kudryavtsev2a (947416), страница 78
Текст из файла (страница 78)
е. 1пп р*(х*, х„)=0, что означает, что х* является точкой и сь прикосновения множества Х, Итак, Х = Хе. Ъ1. Доказательство полноты пространства Х*. Пусть (х'„) — фундаментальная последовательность точек про- 1 странства Х*, х„е= Х и р*(х„', х„) <--, а=1, 2, .... Такие точки х„существуют в силу плотности Х в Х*. 67.!.Метрические пространства 4!9 Последовательность (х„) фундаментальная. Действительно, замечая, что р*(х„, х,„)-= р (х„хч)+р* (х„", х*)+ре (х*, х ) < = — „+р*(х,*, х"„)+ —, выберем номер и, так, чтобы для всех и =--п, и т =и,. Тогда р(х, х ) =р (х" х ) - з + з + з =в (бу 9) р*(х*, х„'). рв(х*, х,)+р*(х„, х„)=р*(х", х„)+ —.
Но из (57.9) при т- сс и гг == и, получим р" (х*, х„) = Пгп р(х, х„) ~е. и со Втп р" (х*, х„) =-О, Следовательно, а потому и Дгп р" (х*, хч) =О. а со Таким образом, мы доказали, что данная фундаментальная последовательность (х„*) сходится в Х'. Полнота Х* доказана. Д Упражнение 2. Доказать, что с точностью до изометрических пространств пополнение метрического пространства единственно. Определение 8. Числовая функция )' (действительно- или комплекснозначная), определенна на множестве А метрического пространства Х, наливается непрерывной в точке х, ен А (или, более подробно, непрерывной по множеству А в точке х,~А), если для лгобого числа и ~О существует число б = б (е) ) О такое, что для всех точек х ен У(ха, б) П А выполняется неравенство Д(х)-1(ха) ~~е.
Определение 9. Функция ), определенная на множестве А мегпрического пространства Х, называется непрерывной на множестве В с: А, если она непрерывна по множеству А в каждой точке ха ~В. 14' для всех и~па и т==-п„т. е. последовательность (ха) — фундаментальная. Обозначим через х* класс эквивалснтпых последовательностей, которому принадлежит последовательность (х„). Очевидно, 420 У 57. Функциональные пространство Упражнение 3. Сформулировать определение непрерывности в.точке х, функции 6 заданной на множестве А нз х, с помощью понятия последовательности и доказать эквивалентность этого определения с определением 8.
Дословно, так же, как и в п. 36.4 (см. т. 1), доказывается, что предел равномерно сходящейся на метрическом пространстве последовательности непрерывных функций является непрерывной функцией. Пример. Рассмотрим метрическое пространство ограниченных и непрерывных на некотором метрическом п ростра нстве Х функций ), расстояние между которымн определяется по формуле (57.1). Поскольку фундаментальность последовательности (7'„) в смысле метрики (57.1) означает, что последовательность (7'„) удовлетворяет условию Коши равномерной сходимости на множестве Х, то всякая фундаментальная последовательность непрерывных функций (7„) равномерно сходится к некоторой фупкпии ). Эта функция 7, как отмечалось выше, непрерывна и, как было доказано несколько раньше в этом пункте, ограничена на Х, т.
е. принадлежит рассматриваемому пространству функций. Таким образом, пространство ограниченных и непрерывнеях на метрическом пространстве Х функций является полным лкгприческим пространством. Оно, очевидно, является поднрошранством всех ограниченных на Х функций с расстоянием, определенным той же формулой (57.1). В частности, поскольку всякая функция, непрерывная на некотором компакте А, лежащем в и-мерном евклидовом пространстве Яя, ограничена (см.
