kudryavtsev2a (947416), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Следовательно, в нем существует базис 1еь ..., е„», состоящий из некоторого числа в ~ У его элементов, и для любого х е= Х имеется и притом единственное разложение х =хеег+...+х,ен. Пусть 1х~ — некоторая норма в пространстве Х. Покажем, что.она эквивалентна квадратичной норме ~*ь=3' нг...~:4. Поскольку две нормы, каждая из которых эквивалентна третьей, также эквивалентны между собой, то из этого и будет следовать, чта все нормы любого конечномерного пространства эквивалентны. Прежде всего заметим, что с, а-'11е,1+...+1е,1) О, ибо для всех й=1, 2, ..., л, имеет место неравенство ее=~О, и, следовательно, 1ее~)0. Далее, из очевидного неравенства !~елг...т-*:-1*н Й-1 2 .". получим, используя свойство нормы, неравенство цх1=1хгег+...+х„е„1== ~хг~1ег~+...+ ( х„, '~е„1( =(1е,'1+...+1е 1)'1х~а=сь~х1м Итак, существует такое с,) О, что для любого х ен Х 1х1( с,1х1е.
Докажем теперь, что 'существует такое ва) О, что 1х1= се1х1е. Поскольку в случае х=О это неравенство очевидно выполняется при любом се)0, то его достаточно доказать лишь для хФО. Выберем базис ~ем ..., е„'1 в пространстве Х, так чтобы он состоял из единичных в смысле квадратичной нормы векторов 1ег1е —— ...— — 1е„1е= 1. Э1О ВСЕГДа ВОЗМОЖНО, таК КаК ЕСЛИ ~Ео ..., Е„1 — КаКОй-тО баЗПС ЛИ- нейного пространства, а 1 1 какая-либо норма в зго1л пространстве, то также будет его базисом, причем норма всех его элементов будет равна 1: ее 1 1 — = — 1ва1=1, й=1, 2, ..., щ 1 ее 1 Б7.4. Примеры нормированных и лолунормнрозаниыхпространств 429 Пространство Х с выбранным базисом можно рассматривать как арифметическое и-мерное пространство (см.
п. 18.4). Для этого достаточно каждому его вектору х=хтет+...+х„еи сопоставить упорядоченный набор и чисел (х„..., х„) — его координат относительно указанного базиса. При этом квадратичная ноРма 1х1з ЯвлЯетсЯ Длиной вектоРа х: 1Х1з= Ргх',+...+ха= ~х (. Единичная сфера 5 -'=(х:х',+...+х,'=1) этого пространства является, как известно (см. п.
18.3 и и. 18.4), компактом; Рассмотрим на ней функцию г(х) — '— ')х( Из неравенства (~(х) — 1(у) ( = ~1х) — (у) ( ==1х — у(в1( ~ст(х — у)з=сь~х — у), хе-:Х, ус= Х, следует, что эта функция непрерывна на всем пространстве Х и, следовательно, на сфере 5и-т. Поскольку для любой точки хе-=5и-' имеем 1х1з=1, то х~ьО, а потому в силу свойства 4' нормы функция ) удовлетворяет на сфере 5 т неравенству 1(х) =-1х1..з О.
Согласно теореме Вейеризтрасса всякая непрерывная на компакте функция достигает иа нем своего минимального значения. Пусть функция 1 достигает свой минимум на сфере 5н-ь в тачке х, ~5"-'. Положим с, "* пи'и 1'(х) =) (хе) - О. кыз" х Тогда для любого х ен 5н-д будем иметь: )х)=К(х)-"-~(хз) =с,. Теперь, заметив, что для каждого хан Х, х~ О, точка — „лежит на сфере 5 .": 1 х и, следовательно, для нее ~ †, , 1'=-сз получим 1х ( = ~ 1 ~ 1, —, ~~ = — з —,„11л ( ~ ~з ( ~(, '1.1,|=1~1 1*( т. е 1х~1)сз(х)з, де†= Х, хт О.
Эквивалентность норм (х( и 1х)з доказана. ( ) *' Мы воспользовались здесь неравенством ",х",— (у) =-1х — уй Оно справедливо для любых злементов полунормированного пространства и легко следует из свойства 3' полуаормы в определении 21 (см. виже лемму 4 в п. бг.б). 4 а7. Функциональнехе пространства 5. Пусть снова 1 =р + оо. Рассмотрим линейное подпространство всех последовательностей х= (х„ ..., хл, ...), хл е= !!г (или хл ен С), состоящее из таких последовательностей, для которых ! ' 1х) ='~~ ~х„)т) н +ос. л=! (57.10) (57.11) где 1х(=1х)х и (Ах(=(Ах(,. В случае произвольно выбранных линейных пространств Х и У может оказаться, что верхняя грань ) А)!, определяемая равенством (57.11), не будет конечной для всякого линейного оператора А: Х вЂ” !-У.
