kudryavtsev2a (947416), страница 85
Текст из файла (страница 85)
л=! Отметим, что сумма ряда в пространстве с полускалярным произведением определена неоднозначно. Однако, если з= ~ хл л=- ! и во= Я хл, т. е. з и з* суть суммы одного и того же ряда, л.=- ! то 1зо — з(= О (см. и. 57.5), и потому для любого элемента а ен Х имеет место равенство (во, а) = (з, а). Действительно, в силу неравенства Коши — Шварца для полускалярного произведения 1(эо, а) — (в, а)1=/(в* — в, а)1-=1э* — з)1а1=0. Из непрерывности полускалярного произведения во всем про- странстве следует, например, что ряды в пространстве с полу- скалярным произведением можно умножать почленно не только на числовые множители, но и на элементы самого пространства.
Докажем это. Лемма 12. Пусть в пространстве Х с полускалярным произ- ведением задан сходяи(ийся ряд ОЭ хо=э, хаен Х, п=1, 2, ..., л=! Тогда для всякого элемента а~Х числовой ряд, по,!уча!оп(ийся из данного поцленным умножением его на а, также сходится и Я (х„, а)=(з, а).
л=! 67.9. Свойства иинейнык простринств со ски»иерни!м произведением 4ЭЗ Иначе говоря, для сходящегося ряда '~', хл и любого элеи=! мента а ~ Х справедливо равенство (х„, а) = ~ У', хл, а !. До к аз а тельство. Поскольку л з= 1пп 'У, 'х„, л" »»е то О» л / л Х!*.. !-1-Х!*,. е- -(Х....)= л=! л сле ! л»» л -(-х". )=!*, !л л»!, Пример. Рассмотрим пространство )т!.е[а, Ь] из примера 3 п. 57.8. Пусть ряд ~Ч~ ~7„(1) функций[„~)гг.е[а, Ь]сходится вэтом л=! пространстве к функции )ей)к!.е[а, Ь]: О» Х 1 Я=7(!). 165[а Ь]. л=! т.
е. последовательность частичных сумм л В. (1) лл,'7,' 1и (1) и=! этого ряда сходится к функции 7 в смысле среднего квадратичного: 1пп ЯЯ вЂ” в„(1)]е Ж =О. л и»„ Тогда для любой функции !р(х) енЖе[а, Ь] согласно лемме 12 (!' р)= ):; (!'" р). л=! т. е. ~ [ (х) тр (х) !1х = ~ ~ !'„(х) тр (х) !(х.
а л !а Э 57, Функциональные пространства В частности, при гр=1 )) (х) дх= ~ч, '~)„(х) дх. а л=га Иначе говоря, >1 со ь ~ ~ ~ч„'7„(х)~ г(х= ~~ ))„(х) с(х. л л=! л=-га Итак, если ряд функций с интегрируемым квадратом на отрезке [а, Ь1 сходится на нем в смысле среднего квадратичного к некоторой функции также с интегрируемым квадратом на '(а, Ь1 пю ряд можно почленно интегрировогпь.
Поскольку из равномерной сходимости последовательности непрерывных функций вытекает сходимость этой последовательности к той же функции н в смысле среднего квадратичного (см. п. 57.4), то из доказанного здесь утверждения следует, что если ряд непрерывных функций сходится на отрезке равномерно, то его можно поцленно интегрировопгь. Этот результат был получен нами ранее другим путем в главе о рядах (см. теорему 9 в п. 36.4). Определение 36. Два линейных проснгранства Х и У со скалярным (полускалярным) произведением называются изоморфными, если они изоморфны как линейные пространства, и отображение г', отображающее пространство Х на пространство У и осуществляющее этот изоморфизм, сохраняет скалярное произведение (полускалярное произведение), т. е.
для любых двух элементов х ен Х и у ен Х вьпголняется равенство (х, у) =(г'(х), 7'(у)). Два изоморфных линейных пространства со скалярным (полу- скалярным) произведением могут отличаться лишь природой своих элементов, а не метрическими свойствами, поэтому в дальнейшем изоморфные линейные пространства со скалярным (полускалярным) произведением часто не будут различаться.
Поясним это на примере. Пусть Х и У* — линейные пространства со скалярным (полускалярным) произведением и пусть 7"— изоморфное отображение пространства Х на множество Ус: У*. Тогда, «отождествляя> элементы пространства Х с соответствующими им элементами множества У, можно рассматривать пространство Х как подпространство пространства У*. Под этим понимается (сравните с соответствующими конструкциями в п, 57.1 и и.
57.5) рассмотрение линейного пространства Х*, состоящего из элементов пространства Х и элементов множества У",У. При этом в пространстве Х* операции сложения элементов и умножения их па число вводятся так же, нан это было сделано после определения 27 в п. 57.5, а скалярное (полускалярное) пропзве- Б7.9. Свойства линейных пространств ео скалярным нроизаеделаем 456 дение (х, д)»., х ен Х*, у ен Х* определяется в пространстве через скалярное (полускалярное) произведение в пространстве у а посредством биекнии г":Ха-+ х"а, задаваемое формулой (57.19), следующим образом: (х, д)х.=(Р(х), Р(у)), где в правой части стоит скалярное (полускалярное) произведение в пространстве Ув.
