kudryavtsev2a (947416), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Результат скалярного (полускалярного) умножения двух элементов х еп Х, и у е= 1' называется их скалярным (полускалярным) произведением (х, у). Линейные пространства, для элементов которых определена операция скалярного (полускалярного) умножения, называются линейными пространствами со скалярным (полу- скалярным) произведением. з у7. Функционольныа пространства Лемма 9. Для любой пари векторов х и у линейноео щюстрамства Х с полускалярным произведемиела справедливо неравенство (х, у)' =(х, х)(у, у)„ (57.26) которое называется неравенством Коши — Шварца.
Доказательство. Для любого действительного числа Л в силу свойства 3 полускалярного умножения имеем (Лх+ д, Лх+ у) ) О. Применив свойства 1' н 2' полускалярного умножения, получим: ЛЯ(х, х)+2Л(х, у)+(д, у) ~0. Если (х, х) =О, то 2Л(х, у)+(у, д) гяО. Поскольку это справедливо для любого действительного Л, то (х, д)=0 и, следовательно, неравенство (57.26) справедливо — обе его части обращаются в ноль.
Если же (х, х) ~0, тодискриминант получившегося квадратичного относительно Л трехчлена неположителен: (х, у)' — (х, х) (у, у) ==О, что равносильно условию (55.26). Следствие, Для любой пари векпюров линейного пространства с полускалярнылт произведением справедливо неравенство )l (х+у, х-)-у) () (х, х)+)/(у, у), х~Х, уен Х.
Действительно, применив неравенство Коши — Шварца, получим: (х+у, х+у) =(х, х)+2(х, у)+(у, у) ( ==(х, х)+2 3/(х, х)(у, у)+(у, у) =[)Г(х, х)+)7(у у)$ [ [. У п р а ж и с я и е 20. Доказать, что в комплексяом линейном пространстве Х с полускаляриым произведением выполняется неравенство /(х, у)!' == (х, х) (у, у), х св Х, у ся Х. Если в линейном пространстве Х с полускалярным произведением положить )!х,",='у' (х, х), хек Х, (57.27) то функция (х! удовлетворяет свойствам 1' — 3' полунормы. Свойство !' полунормы следует из свойства 3' полускалярного умножения, свойство 2' — из свойства 2', свойство 3' полупормы — из следствия леммы 9.
Если же полускалярное умножение является скалярным, то полунорма (57.27) является нормой. Действительно, свойство 4 нормы следует из свойства 4 скалярного умножения. Таким образом, мы доказали следующее утверждение. 57.8, Яроягеры линейных прогтрояегв со скалярным произведением 449 Лемма 1О. Каждое линейное пространство со скалярным (соотвепгственно полускалярным) произведением является нормированным (соответственно полунормированным) пространством с нормой (соответственно полунормой), определяемой формулой (57.27), а следовательно, и метрическим пространством с метрикой (57.20). Полунорму (57.27) будем называть полунормой (соответственно нормой), порожденной заданным полускалярным (скалярным) произведением.
Расстояние (57.20), порожденное нормой (57.27) линейного пространства со скалярным произведением, будем также называть расстоянием, порожденным заданным скалярным произведением. Применяя обозначение полунормы, неравенство (57.26) можно переписать в виде (57.28) 1(х, у) ~ =-(х,'~(у(. 57.8. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ 1. В множестве действительных чисел )с обычная операция умножения является н скалярным умножением в смысле определения 34. В множестве комплексных чисел С скалярным произведением чисел х и у является произведение хд. 2. Действительное арифметическое и-мерное векторное пространство )ся, в котором скалярное произведение векторов х= = (х„ ..., х„) ен 77я и у = (уг, ..., у ) ен Р' определяется по формуле (см.
(18.32) в п. 18.4) (х, у)=х,у,+...+х„у„ является линейным пространством со скалярным произведением в смысле определения 34 п. 57.7. В этом случае норма элемента хек)со совпадает с его длиной ~х~ (см. п. 57.4, пример 2): а соответствующая метрика с расстоянием в и-мерном арифмети- ческом точечном пространстве: р (х, у) =)х — у(=)'(х„— у,)'+...+(х„— у,)'. Напомним, что для этого пространства неравенство Коши— Шварпа было доказано нами раньше (см.
лемму 1 в п. 18.1 и неравенство (18.39) в п. 18.4). В арифметическом комплексном пространстве С" (см. п. 57.2) скалярное произведение вводится по формуле (х, у) = хгйг+... + х„у„, х= (хг, ..., х„) я: С", у = (у„ ..., у„) ен С". гб куягявцяв л. д. я, 2 8 87. Фунниионольные пространства ь ~И)а(Е) ЕЕ. (57.29) а Поскольку, кроме того, в любой не являющейся особой для функции Е нли д точке х справедливо неравенство МЕ) й(ЕН =-"") +"") "'. то интеграл (57.29) сходится, и притом абсолютно.