Пусть Х(Х, У) как всегда (см. п. 57.2) — множество всех линейных операторов А, отображающих пространство Х в пространство У, Ж,(Х, У) — множество тех из них, для которых 1А(с +со. Покажем, что Ж,(Х, У) также является линейным пространством, а (А( — нормой в нем. Если А еи,х,(Х, У) и В~Ж,(Х, У), то )А+В)= зир (!(А+В)х)= аир (Ак+Вх~~,- !!х! < ! !хе<! — зир (1Ах1+1Вх() = зир (Ах(-+ зир (Вх(=(А(+~В) Цхь<! тх!<! мн!< ! и, следовательно, А+В~Я,(Х, У). Для любого Л~Я (или Л~ С в случае комплексных пространств) (ЛА(= зир (ЛАх(= зир ,'Л((Ак(= !~к!а;1 Их!< 1 = ( Л ! зир ( Ах 3 = ! Л ! ( А ( <+ оз Нх! К! ФУнкпиа 1х !и ЯвлЯетсЯ ноРмой, что пРовеРЯетса аналогично конечному случаю (см.
пример 4), так как, в частности, неравенство Минковского справедливо и длч бесконечных сумм. В случае, когда все элементы рассматриваемых последовательностей †действительн числа, их пространство с нормой (57.10) обозначается через 1„. 6. В п. 41.6 для линейного оператора А:)7л-нй была введена норма по формуле (см. (41.41)) )А)= зир ~Ах~, хе=)7л. $хь< ! Это действительно норма, в смысле определения п. 57,3, в линейном пространстве Ж()сл, )г ), что будет следовать из дальнейших рассмотрений. Пусть Х и У в произвольные линейные нормированные пространства и А:Х вЂ” ь. У вЂ” линейный оператор.
Положим ( А !ь 4м зар ( Ах (, 6хь< ! отк4. Примеры нормированных и аолунормированньтхнространств 43! и, следовательно, ЛА ~Хс(Х, У). Таким образом а,(Х, У) дей- ствительно является линейным пространством. Далее, очевидно, что из (57.11) непосредственно следует, что 1А1»0. Прн этом, если 1А1=0, т. е.
зир 1Ах(= О, то для всех х !хО< ! таких, что 1х1 =1 имеет место равенство 1Ах1=0, а следова- тельно, и Ах=О. Но тогда и вообше для всех хек Х также имеем Ах=О. Действительно, если х такой элемент простран- ства Х, что 1х1~ 1, то заведомо хФ О, а значит 1,: ~1= ',1х1=' / х ! Поэтому в силу уже доказанного А!, .)=О. Отсюда —,Ах=О (х) и, следовательно, для любога х~ Х: Ах=О.
Это означает, что А =О. Итак, 1А1 — действительно норма в пространстве Х,(Х, У). Если значение 1 А 1, определяемое формулой (57.11) бесконечно: 1А1=+ са, то будем говорить, что норма оператора А беско- нечна. Норму 1А1 (как конечную, так и бесконечную) можно полу- чить и несколько другим способом. Именно, оказывается, что 1А1=зир ' "1, хе= Х. (57.12) х~в 1х1 Для доказательства этой формулы заметим, что зир 1Ах1= зир 1Ау1. (57.13) !!х!<1 !!у!!= 1 В самом деле, с одной стороны, очевидна, что зир 1Ах1» зир 1Ау1, !!х!!«1 !у! 1 иба при увеличении числового множества его верхняя грань может только увеличиваться. С другой стороны, для любого эле- мента х~Х, такого что 0<~!х1«1, положим у~ — ' — ' —,; тогда 1у1=1 и 1Ау1= — 1Ах1»1Ах1.
Отсюда 1 (х1 зир 1Ах1=-. аир 1Ау1. /(х!«1 !!у!=1 Из полученных неравенств и вытекает равенство (57.13). Теперь имеем: (~х~ „~! хмв 1 ~~ х~а 1" !" Ов,'=1 !!ужт т. е. формула (57.12) также доказана. Из нее очевидно следует, что для любого х е= Х, х ~ О, 1 Ах 1)1 х1 «1 А 1, э" 57.Функциональные пространства и следовательно, для любого х ~ Х имеет место неравенство 1 Ах! ~1 А11х 1, где1х1 — норма в пространстве Х, 1Ах1 — норма в пространстве У, а 1А1 — норма в пространстве 2'(Х, У).
