kudryavtsev2a (947416), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Доказательство. Понажем, что если гре:-Я, то и гр в= 5. Прежде всего, из того, что для каждой функции грев Я при любом й=0, 1, 2, ... функция хьгр(х) является, как показано выше, абсолютно интегрируемой на всей числовой оси, следует согласно теореме 4 из п.
56.10, что преобразование Фурье гг =Р[гр] функции ф существует и представляет собой бесконечно днг)к))еренцируемую функцию. Оценим теперь функцию )упгрьп) (у)), где и и пг — целые неотрицательные числа. Применяя формулы для производной преобразования Фурье (см. п. 56.10) и для преобразования Фурье производной (см. п. 56.8), получим: ~у" го)~) (у) ) =)у"Роп) [гр$ =)уР[х гр]! = +СО )Р[(Хапг))п)]1 [ (Хор (т))(п)Š— гхег(Х 2л,) +со 1 у 2л,1 = 1 1(х"'гр (х))'и) )г(х.
5 59. Обобщенные функции 554 Заметим, что выражение [х ф(х)]гн) в силу правил дифференцирования представляет собой линейную комбинацию выражений вида хгцгг) (х), где р и д — неотрицательные целые и, как это было отмечено выше, гр<г~ екав. Поэтому (см. (59.27)) функции (1+хе)хафгг)(х) ограничены на всей числовой оси, следовательно ограничена и функция (1+ха)[хыф(х)~<', т, е.
зир (1+ х') ' [х гр (х)1~" ~ ~ (+ оо. — го (к <+оэ Разделим и умножим теперь получившееся выше подынтегральное выражение на 1+ х', тогда, принимая во внимание, что +00 дх —, = и получим: 1+ «а +СО ~у"ф<"'~(и) ~ ' — -зпр (1+х ) ~(х"'ф(х))<н) ) ~ — „, = = 1/ — ' ниР (1 -1- х') ) (хыф (х))(") (.
2 к (59.30) Поскольку справа стоит конечная величина, то ~ран Я. Итак, преобразование Фурье отображает Я в Я, при этом это отображение взаимно однозначно (см. лемму 3 п. 56.5). Аналогично доказывается и то, что обратное отображение Фурье Г-г отображает Я в 8 н притом взаимно однозначно. Легко убедиться, что на самом деле эти отображения происходят на пространство 3, т. е. являются биекциями.
Это сразу следует из формул взаимности (59.29) для прямого и обратного преобразований Фурье* ). Действительно, покажем, что и (Я) совпадает со всем пространством 5. Пусть трен5, положим ф=г' т[зи. Тогда Подобным же образом доказывается и то, что гс т(о)=5. Линейность преобразования Фурье отмечалась раньше (см. лемму 2 в п.
56.5). Докажем теперь непрерывность отображения гс. а' Заметим еще, что нз того, что г (5) = г-т (3) = Я, следует, что в форму. лак (59.29) все интегралы существуют в обычном смысле, а ие только в смысле главного значения (сравните с н, 55.5). 59,7.
Преобразование Фурье обобщенньи функций 555 Сначала докажем его непрерывность в нуле. 1пп ер«=0 в 3. Тогда из (59.30) следует, что у" ре '(у)! ~ ~/ -~- зир (1+х') ( (х ~р* (х))'"'1, й=1. 2, х Пусть Но из (59.24) (прн ~р(х) =0) имеем 11т Эир (1-(-Хе) ~ (Хцра(Х))сн> ~ =О; Ь СО Х поэтому 1пп эпр 1У"ерй' ~ (у) (=О, т. е. 1ппер«=0 в Я. Н со « Е СО Поскольку прео5разозаиие Фуоье явля тся лин йиым ото5ражением линейного пространства 5 в себя, непрерывным в нуле, то оио непрерывно и во всех точках этого пространства (см.
