространства 1,. Тогда из неравенства )х(ьта! хгл! (= 1 У' Гх(и+ И вЂ” х(лг(! .--! х(а+а! хм! ! л= ! 1=1,2,..., р=0,1,2,..., а=1,2,..., и фундаментальности последовательности (58.45) следует, что при любом фиксированном и числовая последовательность х, (в! = 1! 2, ..., удовлетворяет критерию Коши (см, п. 3.7) и, следовательно, сходится.
Пусть 1пп х~~! =ха. В силу фундаментальности последовательности (58.45) для любого е з 0 существует такой номер а„ что при любом номере а =-й, и любом натуральном р выполняется неравенство ( х(ллв! х(в((л- е Х ( '.""-"."')а< . а л=! Отсюда для любого фиксированного натурального числа л( и подавно ~, ! (х(а + м х(а!)! ( ев л.= 1 Переходя здесь к пределу при р — э-со, получим в ~, '(х„— х("!)' ~ еа, л=. 1 н так как зто верно при любом т =-1, 2, ..., то ~ ~(хл — х(н!) ( ел, й ) Ав.
л=- ! (58.46) ! пп х("! = х. а лт Итак, мы доказали, что последовательность (58е46) сходитсЯ. Следовательно, 1а полное пространство. Д В силу теоремы 10 пространство 1! изоморфно каждому сепарабельному гильбертову пространству. Таким образом, точка д(л! =(х, — х(а(, ..., хл — х(а(, ...), А:-а„ принадлежит пространству (з, но тогда и точка х = (х(,..., х„, ...) = = х(л(+у(а! также принадлежит пространству 1„а условие (58.46) означает, что 496 Э 88 Оргоиориироваииые баэиеы и раэяомеиия ионна В п.
58.3 было показано, что пространство 7.э[а, Ь] сепарабельно (см. там теорему 2) для любого отрезка [а, Ь], следовательно, оно также изоморфно пространству 1,. Можно показать, что н пространство 7.э (б), где 6 — измеримое положительной меры множество и-мерного пространства, также сепарабельно и, следовательно, изоморфно Ц. Таким, образом, все гильбертовы пространства интегрируемых в квадрате функций независимо от числа переменных, от которых зависят эти функции, изоморфны между собой. Ба.в.
РАзложение Функций с интеГРЙРуемым КВАДРАТОМ В РЯД ФУРЬЕ В з 55 изучались классические ряды Фурье, т. е. ряды Фурье по тригонометрической системе функций, для абсолютно интегрируемых функций. В этом пункте будет получен ряд следствий из обшей теории рядов Фурье в гильбертовых пространствах и из свойства полноты системы тригонометрических функций в пространстве 7,а[ — л, и] для тригонометрических рядов Фурье более узкого класса функций, чем абсолютно интегрируемые, а именно для функпий с интегрируемым на отрезке [ — и, и] квадратом, т. е.
для функций пространства )гьэ [ — и, и] (см. пример 3 в п. 57.8). Прежде всего заметим, что если в гильбертовом пространстве 7.,[ — л, и] за ортогональную систему взять тригонометрическую систему 1, созх, 51пх, ..., сових, Б1пих, ..., (58.2) то коэффициенты ФУРье элемента 7" ~ Еэ[ — и, и] по этой системе будут определяться согласно (58.23) по формулам ав=,-„— (), », а„= -(7", сои их), Ьн= — (Г, э)пах), (58А7) п=1, 2,... нбо [1[х,=-]~2п, [созпх[х,=>81пих,'~х,=) л (см. п.
58.». Если 1' — непрерывная на отрезке [ — л, и] функция, то 1'4= СЦ[ — л, л] с).э[ — и, л]. Сравнивая формулы (58.47) для коэффициентов Фурье функции 1 с формулами (55.6) (скалярное произведение, как обычно, задается формулами (57.30)) видим, что все они совпадают, кроме формулы для коэффициента а„ которая в (58.47) отличается от формулы в (55.6) множителем 1)2. Отдавая дань традиции будем в дальнейшем придерживаться формулы (55.6) для а„т.
е. будет считать, что (58.48) 58.5. Разложение функций в рзд Фггрье и записывать тригонометрический ряд Фурье в виде ' + ~С а„СОЗ ПХ+ Ьл З 1П ат. л= ! Применяя теорему 6 к тригонометрической системе (58.2) в силу полноты этой системы в пространстве Ез[ — и, п) (см. прплгер 3 в п. 58.3) получим следующую теорему. Теорема 12. Каждый элемент 7'~Ее[ — и, и) раскладывается в этом пространстве в ряд Фурье по тригонометрической системе [=ив "+ У а„созпх+Ь„з)ппх, к л=о причелг справедливо равенство Ларсеваля — „а'='-'+ У а'„+Ь'„.
Следствие 1. Каждая функция 1'(х) с интегрируемым на отрезке [ — и, п) квадрата.ч 1) является пределом в ел!меле среднего квадратичного (см. п. 57.5) своих частичных сумм Фурье 5„(х) по тригонометрической системе функций при п-+.со, т. е. 11щ ~ [7 (х) — Я„(х)1г йх = 0; л со 2) и для нее справедливо равенство Ларсеваля (58.50) — ~ )т(х)йх=' — "+ ~ а,'+Ьд.
— л л=- ! Следствие 2. Если функция ) с интегрируемым на отрезке [ — и, п) квадратом и все ее коэффициенты Фурье по тригонометрической системе (58.2) равны нулю, то она эквивалентна нуг,гю. Здесь везде коэффициенты Фурье при п = 1, 2, ... определяются по формулам (58.47), а коэффициент а, по формуле (58.48). Поскольку сама теорема 12 вытекает из теоремы б„то нуждаются в доказательстве только ее следствия. Итак, пусть функция )(х) есть функция с интегрируемым квадратом на отрезке [ — и, п~, т. е.
) (х) = — И.г[ — и, п1 (см. пример 8 в п. 57.4 и пример 3 в п. 57,8). Прежде всего заметим, что любая ей эквивалентная функция д(х) (см. определение 38 в п. 57.10) имеет те же коэффициенты Фурье и, следовательно, тот же ряд Фурье. Зто следует из того, что полускалярное произведение в пространстве )кЪг[ — и, и) не меняется, если его 49В В ВВ. Ортонорли!рованные базисе! и разлоитенил лонам сомножители заменить им эквивалентными (см. формулу (57.41)), и потому, если 7 д, то ! ! и =-„-() 1)яс,= — „М 1)а!.„ 1 ! а„= — „(7, созпх)лет= — (д, созлх)ль„ 1 .
! Ь„=-„- (), 51плх)ль,= — (Ь!, 51ппх)лсо и=1, 2, ...*!. Следовательно, если через Р обозначить класс эквивалентных функций, содержащий функцию 1, то в силу определения (57.41) скалярного произведения классов эквивалентных функций, т. е. скалярного произведения в пространстве)сьз1 — и, и] (см. п. 57.10) будем иметь аа= — (Р, 1)а~ы а„= — (Р, созпх)агы Ь„= — (Р, з!ппх)л-с„ 1 ! ! а=1, 2,..., т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