Это неравенство, оче- видно, является обобщением неравенства (4!.42) в п.'4!.6. Существует еще один подход к понятию нормы оператора, связанный с понятием так называемых ограниченных операторов. Определение 24. Оператор А: Х-о- У называется ограниченным, если существует такая постоянная с) О, что для всех элементов х ен Х выполняется неравенство 1 Ах 1 ~ с1х 1. Если А — линейный ограниченный оператор, то все постоян- ные с)О, обладающие указанным свойством, ограничены снизу нулем, и потому их множество имеет конечную нижнюю грань. Обозначим ее через с,: со=!п!(с:1Ах»===с»х1, хе= Х». Покажем, что со=1А1.
Прежде всего заметим, что справедливо неравенство !Ах»-= со»х1. В самом деле, если бы нашелся такой элемент хоан Х, что 1Ах,1)с,1х,1, то нашлось бы число е О, для которого выполняется неравенство ~! Ахо») (с,+е)1хо1. Однако это невозможно, так как согласно определению нижней грани существует такое число с >О, что с(со+е и для всех хан Х выполняется неравенство 1Ах1 =с1х1. В частности 1Ахо1~с»хо1((со+в)1хо1. Таким образом, нижняя грань со также удовлетворяет неравенству, с помощью которого определяется ограниченность оператора А.
Поэтому в определении постоянной со можно заменить нижнюю грань минимумом: с,= ппп (с:!Ах»(с»х1, х ~ Х». Из неравенства 1Ах»=-со»х1 при х~О имеем 1Ах)Дх1(со, откуда зпр — -" со, хе= Х. ! Ах! ло !х! Случай строгого неравенства зпр — <с„х еи Х, ! Ах! е~-о 1х1 57.4. Примеры нормированных и нолунормпроаонныхпространств 433 невозможен, так как тогда нашлось. бы такое число е-»9> что зпр — < со — е 1 Ах1 -ые )х( и, следовательно, для любого хпиХ, хФО, тем более было бы- справедливо неравенство )Ах И х) < се — е, или )Ах( <(се — е) ) х), х ен Х, что противоречило бы выбору се' как минимальной постоянной, обладающей свойством ) Ах(~с1х), х ~ Х.
Итак, се= зпр — =1А1. 1 Ах( ые )х1 Образно говоря, это равенство означает, что оператор А ограничен тогда и только тогда, когда он имеет конечную норму. Таким образом, множество ограниченных операторов составляет пространство 2',(Х, У). В п. 41.6 было показано, что всякий линейный оператор А: Х-+ У в случае, когда линейные нормированные пространства Х и У конечномерны н в качестве норм в них взяты квадратичные нормы )х(е и )у(а, хеиХ, уен У, имеет конечную норму.
Поскольку в конечномерных линейных пространствах все нормы эквивалентны (см. теорему 2 в примере 4), то отсюда следует, что любой линеинмй оператор А, отображаюи4ий конечномерное линейное пространство Х в конечномерное же линейное пространство У, ограничен при любом выборе норм в этих пространствах, т, е. в эпюм случае .о(Х, У)=о,(Х, У). 7. Линейное пространство всех ограниченных действительных функций, определенных на произвольном множестве Е, являющееся подпространством пространства Р(Е) всех действительных функций 7: Е- й (см. п. 57.2), превращается в нормированное, сели в нем ввести норму по формуле )7) гелзпр ~р(()~ (57.14) Обозначим это пространство через Е(Е). В случае, когда Е является метрическим пространством, подпространство пространства Е(Е), состоящее из иепрерь:нных на Е функций 7, обозначим через С(Е) *>, а норму (57.14) в этом пространстве будем обозначать также и через 17')с.
е' С вЂ” первая буква латинского слова сопцпппт — непрерывный. 434 З б7. Функциональные пространства Если Е является компактом в )сл, то (см. теорему 3 в п. 19.5) У!!с=зцр )7(1) ! =и|ах !)(() !. гоп гоп В частности, зто верно для пространства С[а, Ь) функций, непрерывных на отрезке [а, Ь) числовой прятпоГк 8. Пусть фиксировано число р, 1 ~ р (+ со. Рассмотрим множество функций ), определенных на некотором отрезке [а, Ь) и таких, что интеграл ь ~ !7(х)!тих О сходится. Это множество, как легко проверить, образует линей- ное пространство, которое обозначается через И.р[а, Ь1*'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