лемму 3 в п. 59.2). Таким образом, преобразование Фурье г" непрерывно отображает о на 8. Совершенно аналогично доказывается непрерывность обратного преобразования Фурье Г-'. ( ) 59.7. НРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКНИН Предварительно докажем одно интегральное равенство. Пусть функция г' непрерывна и абсолютно интегрируема на всей числовой оси и пусть цс е-=3, тогда +СО +ОЭ +СО +СО ~р(х)с(х ~ 7(у)е-сх«е(у — )е 1(у)е(у ~ ць(х)е 'х«дх. (5931) Это следует из теоремы 7 п. 54.3.
Действительно, повторный интеграл, стоящий слева, существует, нбо существует интеграл +со 1 +со 1 +со +СО ~ сР(Х) )е 7'(У)Е-'х«Е(У НХ==. )е )еР(Х) (ЙХ ~ (~(У) ) ду. Если (а, Ь] — произвольный отрезок, то функция 1' в силу ее непрерывности ограничена на [а, Ь): ))'(у) ~ ( М; поэтому !1 (у) ер (х)е-'"«! «: М ! ~р (х) '„а ( у ~ Ь. .С СО Отсюда в силу сходимости интеграла ~ ~ р(у) ~ ь(х следует рав- +СО номерная сходимость интеграла 1(у) ~ ~р (х)е-' «ь(х на отрезке (а, Ь'1. Р б9. Обобщенные фрнкц»»»» Далее, ~»р(х)( ~се е, — со(х<+оо (см. 59.23)); поэтому ~ф(х)7(у)е "е~-.=еь,ьЧ(у)~, н так как интеграл $ ~7(у)~йу сходится, то интеграл »р (х) ~ ~(у)е-'кеду равномерно сходится на всей оси.
Наконец, интеграл йх ~ ~ »р(х)7" (у)елке!йу= ~ ~ср(х)~йх ~ )~(у)~йу конечен, поэтому в рассматриваемом случае выполнены все условия теоремы 7 п. 54.3 и„следовательно, можно переставить порядок интегрирования. Равенство (59.31) доказано.
Если функция РЯ порождает некоторый функционал на Я (например, удовлетворяет условию (59.25) или абсолотпо ннтегрнруема на всей числовой оси), то, умножив равенство (59.31) на 1()Г2п, получим (Р И р) = ()'. Р Ы), р ен 8. (59.32) Эту формулу и примем за определение преобразования Фурье, обобщенных функций из пространства о'.
Определение 23. Преобразованием Фурье обоби(енной функции Г ы 5' назыеаелхя функционал Р и, определяемый формулой (59,32). Итак, для любой обобщенной функции г из Я' определено ее преобразование Фурье РЩ: значение функционала РЯ в любой точке»р пространства Я равно значению функционала в точке Р[ер1 ~ 8. В качестве примера найдем преобразование Фурье единицы, рассматриваемой как обобщенная функция. Очевидно 1 ~ 5'. Имеем: +»о +е» у г'2 +о» +»о =)'2п —, ~ йу ) <р(х)е'еу-н»йх'к=о= = $/2п»р(1)!с=ь=У2п(6, <р) (мы воспользовались здесь леммой 1 и.
56.5. Таким образом, 1 =)» 2пб. Отметим, что преобразование Фурье Р[ер) функции»р ен О, вообще говоря, ие принадлежит пространству Р, поскольку Р[»р) бйд Преобразование Фурье обобщенных Фунеций ззт не всегда является фннитной функцией. Поэтому формула (59.32» имеет смысл не для всех [ енВ'. Из-за этого обстоятельства при рассмотрении преобразования Фурье обобщенных функций нам и пришлось сузить класс обобщенных функций, введенных раньше, ограничившись только обобщенными функциями медлен- ного роста, Преобразование Фурье Р[)» обобщенной функции ) будем обозначать также символом р или символом +ьь — 1 р (х)г-"е ах. 1~уй е Таким образом, равенство +СΠ— ~ )(х)е-"ейх=г" [П (59.33) е' йа в случае, когд໠— обобщенная функция, является определением символа, стоящего в левой части этого равенства.
