kudryavtsev2a (947416), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Таким образом, определение (58.71) не зависит п са от выбора последовательности непрерывных функций, сходящейся к элементу ф. В бэ. Обобщенные функции 510 Для любого ф ен й,( — сю, + с~) справедливо равенство )ры(=(ф), что сразу следует из того, что это равенство имеет место для непрерывных функций фен(.,( — со, + со) и непрерывности нормы. Далее, легко проверить, что преобразование Фурье г" линейно на Ек( — ээ, + со), т. е. р Р'кф к+ ) кфк~ = )"1 р (фк1+ ) кр (фа) для любых фк и ф, из (.к( — ээ, +ээ) и любых чисел Х, и ).к. Это верно для ступенчатых функций. Они образуют плотное в 7.к( — ээ, + скэ) множество.
Отсюда предельным переходом указанное равенство получается для любых элементов пространства ьк( — -со, + ээ). Наконец, преобразование Фурье отображает пространство 1.,( — со,+ээ) на себя, т. е. каков бы ни был элемент фа= ~Ее( — ээ, + ээ), существует такой элемент ф ен Г,к( — оэ, +оэ), что Р(ф) =ф. Для того чтобы это показать, следует тем же методом, как это было сделано для преобразования Фурье, определить на пространстве (.,( — ээ, + ээ) обратное преобразование Фурье г-' и показать, что для любого элемента ф ен Е, ( — оэ, + оэ) справедливо равенство (г'-'(ф1(=(кр(. Затем можно показать, что Г[р 'М=Ф и р '[г(фП=Ф для всех фенсо( — ээ, + оэ), исходя из того, что это верно на множестве ступенчатых функций, образующих плотное в ~, ( — ээ, + ээ) множество. Если теперь для элемента ф е= е=Ьк( — ээ, + оэ) взять элемент ф=г"-к(ф1, то получим г (ф) =ф что и означает, что преобразование г отображает все пространство !к( — ээ, +ээ) иа себя.
Суммируя все сказанное, получим следующую теорему. 'Теорема !6 (Планшерель). Преобразование Фурье Р линейно и взаимно однозначно отобраасает пространство 1,( — ээ, + ээ) на себя, при этом для любого элемента фене.к( — со, +со) справедливо равенство ГЫ(=(ф) 5 59. ОБОБЩКННЫЕ ФУНКЦИИ 59. П ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ В этом параграфе мы рассмотрим одно обобщение классического понятия функции, а именно понятие обобщенной функции. Оно возникло при решении некоторых физических задач и в последние годы быстро и прочно вошло в математику. С помощью этого понятия можно распространить преобразование Фурье на существенно более широкий класс функций, чем абсолютно интегрируемые бк1. Общие еообраюяеяия или интегрируемые в квадрате функции.
Оно позволяет сформулировать на математическом языке такие идеализированные понятия, как, например, плотность точечного заряда, плотность материальной точки, мгновенный импульс и т. п. Поясним это подробнее. При изучении физических явлений с помощью математического аппарата нам и избежно приходится пользоваться различными математическими абстракциями, в частности понятием точки. Мы говорим, например, о массе, сосредоточенной в данной точке пространства, о силе, приложенной в данный момент времени (т. е. в данной точке оси отсчета времени), о точечном источнике того или иного физического поля и т.
п. Это удобно при использовании математического аппарата, хотя 'при этом мы воспроизводим не вполне точную реальную картину: всякая масса имеет определенный объем, всякая сила действует определенный промежуток времени, всякий источник поля имеет определенные размеры и т. д. Оказывается, что при таком подходе к изучению физических явлений недостаточно методов классической математики. Иногда приходится вводить новые математические понятия, создавать новый математический аппарат. Рассмотрим в качестве примера действие «мгновеннойю силы. Пусть в момент времени 1= 0 на тело массы лю ~0 подействовала сила, сообщившая ему скорость о~О, после чего действие силы прекратилось.
Обозначая через Р(1) силу, действующую на тело в момент времени г, получим Р(1)=0 при г~ О. Попытаемся найти, чему же равна сила Р(8) при 1=0. По второму закону Ньютона сила равна скорости изменения количества движения относительно времени и, следовательно, для любого момента времени т, 0<т<+со, имеем ~ Р(1) ю(1 =то. (59.1) В качестве нижнего предела интегрирования взята — со; можно, конечно, вместо нее взять и любое число а<0, поскольку до момента времени 1=0 тело находилось в покое. Обратим внимание на то, что с точки зрения классической математики, т. е. с точки зрения того понятия интеграла, которое было нами изучено, равенство (59.1) лишено смысла: функция Р(1) равна нулю во всех точках, кроме г= 0 и потому стоящий в левой ' части формулы (59.1) интеграл, рассматриваемый как несобственный, равен нулю, в то время как правая часть этого равенства не равна нулю.
