kudryavtsev2a (947416), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Эти пеРесечеииЯ также ЯвлЯютсЯ полУинтеРвалами 1хд м хд), й= =1, 2, ..., п, на которых постоянны одновременнофункции ~р(х) и др(х). Поэтому если 1, если хд,-.=х(хд, вод (х) = О, если х(хд, илн х~хд, й = 1, 2, ..., и, — соответству|ощие одноступенчатые функции, то существуют такие действительные числа Ц, рд =- 1, 2, ..., п, что ~р(х)= 'У, 'Ада>д(х), ф(х)= ~ пи<ад(т). ее.7". теорема плапаерелк Отсюда следует, что любая комплекснозначная ступенчатая функ- ция 1" (х) =<р(х)+!ф(х) представима в виде )(х)= ~ч~ ьь!ьь(х), ь=! (58.56) где ~„=Хь+!рм 1=1, 2, ..., и, — комплексные числа.
Лемма 6. Пусть ( — комплекснозначная ступенчатая функция и Р٠— ее преобразаеание Фурье, тогда КИ1=)П Доказательство. Если функция ) задана формулой (58.56), то +оэ 111'= ~ Т(х)Дх)Их= ~уС„$ ну(х)со~~х)!(х= ~~~ ~~ь(е(хь — хь !). (58,57) ь ь=! — ОЭ ь=! Пусть теперь О» !) с.+оэ; тогда ч ч +0» + ОЭ ~ Рящг(у= — ~ !(у ~ Т(х)е змс(х ~ Т($)е™с% -ч — П вЂ” О> — М + ОО + ОЪ ч — ~ )(х)~®!(х!($ ~ е'е1т- !!(у= + аэ + оэ =-„' 1 1 1()Я~"",""„")д д~. (58.68) + ОЪ 1пп — ~ ! ($) ! ~~„) И$ = Т'(х).
Оказывается, что в силу этого при наших предположениях в последнем интеграле (58.58) можно перейти к пределу под знаком интеграла при Ч-э+оз. Однако соответствующая теорема не была доказана в настоящем курсе, и потому нам придется сделать Все преобразования здесь законны, так как на самом деле все интегралы берутся в конечных пределах. Поскольку действительная н мнимая части функции Т(х) удовлетворяют условиям теоремы о представлении функций с помощью. интеграла Фурье (см. теорему 1 в п.
56.1), то для всех х, кроме х=х», й= 1, 2, ..., и, имеем (см. доказательство указанной теоремы), 504 4 88. Ортоноркгированнвгв базисы и разлохсвния панам вычислений. Подставляя (58.56) несколько дополнительных в (58.58), получим и х..кн (хдко~кк=-'- ~ гг ) к Г """-"'к*- — » Сн=г к т-к й-х л хт и (хн — х) — ~тД„~ с(х ~ — "", Л. (58.59) С х=! х. п[х, — х) Рассмотрим поведение каждого ела~немого получившейся суммы прн т)-+-+скз. Если )'=й, то, меняя порядок интегрирования (рис. 230) и производя интегрирование по переменной х, получим: «и и (кн — к) -'- ~ ( ~ — ""' )г= хн и (кт, — х) и (х„ — х ,) Г 1 з!и à — ~хн — хн г †. — ~ — с(1+ о о (*-*- ч — ""'"1= -п(к„' ка,) и (хн хо-т) 2 г' Мпг 2 (хн — ХФ г) 5 —, ((+„— (1 — сох 11(хо — хн-г)3. о Поскольку + О3 о (см.
п. 54.4), то " Рн хн-т) 2 г' афпг )! гп — (ха — хн-г) 1 — Й = Хн — хн-г. 1 к и о Далее, очевидно, 2 1!гп — [! — соз т)(хн — х» г)) =О, „ +, пч поэтому х, к1 (х,-х) 1 г з1п Г 1!гп -- ~ с(х ~ — Ж=хх — хх-м й=1, 2, ..., и. х, «(х„,— ) оо.7«, Теорема Ллаишереля 500 Покажем теперь, что при ) Ф)е к) ч (хе — к) )ип ~ с(х ~ — И=О. ч ч-~ ч (ке — ) Пусть для определенности х», < х; -:- хк,< хе При других расположениях полуиптервалов постоянства [хт и хт) и [хк „хе) Рис. 231 Рис. 230 доказательство аналогично. Меняя снова порядок интегрирования и производя интегрирование по х (рпс. 231), с помощью аналогичных рассуждений получим к»1 («Е х)»1 (к к.
