kudryavtsev2a (947416), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Эта запись отражает собой тот факт, что обобщенные функции являются обобщением функционалов (59.14), где ~ — локально интегрируемая функция. назьиается б-функцией. )7* + СО (' н(х) У яр аж не ниеб.Доказать, чтофункционало.р. ) — йх, и ~О, явля- 1) ется обобщенной функцией (она обычно обозначается дь — ( ° В качестве другого примера обобщенной функции рассмотрим функционал, обозначаемый 6 = 6 (х) и называемый 6-функцией (см. 59.1). Определение 15.
Функционал, определяемый формулой (6, ~р) =гр(0), гр ~хт, У бУ. Обобщенные функ««ии Его линейность и непрерывность легко проверяются. Он не может быть представлен в виде (59.14) ни прн какой локально интегрируемой функции 7'. Действительно, если бы нашлась такая локально интегрируемая функция 1, что + сд (б, «р)=- ~ !(х)«р(х)йх, фе=Р, то для этой функции !" и для функции ф, заданной формулой (59.13), мы имели бы Сд ! ~ ) (х) «р (х) «(х = «р (0) = - -. (59.16) Но в силу абсолютной интегрируемости функции )' а 1пп ~ !)'(х) !«(х =-0 а 0 д (почему?).
дд — 1 Далее, замечая, что е "* — "'(- — а=-.х== а, получим +:а а дд д 1(х)«р(х)йх = ~ 1(х)е * —" йх .=--- ~ ()(х)!дх, поэтому левая часть равенства (59.16) при а-ь0 стремится к нулю, а правая нет. Полученное противоречие и доказывает наше утверждение. Таким образом, запас обобщенных функций в указанном смысле больше, чем запас обычных., Определение 16. Функционал, спгавящий в соответствие каждой функции р в=Р число «р(х,), еде х, фиксировано, называется б-функцией и обозначается 6(х — хд). Применяя запись (59.15), можно написать +О: б (х — х,) «р (х) дх = «р (хд) „«р ев О.
Определение 17. Совокупность обобщенных функций, как и всякая со«окулиосп«ь функцг«оналов, определенных иа линейном лро; страистве со сходил«остью (см. и. 59.2), образует линейное лрогтраист,ю со сходил«остью, сопряженное к О. Оио называется простраиспиолг обоби(еиных функций и обозиачаетсч О'. Таким образом, сходимость последовательности обобщенных функций 1„, и = 1, 2, ..., к обобщенной функции 1 означает, что 1)пг (1„, ф)=-(р", ф) для любой функции «р ~ О.
39.8. Определение обобщенных функиаат Пространства !) и Р' 325 заяача чо; пусть )н ~и 0', н= !, 2, ..., н пусть для любой функции ф гн я 0 существует, предел числовой последовательности (1„, ф). Положим, Г(ф) = (пп ()н, ф). Доказать, что р(ф) является обобщенной функцией. В п. 59.! мы рассматривали функции 6,(х), которые очевидно, локально ннтегрируемы. Мы видели, что они обладают тем свойством, что для любой непрерывной на всей оси функции гр и, следовательно, для любой функции фен 1) +ээ 1)п! (бею ф) = 1!и! 1! бе (х) гр (х) с(х= ф (0) = (6, ф).
е-+о е +о С точки зрения обобщенных функций это означает, что в 0' 1пп 6,=6*!. е-Ьа Таким образом, 6-функция в пространстве (:)' является пределом последовательности обобщенных функций, порожденных локально интегрируемыми функциями. Рис. 233 У п р а ж н си и я С. Пусть последовательность абсолютно интегрируемых функний )и(х), и= (, 2,, такова, что а) каково бы ни было число М )О, при )а)< М, 1Ь|<Л(„величины ! )ье) */, =3,2, ...
а ограничены посгоянной, не зависящей от а, Ь, н (она зависит только от М)!. б) прн любых фиксированных а н Ь, отличных от нуля, Г О при а <Ь.<О н О<а< о, .и са) с ! при а<О<Ь. Такие последовательности 1„(х) (рис. 233) называются делыпа-образными. ю Как и для обычных функний, символ е-н+О означает, что указанное предельное соотношение имеет место для любой последовательности ен)0, и=! 2, ..., стремящейся к нулю, в 59.
Обобщенные функции Доказать, что для любой непрерывной функцян ф я любой дельта-образной последовательности !о (х), а=1, 2, ..., +со 11щ ) !о(х)ср(х) бхс ф(0)! о оо иначе говоря, !пп ()о, ф)=(б, ср). о со 1» 7. Пусть,!»(х)==е ' . Доказать, что в пространстве Х>' справедл»що р'и! равенство 1'пп й (х) =6 (х). с +е 1 8. Доказать, что в пространстве О' существует предел 1пп —. к охбкчр ( 1 он обозначается —.1 н что справедлквы формулы х -с- !О! ! 1 х -с- »О — = ~ йи5 (х) + «у — . х' (Оня называются формуламн Сохоцкого *'.) Задача 4!.
