kudryavtsev2a (947416), страница 103

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 103)

Целесообразнее применять приближенные формулы интегрирования, в которые входят только значения самой функции. Подобные методы приближенного интегрирования будут рассмотрены в п. 60.4. Замечание. Для проведения фактических вычислений значений функций или интегралов от иих с помощью разложений функций в ряды годятся далеко не всякие разложения рассмат- *' При переводе простых дробей в десятичные была сделана ошибка, не 1 превышающая — - 1О-е, поэтому суммаркая ошибка при выполненном приближенном вычислении рассматриваемого интеграла, действительно не превышает 1О е.

547 бд.2, Решение уравнений рнваемых функций в ряды. Может случиться, что полученный ряд будет сходиться столь «медленно», что практически он либо совсем будет не пригоден для вычислений, либо потребует неоправданно большого их объема (образно говоря, в этом случае ряд «практически расходится», хотя и «теоретически сходится»). В такой ситуации надо попытаться получить какой-то другой ряд, который будет сходиться достаточно быстро («улучшить сходимость ряда», как обычно говорят) и сумма которого позволит найти значения рассматриваемой функции. Именно так и было сделано выше при рассмотрении метода вычисления логарифмов. Было бы, например, нецелесообразно вычислять даже значение 3 1 )п — с помощью ряда (60.5), хотя ряд и сходится при х= —, а следует для этого воспользоваться рядом (60.6) при х=- —, так 1 5 ' как этот ряд сходится быстрее.

бвйп РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим задачу решения уравнения )" (к) =О. (60.9) Если функция 1 непрерывна на отрезке [а, Ь1 и принимает на концах отрезка значения разного знака, то метод, которым в п, 6.2 была доказана теорема о существовании в этом случае точки х„в которой функция обращается в ноль, дает и приближенный метод вычисления этого значения х„т. е. корня уравнения (60.9).

Для этого достаточно последовательно делить отрезок [а, Ь1 пополам, выбирая каждый раз тот отрезок, на концах которого функция ) принимает значения разного знака (если, конечно, не случится, что водном из получившихся концов функция г обратится в ноль — в этом случае искомый корень будет уже найден). Если требуется найти корень уравнения (60.9) с точностью до заданного е)0, то после л шагов таких, что ь — а — <е, концы получившегося отрезка и будут давать искомое приближение некоторого корня уравнения (60.9) (левый —.с,недостатком, правый — с избытком). Такой способ приближенного решения уравнения (60.9), носящий название <метода вилки», принципиально очень прост, хотя и достаточно трудоемок.

Он большей частью применяется лишь для «грубой прикидки» результата, т. е. для «грубого» определения интервала, на котором лежит искомый корень рассматриваемого уравнения, а затем на этом интервале для отыскания «более точного» значения корня используются другие, быстрее сходящиеся методы; обычно применяется нижеописанный метод касательных («метод Ньютона»).

Как пра- б 60 Некоторые вопросы нриближеннык вычисления вило; по такой схеме действуют при проведении вычислений на быстродействующих вычислительных машинах. Конечно, такой путь целесообразен и прн проведении вычислений «вручную», в частности прн помощи логарифмической линейки нли миникомпьютера. Мы рассмотрим методы решения уравнения, носящие названия метода хорд и метода касательных. Последний из них хорошо обобщается и на случай систем уравнений. В дальнейшем будем всегда предполагать, что функция 1 непрерывна на отрезке (а, Ь) и имеет на этом отрезке первую н вторую производные ", причем обе они знакопостоянны (в частности, отличны от нуля). Мы будем предполагать также, что функция 1 принимает на концах отрезка значения разного знака.

В силу законопостоянства первой производной функция ) строго монотонна, поэтому при сделанных предположениях уравнение (60.9) имсст в точности один корень на интервале (а, Ь). Метод хорд Этот метод состоит в следующем. График функции у заменяется его хордой, т. е. отрезком, соединяющим концевые точки графика функции )"' точки (а, )(а)) и (Ь, у(Ь)). Абсцисса хт точки пересечения этой хорды с осью Ох и рассматривается как первое приближение искомого корня (рис. 234).

Далее берется тот из отрезков 1а, х,| и 1хь Ь'1, на концах которого функция ) принимает значения разного знака (далее будет показано, что при сделанных предположениях ~(хз) ~0 и, следовательно, Рнс. 234 такой отрезок всегда существует), и к нему применяется тот же прием; получается второе приближение корня х, и т. д. В результате образуется последовательность х„, и=1, 2, ..., которая, как это будет показано, при сделанных ограничениях на функцию ) сходится к корню уравнения (60.9).