Определив преобразование Фурье для всех обобщенных функ- ций из 5', мы, в частности, определили и преобразование Фурье для обычных функций [, удовлетворяющих условию (59.25), т. е. функций существенно более широкого класса, чем это было сделано раньше (см. п. 56.5 и 58.7е). Это является одним из весьма существенных обстоятельств, оправдывающих целесооб- разность введения понятия обобщенных функций. Покажем, что преобразование Фурье обобщенных функций обладает рядом свойств, аналогичных свойствам классического преобразования Фурье, т. е. преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций.
Лемма 7. Преобразование Фурье Г Я обобщенной Функции )'~ 5', также является обобщенной функцией класса 5', т. е. г Я вЂ” линейный и непрерывный ерункционал над яространсаыоле 5, Доказательство. Проверим линейность преобразования Фурье, т. е. покажем, что, какова бы ни была обобщенная функция ген 5', для любых функций <ран 5, фа:-5 и любых чи- сел ) и р справедливо равенство (РИ. ) Р+Рф)=» (Р[ПР)+Р(Р[Л ф).
Действительно, '(р[Л ) р+рм)='.()', р[» р+М)= =Ч. ~х[ц1+ррЖ)=М. рЫ)+рй р[фЭ= =» (р[ц. ф)+р(р[Л ф). Проверим непрерывность преобразования Фурье. Пусть р Й ен 5', ~р я 5, ер„ ен 5, и = !, 2, ..., !пп ьз„ = ~р и, следовательно э" бз. Обобщенные функции (см. теорему 1 п. 59.6), 1!гп Р [<р„] = Р [ео]. Тогда в силу непрерывности функционала ) на 5 получим 1пп (Р[Л, ео,)= 1!т (), Р[<р„]) =(), Р[~р]) =(Ри, ~р).
Итак, мы показали, что если ) ен 5', то и Р[Лен 5', [] Естественно определяется и обратное преобразование Фурье Р-'[Л элемента [ен 5' как функционал пространства 5', задаваемый формулой (Р'[Л, р)=К Р'Ы) ч ен5. Если г — абсолютно интегрируемая непрерывная функция, это равенство выполняется для нее в обычном смысле, Это проверяется так же, как и в случае формулы (59.31). По определению, полагается также (ср.
(59.33)) +СО г' 2п = ] г" (х)е'кедх=Р-'[Л. (59.34) Как и в случае прямого преобразования Фурье Р, показывается, что если )'ен5', то и Р-'[Лен 5'. Теорема 2. Преобразование Фурье Р и обратное преобразование Фурье Р-~ отображают линейно, взаимно однозначно и непрерывно пространство 5' на себя; при этом для любого элемента г ен 5' справедливы равенства Р '[РУУ=Р[Р 'УУ=1 (59.35) До к аз атель ство.
Докажем сначала формулы (59.35). Для любого элемента <у~5 имеем (Р' '[РУУ ч) =(Р[Л, Р 'Ы) =К Р[Р '[цУ) =([, ц). Аналогично, (Р[Р'[Л] й=(Р'[Л РЫ)=(Р Р'[Р[чУ)=Ч р). Покажем теперь, что преобразование Фурье Р отображает пространство 5' на все пространство 5': Р(5') = 5'. Пусть а ен 5', тогда если 1=Р '[й], то Р[Л=Р[Р-'[дУ=а, т. е. в любой элемент из 5' при преобразовании Фурье Р отображается некоторый элемент из 5'. Покажем, что Р взаимно однозначно. Если г, ен 5', (е ен 5' и Р[!1]=Р[Я, то и Р-'[Р[7дУ=Р-'[Р[ЯД, откуда в салу (59.35) имеем [,=~,.
Покажем, что отображение Р линейно, т. е. для любых обобщенных функций )'ен5', д~ 5' и любых чисел Л и р справед- БУ.7. Преобразование фурье обобсценньск функций пиво равенство РЯ+ ра] =) Р[Л+ рРЫ. Чтобы убедиться в справедливости этого равенства, проверим его для любого, но фиксированного элемента ср ен Я: (Р[Л)+ру], р)=()!+рд, Р[р])=).д, Р[р])+р(у, Р[р])=- =.Л(РЩ, ~)+р(Р[у], чй=РРЩ+рР[у], ц>). Наконец, докажем, что Р является непрерывным отображением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