Доказать, что всякая снгулярная обобщенная функция является пределом регулярных (в атом смысле пространство обобщенных функций является «пополненном» пространства обычных функцнй). Как мы видели, понятие обобщенной функции не сводится к понятию функции точки и поэтому говорить о значении обобщенной функции в данной точке, в частности об обращении ее в ноль в этой точке, вообще говоря, не имеет смысла.
Однако можно ввести естественное понятие обращения в ноль обобщенной функции на интервале. Определение !8. Будем говорить, что обобщенная грункция ( обращается в ноль на интервале (а, Ь), если (7, ф) =О для всех ф е- =О, которые имеют носитель, содержащийся в интервале (а, Ь). У и р аж не н не 9. Доказать, что, для того, чтобы непрерывная функцня обращалась в ноль в каждой точке янтервала, необходнмо я достаточно, чтобы она обращалась в ноль на этом интервале как обобщенная функцня. Определение !9. Обобщенные функции ! н д называются равными на интервале (а, Ь), если à — а=О на (а, Ь).
59хи ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ Определим теперь производную обобщенной функции. Выясним, прежде всего, что представляет собой пронзводная обычной непрерывно днфференцируемой на всей числовой оси функции ), рассматриваемая как функционал (7"', ф) на О. Это имеет смысл, поскольку производная 7', будучи непрерывной на всей числовой. осн является локально интегрируемой функцией. " Ю. В. С охоцк н й (1842 — !929) — русский математик. 99А. дифференцировиние обобиценнык функций 527 Интегрируя по частям, в силу финитности функции ере:-О, получим + СО ц- оэ (7", ~р) = ~ 7'(х) ер(х) дх = — ~ 7(х) ер'(х) дх= — (7, ер'), (59.17) причем, как известно, ер' ен О.
Таким образом, производная 7' является функционалом на Р, значения которого выражаются через значения функции 7, рассматриваемой как функционал, с помощью формулы (59.17). Это делает естественным следующее определение. Определение 20. Производной обобщенной функции 7" называепкя функционал на О, обозначаемый 7"' и определяемый равенством К, р)= — У, р'), ре=-Р Иначе говоря, значение функционала 7' а любой точке пространства Р равно значению функционала 7 в точке ~р' ~0, взятому с противоположным знаком. Таким образом, любая обобщенная функция имеет производную.
Отсюда следует, что и любая локально интегрируемая функция имеет в смысле определения 20 производную! Из формулы (59.! 7) следует, что производная в обычном смысле непрерывно диффереицируемой на всей числовой оси функции, рассматриваемая как функционал над О, совпадает с ее производной в смысле обобщенных функций. Операцию вычисления производной обобщенной функпии называют по аналогии со случаем обычных функций дифференцированием. Лемма 4. Функционал )' является линейным непрерывным функционалом и, следовательно, обобщенной функцией. Доказательство. Проверим линейность: К, 9 р+ рф) = — Ч Р р+ рф)') = — Ч )«р'+ рер') = = — ) У ф') — ) Ж ф') = ) Ч', р) + р К, ф), р ен О, ф ~ О, Для того чтобы проверить непрерывность функционала 7 вспомним, что если ~р енР, ере ен0, lе=1, 2, ..., и 1пп <ре=ф в Р, то Е ев в силу определения сходимости в пространстве О и 1ип ере=ер' в 0; поэтому если ~ре-~ер в О, то 1(гп(7', <ри) = — 11пт (~, ере) = = — (7, ф') =(7", р).
Таким образом, если 7'ен 0', то !' всегда существует и !' ~ и Производные высших порядков обобщенной функции определяются последовательно, как и для обычных функций: Г=К)' !е=(7'")' "., б бр. Обоби1енные функции вообще па1 (г1и-т1) й 1 2 )цо1 По индукции легко проверить, что Ц1 "1, ср) = ( — 1)'(у, <р'н1), <р е- =О, й =- О, 1, .... Согласно этому определению, обобц нные функции имеют производные любых порядков, или, как иногда говорят, бесконечно дифференцнруемы. П р и м е р ы. 1. Пусть 1, если х=--О, 6 (х) = О, если х(0.
Функция 6 (х) называется функцией Хевисайда'(см. (59.10)) нлн единичной функцией. Она локально интегрируема и потому может рассматриваться как обобщенная функция. Найдем ее производ- ную. Согласно определению (59.18), + еэ + ю (6', Ч ) = — (6 гр') = — $ 6 (х) ф' (х) йх = — $ ф'(х) дх = — еэ о =ф(О)=(5, ф), ф =(у, т. е. 6' =5 (сравните с и. 59.1). 2. В качестве другого примера вычислим производные 5-функции (б~ю, тр)=( — 1) (5, трын) =( — 1)ь ф1а1(0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