Легко проверить, что пространство Х* изоморфно пространству х'а. У п р аж нани и 22. Доказать, что все л-мсрные лннсйныо пространства со скалнрпым произведением изоморфны между собой. 22. Доказать, что всякое л-мерное линейное пространство со скалярным произведенном полно в смысле метрики, порожденной скалнрным произведением. Определение 37. Линейное пространство со скалярнььм произведением, полное в смысле метрики, порожденной заданным скалярным произведением, называется гильберптовым '~ пространством. Просто же линейное пространство со скалярным произведением называют также предгильбертовым пространспиом. Зто название оправдывается следующей теоремой.
Теорема 4. Всякое предгильбертсво пространство Х содержится и плотно в некотором гильбертовом пространстве Ха. Доказательство. Согласно теореме 1 п. 57.1 и теореме 3 п. 57.6, достаточно показать, что на пополнение Х* линейного нормированного пространства Х можно продолжить с Х скалярное произведение с сохранением свойств 1' — 4'. Зто можно сделать с помощью предельного перехода.
Действительно, поскольку Х=Х*, то для любой пары точек х он Х* и дан Х* существуют последовательности точек х„ я Х, у„ ен Х, и = 1, 2, ..., такие, что 1пп х„=х, 1пп у„=у. Покажем, что существует !!щ (х„, у„). В самом деле, из е оь неравенства (57.33) следует, что для всех натуральных и и и ~ (хмт ум) (хат уа)! ~(хна хл11уе(+(ха)!!ум уа$. Так как в силу сходимости последовательности (х„) и (у„) ограничены по норме и являются фундаментальными, то из этого неравенства следует, что числовая последовательность ((х„, у„)) также фундаментальная и, следовательно, сходится. Положим, по определению, (х, у)= 1пп (х„, у,).
Легко пров сО верить, используя предельный переход, что это определение не зависит от выбора последовательностей (х„) и (у„), таких, что "' Д. Гильберт (1862 — 1943) — немецкий математик. у 67. Фрнкционо.!ьнис лрострлнство х„«х, ул-ь-у, и что для таким образом определенной функции (х, у) выполняются свойства 1' — 4' скалярного произведения. 11 Полученное гильбертово пространство называется пополнением исходного предгильбертова пространства. Примером гильбертова пространства является и-мерное евклидово пространство (см.
(57.8)). Другие примеры будут рассмотрены далее. Уп р еж пение 23. Доказать, что предтильбертово простренство, изоыорфное гильбертову прострзнству, само является гнльбертовым. 57.10. ПРОСТРАНСТВО Г.е )„(х) = — 1«х« — -„—, 1 — 1, если 1 1 — — =-х - —, и и' (57.34) пх, если 1, если 1 — «х«! и п = 1, 2, ...
(рис. 225). Очевидно, что функции т(,(х), п=1, 2, ..., непрерывны на отрезке [ — 1; 11. Замечая далее, что ~[„(х) ~ ==-1, имеем для т, и ! !!л [),— ~,1!и= ~ ([„(х) — ~,„(х)~Я дхлл ~ )1„(х) — [ (х)(ес(х=.- — ! — !!л !/л !/л [1 [„(х) ~+ ', [ (х) ~)я с(х «4 ~ дх = - —, -!!л — !!л Напомним (см. пример 3 в и. 57,8), что линейное пространство непрерывных на отрезке [а, Ь1 функций со скалярным произ- ведением, определенным по формуле зт (57.30) обозначается через С!.,[а, Ь).
Норма в пространстве СЕе[а, Ь1 оп- ределяется (57.31). ! Лемма 13. Пространство Сйя[а, Ь] ! ! ! не является гильбертовым. -т т в т Доказательство. Чтобы убедить- ! -и! а 1 ~ ся, что всякое пространство Сйя [а, Ь) не является полным, достаточно рассмотРеть пРостРанство СЕя[а, Ь1 длЯ некоторого фиксированного отрезка (почему?). Возьмем для определенности отрезок [ — 1, 1) и приведем пример фундаментальной в пространстве СЕя [ — 1, 11 последовательности функций, не сходящейся в этом пространстве. Положим 457 57ПО. Пространство Ее откуда, очевидно, следует, что последовательность (57.34) — фундаментальная в пространстве СЬ2[а, Ь). Действительно, если задано е ) О, то выбирая и, так, что 31'па(в Дла всех а~па и всех т>л, бУДем иметь 17"„— 7 ,'~( ( — ==- -(е.
Поскольку 8 8 л л„ вЂ” 1 при — ! (х(0, !!1пт 7„(х) = 0 при х= 0, 1 при 0(х( 1, то естественно ожидать, что если последовательность [1„) сходится в смысле среднего квадратичного, то она сходится к той же функции, к которой она сходится поточечно, т. е. к функции (см. рис. 226): — 1 при — 1 .:х(0, 7(х)с=" 0 при х=О, 1 при О ( к =-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