) 'е-к ч Ре-х-') ч (х„— «Е) п( „— ) 5)и с + ~ (хт — х,,) — е(г+ Ч(х,', к,») »1(»„— х)») » '» Б(и» (х, — х„,+--~ — й-э-О при Ч-+ оэ. Ы(хя е-х)) теперь из (58.59) имеем + ех и (рИ:= 1 риити(х= 1 тр[(И = — о» Ч хш — »» и = ~ ~ Тя (к (хе — хе,) =,:Т" )к. [ ) «=3 зла Э 58. Ортенормараеанные баеаеьс и раеложесссся ааааа Лемма 7. Пусть 1' — колеплекснозначная функция, непрерывная на отрезке [а, Ь'1 и равная нулю вне его, тогда существует последовательность таких ступенчатых функций ср„, п=1, 2, ..., что 1пп [тр — тр„1=0. л со Доказательство.
Для действительных функций это следует из леммы 14 п. 57.10. Пусть теперь ср=и+1о — комплекснозначная функция, непрерывная на отрезке [а, Ь1; тогда действительные функции и н о также непрерывны на отрезке [а, Ь1. Поэтому существуют такие последовательности ступенчатых функций (ил) и [о,), что 1и — и„)-т.О и 1о — о,( — е-0 при и-е-со. Если ср„=ил+1о„, то (~р — ср„1([и — и„[+1о — о„1а отсюда 1ср — тр„(-+ -ьО при и-ь со.
П Лемма 8. Пусть колеплекснозначнаяфунк~1ия ср непрерывна на отрезке [а, Ь1 и равна нулю вне его, тогда ГЫ(=( р(. Доказательство. Пусть ~р,— последовательность ступен чатых функций таких, что 1пп 1ср — <р„1= 0 (см. лемму 7), тогда в силу непрерывности нормы 1!гп 1тр„(=1ср[. (58.60) Из неравенства же Коши — Буняковского получим ь 1ь 1нг 1ь '~па ~ ~ тр„(х) — ю (х) ~ дх — ( [ е(х) ~~ ) срл (х) — <р (х) ~а дх) а са а 1ь 1 112 = (Ь вЂ” а) и' ~~~ ) срл (х) — <р (х) ~а дх~ и, следовательно, 1пп $ ( тра(х) — ср(х) )дх=О, л се а т.
е. последовательность (тр„) сходится в среднем к функции ср и в смысле 7, Поэтому если Ф=Р[р1, Фл=Р[(р,), и=1, 2, ..., то последовательность непрерывных (см. следствие леммы 4 в п. 56.7) функций [ср„) равномерно сходится к функции ср, которая в силу этого непрерывна иа всей числовой осн. Кроме того, 56.7». Теорема Планшерелл аот в силу леммы 6 (58.61) Отсюда следует, в частности, что непрерывные функции являются функциями с интегрируемым квадратом модуля, т. е. принадлежат пространству Ь,( — со, + оо). Далее, функции фл, и = 1, 2, ..., образуют фундаментальную последовательность в пространстве Е.,( — оо, + со), Эго следует из сходимостн в среднем в смысле С, последовательности (е„) и из равенства +о +О> ~ !Ь(и) — ЬЫ~'Ф= ~ ~ р.Ы вЂ” р (р)~'Ф.
(ф Ф (з ~ 1ф (у) ф„(у))еду<:е. Тем более, для любого числа с->О будем иметь л ) (ф„(у) — ~ф(у) 1'ф(е. (58.62) При фиксированных и и с при и-~-оо подынтегральное выражение в (58.62) равномерно стремится к функции ~ф„(у) — ф(у)1е. Поэтому в неравенстве (58.62) можно перейти к пределу под знаком интеграла при т-~со. В результате будем иметь ) ( ф„(у) — ф(у) (зс(у=.е. Устремляя теперь с к +со, получим, что при а-=:л, выполняется неравенство ~ Ягф Ы вЂ” е7(рог(р=е, (58.68) что и означает сходимость в среднем в смысле Е, последовательности Щ к функции ф. Из доказанного следует также, что ф с= Е,( — оо, + со).