Легко получить рекуррентные формулы для указанных чисел к„, и= 1, 2, .... Уравнение прямой, проходшцей через крайние точки графика функции ~, имеет вид „=)(') — )(') (, п),)(п). (60.10) " для лчстода хорд достаточно требовать существования первой и второн производных лишь на интервале (а, Ь).

Существование производной в кондак отрезка (а, Ь) будет использовано только в методе касательнык. 549 60.2, Решение ураененаа Найдем абсциссу х, точни пересечения прямой (60.10) с осью бх, т. е. решим уравнение 1(х)=0; получим (Ь вЂ” а) 1(а) 1 (ь) — 1 (а) Легко убедиться, что а(х, Ь (60.11) (60.12) (это, например, следует из строгой монотонности и непрерывности фуниции 1(х) и того, что на концах отрезка (а, Ь) оиа принимает значения разного знака: 1(а)='1(а) и 1(Ь) =~(Ь)) Аналогично находим Покажем, что последовательность (х„) стремится к корню уравнения (60.9) монотонно.

Предположим для определенности, что 1((х))0, 1" (х)~0, а(х(Ь (см. рис. 234). В этом случаефункция 1 строго монотонно возрастает и строго выпукла вниз. Следовательно, любая внутренняя точка хорды, соединяющей крайние точки графика функции 1, лежит над соответствующей точкой графина функции 1, т. е.

1(х) >1(х), а <х< Ь. В частности, если к,— корень уравнения (60.9): )'(хе) =О, то отсюда следует, что 1(хе)- О. Имеем (см. (60.11) и (60.12)): 1(х,) =О, а -х,(Ь. Таням образом, (60.14) 1(х,) 1 (х,), но линейная функция 1(х) строго монотонно возрастает, пбо 1(Ь) =1(Ь) )1(а) =1(а), поэтому из (60.14) следует х1(хе. Заменяя теперь отрезок (а, Ь) отрезном (хм Ь] и замечая, что ~(хе)(0, аналогично докажем, что х,(х,(ке. Обозначим его правую часть через 1(х), т. е. запишем уравнение (60.10) в виде у=1(х). 550 5 50.

Некоторые вопросы приблиткенных вычислений Далее по индукции получим х, < х, «... хп «... хе. Таким образом, последовательность (х„), будучи монотонной и ограниченной, сходится. Пусть 1пп х„=с. Переходя к пределу и со при а-е.оо в равенстве (60.13), получим ~(с)=0, т. е. последовательность (х„) сходится к корню уравнения (60.9). Рис. 235 Если ~~'(х) ~~от)0, а<х<Ь, то нетрудно получить оценку скорости сходимости последовательности (х„) через значения самой функции 1 в точках х„. действительно, 1(х.) =)(х.) — Пхе) =Г (й.) (х.— х.), х„<$„<хе п=1, 2, ...; отсюда ~хп хе~~ е ,'1(хп) / а=1, 2, Остальные случаи, т. е. случаи )'(х))0, 1" (х)<0, 7' (х) < О, 1" (х) ) О, ~'(х)<0, 1" (х)<0, рассматриваются аналогично разобранному (рис.

235). Метод касательных (метод Ньютона) Будем предполагать, что функция р удовлетворяет тем же условиям, что н при рассмотрении метода хорд. Проведем касательную к графику функции р в одной из его концевых точек, например, в точке (д, )(Ь)). Абсцисса х, точки ее пересечения с осью Ох и считается первым приближением корня уравнения (60.9). Далее, если хт ~ (а, Ь) (а это всегда имеет место для одной нз касательных в концевых точках графика см.

ниже), то из двух отрезков [а, хт1 и 1х„Ь) выбирается тот, на концах которого функция 1 принимает значения разного знака (далее будет показано, что ~(хт) чьО). Затем проводится касательная к графику Б0.2. Решение уравнений зз! функции ) в точке (хь )(х,)); точка ее пересечения с осью Ох обозначается х, и т. д. (рис. 236).

Легко получаются рекуррентные формулы для указанных чисел х„, и=1, 2, .... Уравнение. касательной, проходящей через точку (Ь, ~(Ь)), имеет внд у=У' (Ь) (х — Ь)+) (Ь). Обозначим его правую часть через Ь(х), т. е. запишем это уравнение в виде у=А(х). Найдем абсцнссу х, точки пересечения этой касательной с осью Ох, т. е. решим уравнение е. (Х) = О; получим х =Ь вЂ” —, 1(ь) Р (ь) ' Точка х, может лежать, вообще говоря, вне отрезка [а, Ь), т.

Характеристики

Список файлов книги