Вместе с тем, исходя из физических соображений, естественно ожидать, что написанное равенство имеет определен- Э бр. Обоби!«нные функеии Ь!2 ный смысл. Это противоречие означает, что мы оказались за пределами возможности использования известного нам математического аппарата, что необходимо ввести какие-то новые математические понятия. Предположим, для простоты, что количество движения, которое получило тело, равно единице, т.
е. что л!о = 1. В этом случае силу Р(!), действую:цую на тело, будем обозначать через 6(!), следовательно, формула (59.1) будет теперь иметь вид 6(!) «1! =1, т„>0. Поскольку сила 6,(г) равна нулю вне отрезка [ — е, 01, а на этом отрезке постоянна, то « о 1= 1 6«(!)Ж= $ 6«(У)«(!=«ба(!), — е~! =.О. Поэтому —,—, если — е~т(О, ! (59.3) О, если 1( — е или (~0. Е стественно предположить, что мгновенная сила 6(!) получается пз «распределенной силы> 6,(!) предельным переходом при е- О,т.е. 6(() =1пп 6,(!), «о тогда 6(() =- + со, если 1=-0, О, если (ФО. (59.4) *' П.
Д и р а к (род. !902 г.) — англии ккй фканк. Функция 6 (!) называется обычно дельта-функцией (б-функцией), или функцией Дирака*'. Чтобы лучше вникнуть в сущность вопроса, предположим, что на тело действует не мгновенная сила, а что в течение промежутка времени от — е до 0 (е~О) на тело действует некоторая постоянная сила, которую мы обозначим через 6«(!). Предположим также, что эта сила сообщает нашему телу то же самое количество движения, равное единице. Короче говоря, распределим искомую силу 6(г) на интервал длины е. Найдем силу 6,(«).
По закону сохранения времени для любого времени тЗ:0 имеем 5!3 59. Ь Общие соображении Эта формула не дает нам возможности, используя известные определения интеграла (собственного нли несобственного), получить формулу (59.2). Равенство нулю функции во всех точках, кроме одной, где она равна бесконечности, и одновременное равенство интеграла от этой функции единице противоречат друг другу в рамках той математики, которая в настоящее время называется классической. Эзо приводит к мысли о необходимости введения нового определения — определения «интеграла» (59.2). Физически естественно считать, что количество движения, приданное телу мгновенной силой 6 (1), т.
е. интеграл (59.2) является пределом количества движения, приданного телу распределенными во времени силами 6,(1), когда время их действия стремится к нулю, т. е. когда е- О. Поэтому положим, по определению 6(1)й=!1т ~ 6,(1)й, т)0. а '0 Отсюда в силу равенства ~ 6,(1)й=1, т)0 для всех е)0 и следует непосредственно равенство (59.2). Таким образом, когда говорится, что интеграл (59.2) от дельта- функции равен единице, то этот интеграл следует понимать как предел соответствующих обычных интегралов от б,-функций при е-»-+ О. Оказывается полезным дать аналогичным образом определение и более общих «иитегралов», а именно интегралов вида ~ 6(1)1Яй, — со~т(+со, (59.5) где ) (1) — некоторая непрерывная функция.
Именно, определим символ (59.5) равенством « ~ 6(т))(1)й=1ип ~ 6,(1))(1)й. (59,5) Е О ~и Чтобы доказать, что это определение корректно, надо доказать, что предел (59.5) всегда существует. Покажем, более того, что !пп ~ 6,(1))(1)й=~ ' (59.7) 1 ) (0) при т г ь О, е 0 0 при т<0. Пусть сначала т=0. Используя (59.3), получим о о ~ 6,(1))(1)й — ~(0) = -'- ~)(1)й — — "' ~й о — ) /) (1) — ) (0) ~ й. (о9.8) — е 4 З9. Обойгценнме функции В силу непрерывности функции 1(х) при х = 0 для любого н1>0 существует такое ии)0, что для всех г, удовлетворяющих усло- вию 1()(е„, выполняется неравеиство ~1(1) — 1(О)! ( Ч Поэтому для всех е~еч из неравенства (59.8) следует, что г 1 и ~ 6,(1))(1) 1( — )(О) = — ", ~б(=ц.
ОЭ вЂ” е Рагеггство (59.7) при и=-0 доказано. Еще проще оно доказыва- ется при т(0. Итак, из определения (59.6) следует, что для любой непрерывной функции 7(1) справедлива формула ( ~(0) при т="-О, 0 при к<0. Формула (59.2) следует отсюда при г(г) = — 1. Если положить 0 (1) = 1 при 1:~0, 0 при 1(0, (59.10) то формула (59.9) при ~(~) =1 перепишется в виде 0 (т) = ~ 6 (() г(1. (59.11) ю О. Хевисайд (1850 — 1925) — английский фюик. Функция й (() имеет специальное название — она называется функ- цией Хевисайда *>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