Действительно, в силу (58.61) и (58.63) И1 = (ф — $.1+ И.1(+ которое также вытекает из леммы 6, ибо разность ступенчатых функций также является ступенчатой функцией. Покажем, что последовательность (ф„) сходится к функции ф и в пространстве Т.м Действительно, пусть фиксировано е-»О, тогда в силу фундаментальности последовательности (ф,) существует такой номер л„что для всех и)п, и гл==-а, выполняется неравенство 808 У ВВ. Ортонорашрованние виаиси и риэлохенил панин Наконец, из неравенства (57.18) и того что !пп "тр,— тр[=0, н оо получим 1 пи ! трн ) = ! тр [. (58.64) Л1 1Рл1(У)=у — 1 Чт(х)е-' ийх М)0.
Тогда: 1) функция трм(у) такрке непрерывна и с интегрируемым на всей числовой оси квадратолн 2) при Мь.+со функции трм сходятся в пространсп|ве 7.а( — оо, + со) к некоторо.ну алементу тр е= Ьа ( — со, + сс) и 3) )<р![=„':тр!. Доказательство. Если / <р(х), если х~[ — М, М1, О, если хф[ — М, М), то, очевидно, 'тРм = Р [трм).
1пп фм=<р в (.а( — со, +со), и +<о !пп !<ри(=,'~тр( м (58.65) (58.66) Согласно лемме 8, !Фа1[=!<рат[ М (58.67) )Ч>м,— трм,1=[[Чм, — <рм,), Мт) О, Ма) О. (58.68) Из (58.65) и (58.68) следует в силу полноты пространства Аа( — оо, оо), что существует предел (почему?) 1пп трат =тр в (.а( — со, + со). +ю В силу непрерывности нормы 1пп [тра~)=!Ц м -ьсо из (58.66), (58.67) и (58.69) имеем ! р(=[[р! П (58.69) "' М.
План шерель (1888 — !887) — швеацарекна матенатнк. Из (58.60), (58.61) и (58.64) следует, что !тр(=,"Ч[. [Л Теорема 15 (Планшерель*~). Луста функция ер непрерывна и с интегрируемым квадратом модуля на всей числовой оси и пусть 88.7е. Теореяа Планшереля Полученный в процессе доказательства элемент еи е.е( — со, + со) мы будем также называть иреобраюваниела Фурье заданной непрерывной функции ф еп Ц ( — со, + сс) и писать Ч'=г [ф!.
(58.70) Эта запись естественна, так как если функция ф, кроме того, и абсолютно интегрируема, то 1пп фц совпадает с обычным прем + образованием Фурье. Действительно, в этом случае + СС 1пп ~ 1фи(х) — ф(х)'е(г=-О. +а Следовательно, функции фм=р[флД при М- со равномерносхо- дятся к преобразованию Фурье Р[ф! функции ф. Как мы внделя, фле сходится в среднем в смысле Ье к функции ф отсюда не- трудно убедиться, что ф=!е[ф! (сравнить аналогичное рассужде- ние в доказательстве леммы 8).
Преобразование Фурье (58.70) определено пока лишь для тех элементов фа-=).е( — сс, + со), которые являются непрерывными функциями с интегрируемым квадратом, однако по непрерывности оно может быть распространено на все пространство( е ( — со, +со). Действительно, пусть ф — произвольный элемент из пространства ьа ( — оо, +со). Согласно определению пространства Ц ( — оо, +со) множество непрерывных функций плотно в нем. Следовательно, существует последовательность непрерывных функций фл с= е 2( с'-~э + со), и=1, 2~ ° ' е такая, что 1пп ф,=ф, т.
е. !пп [ф„— ф[=0. я ее я са Пусть Р[ф„]=ф„, и=1, 2, .... В силу теоремы Планшереля [фл — ~>е,[=[ф„— ф 1, п, ел=1, 2, ..., поэтому последовательность [ф„) фундаментальна в 7., и, следо- вательно, сходится. Пусть ф=!пп ф„. По определению полагаем 'ф = Р [ф). (58.7! ) Если ф„'еил.я( — сю, +со), и=!, 2, ...,— какая-либо другая последовательность непрерывных функций, сходящаяся в Е,( — со, + со) к элементу ф, и если ф = г"[ф„'1, то из равенства 1ф. — ф" [=[ф. — Ф1 имеем 1пп ф„*=ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