Полускалярное произведение в этом пространстве определяется формулой ь (Е, й) = 1 Е (Е) й (е) (Е. (57.39) а Свойства. 1', 2', 3' полускалярного произведения легко проверяются. Полученное пространство с полускалярным произведением (57.30) будем также обозначать через Ыа(а, Ь). Заметим, что неравенство (57.26) в этом случае может быть записано следующим образом: ;ь 'а ь ь ($Е(Е)а(Е) и(,) ==$Е'(Е) й$а'(Е) Е; а а оно является частным случаем неравенства Гельдера (см. п. 28.4*) при р = т) = 2 и называется неравенством Коши — Буняковского *а).
Полунорма, порожденная полускалярным произведением (57.30), имеет, очевидно, внд Гь )П=~/ ~Е(Е) (Е, а (57.31) *' Оно следует на оеевндното неравенства (П р) , '— (а(Е)))а~о. "*' В. Ят Буннковскна (!804 — 1889) — русскна математнк. 3. Рассмотрим линейное полунормированное пространство Жа(а, Ь) из примера 8, п. 57.4, состоящее из функций с интегрируемым (вообще говоря, в несобственном смысле) на отрезке [а, Ь| квадратом, т. е. из таких функций Е, для которых ь ~ Еа (Е) с(Е -1- оо.
Пусть ЕяИа(а, Ь) и пя К.т(а, Ь). Вспомним, что произведение функций, интегрируемых по Рнману на некотором отрезке, также интегрируемо по Рнману на этом отрезке. Поэтому на любом отрезке (с, т)) ~ (а, Ь), не содержащем особых точек функций Е и д (см. п. 55.1), произведение Ест также интегрируемо по Риману, и следовательно имеет смысл рассматривать несобственный инте- грал 57.9. Свойства линейных пространств со схалярпып пропзведением 4бь т. е. совпадает с полунормой (57.15), рассмотренной в примере 8, и. 57.4 при р=2.
Отсюда следует, что полускалярное произведение (57.30) не является скалярным, так как в п. 57.4 было установлено, что полунорма (57.15) не является нормой при всех р-- Однако, в подпространстве С(.з[а, Ь) пространства И,з[а, Ь), состоящем только из функций, непрерывных на отрезке [а, Ь), полускаляриое произведение (57.30) является уже скалярным, ибо, как было показано в примере 9, п. 57.4, в этом случае "1 [)в =)Г(~, [), (' е= С( я [а, Ь) является яе только полунормой, но и нормой.
Для расстояния между двумя непрерывными функциями ( и а в этом пространстве получаем формулу (ь 1!гз р([, д) =1[ — д(=1) [[(х) — д(х)]ейх) . (57.32) а Мы уже встречались со сходнмостью функций в смысле этой метрики: см., например, следствие теоремы 12 в п.
55.9. Все сказанное естественным образом распространяется и на функции, определенные на любом бесконечном промежутке, в частности на всей оси. У п р а ж н е н и е 21. Пусть Х вЂ” линейное пространство с полускалярным пронзведевнем. Элементы х ьн Х и у т 'г' называются эквивалентными, если (х — у (з= — (х — у, х — у) =О. Обозначим через Х множество, элементами которого являются классы эквивалентных элементов пространства Х. Пусть х тХ, уеэХ, хнах, угиу, Л и и — числа.
Определим Лх+ру как элемент множества Х, содержащий Лх+ру, и положим (х, у)=(х, у). Доказать, что эти определения корректны, т. е. не зависят от выбора элементов х т х и у ту, и что Х является линейным пространством, а (х, у) — скалярным произведенном в нем. 57.9. СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА Линейное пространство с полускалярным произведением является согласно (57.27) и полунормированным. Поэтому для него определено понятие сходящейся последовательности, ее предела, и понятие непрерывной функции (см. п. 57.5).
Лемма 1!. Полускалярное произведение (х, у) является непрерывной функцией (см. п. 57.5) своих аргументов х и у на лгножестве Х х Х, на котором оно задано: х ен Х, у ен Х. Доказательство. В самом деле для любых х, я Х, у,АХ, хан Х и уен Х выполняется неравенство ) (хо, уь) — (х, у) ! = ! (хэ — х, уе) + (х, ув — у) ( ~ .==) хо — х)) уа)+) х) )у — уо) (57 ЗЗ) 15* 452 Э В7. Фуннционо.!оные проетранетво из которого сразу следует указанная непрерывность полускаляр- ного произведения. Действительно, если х ен У(х„б), у ен У (у„б), то, заметив, что (х(((х — хо(+1хо1 с,(хо(+б, из (5733) полУчим ! (х, уо) — (х, у) ~ ( б 1 уо1+ (! х, !+ 5) б.
Отсюда следует, что прн любом фиксированном числе е) 0 всегда можно выбрать 5 =5(з) )0 так, что при х ен(7(х„б), у он У(у„б) выполняется неравенство ~(хо, уо) — (х, у)/< е; для этого доста- точно выбРать б) О так, чтобы 51до1+(1хо1+б) б(г; это, оче- видно, всегда возможно. П В пространстве Х с полускаляриым произведением можно говорить о сходимости рядов по полунорме, порожденной полу- скалярным произведением: ряд Я хл, х„ он Х, х = 1, 2,..., назыл= ! вается сходяи1имся, если последовательность его частичных сумм ел= Я хл сходится по указанной полупорме к некоторому злео=! менту з ен Х, который называется суммой ряда: в= ~ч~ хл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