п. 19.4), то пространство функций, непрерывных на компакте А, с расстоянием, определенным по формуле (57.1), является полным. Определение 10. Пусть Х вЂ” метрическое пространство. Функция 7, определенная на множестве упорядоченных пар (х, у), где хе=А, уяВ, АсХ, ВсХ, называется непрерывной в пючкг (х„у,), х, ен А, уаенВ, если для лгобсго числа в>0 сутцествует число 6=6(г))0 такое, что для всех пар (х, у) таких, ипо х е= с) (хо, 6) П А, у ен (7 (уо 6) П В, справедливо неравгнсгпво )7*(х, У) — )'(ха, УаИ( Функция, непргрьыная в каждой точке (х, у) некоторого множеипва пар, называгтся непрерывной на этом множестве. У и р аж не н и я. 4, Проверить аксиомы расстояния для функции р рр, ф), определенной формулой (57.3) для пространства абсолютно интегрируемых непрерывных на асей числовой оси функций. 5. Привести пример последовательности непрерывных функций, сходящееся на некотором отрезке в смысле расстояния (57 2), но не сходящейся иа этом отрезке в смысле точечной сходимости (т.
е. в смысле определения 3 п. 36А). 6. Привести припер последовательности, сходящейся на некотором отрезке в смысле точечной сходииости, но ис сходящейся на этом отрезке в смысле расстояния (57.2). 42! 57эх Линейные пространства 7. Доказать, что пространство непрерывнык на отрезке (а, Ь) функннй; расстояние между которыми определяется по формуле (57.2), не является полным. 57,2. ЛИНВЙНЫК ПРОСТРАНСТВА Определение 11. Множество Х = (х, у, г, ... ) называется действительным линейным пространством (или векторным простраиспюом иод полем действительных чисел), если: каждой упорядоченной паре (х, у) элементов ген Х и у АХ поставлен в сооитвептсптвие некоторый элемент пространства Х, называемый суммой х и у и обозначаемый х+у; каждому элементу х ~ Х и каждому действительному числу Л поставлен в соответствие единственный элемент пространства Х, называемый произведением Л на х и обозначаемый Лх.
При этом выполняются следующие группы аксиом: 1. а) х+у=у+х для любых хек Х и у АХ; б) х+ (у+г) = (х+ у)+ г для любых х я Х, у я Х и г я Х; в) в Х существует элемент, назьюаемый нулевым и обозначаемый О, такой, что х+О=х для любого хек Х; г) для каждого хе= Х существует элемент множества Х, называемый противоположным элементу х, обозначаемый через — х и такой, что х+( — х) =О. 2. а) 1х=х для любого хе= Х; б) Л(рх) =(Лр)х для любого хевХ и любых действительных чисел Л и И.
3. а) (Л+р)х=Лх+рх для любого хек Х и любых дейспюительных чисел Л и )а', б) Л(х+у)=Лх+Лу для любых хяХ, уяУ и любого действительного числа Л. Для каждой пары элементов х ев Х и у ев У элемент х+( — у) называется разностью элеменпию х и у и обозначается через х — у. Если в приведенном определении действительного линейного пространства всюду заменить действительные числа комплексными: Л, р~ С, то получится определение колтлексного линейного пространства. П р и м е р ы. 1, Мнсжество всех действительных (комплексных) чисел образует действительное (комплексное) линейное пространство. 2. Пусть Š— некоторое множество.
Совокупность Р(Е) всех функций 7': Š— ь 14 (соответственно )' Е -ь С) при естественном определении нх сложения и умножения на действительное (комплексное) число: ()т + )е) (х) = )т (х)+) в(х), (Л)) (х) — Л () (х)), ~те=Р(Е), ~я е=Р(Е), ~енР(Е), ЛенЯ или Лен С у 57. Функцаанальнив пространства является действительным (комплексным) линейным пространством, 3. Множество всех многочленов от одной переменной с действительными (комплексиыми) коэффициентами является линейным действительным (комплексным) пространством. 4. Множество всех многочленов степеней, не превышающих натурального и, от одной переменной с действительными (комплексными) коэффициентами является действительным (комплексным) линейным пространством.
5. Пространство всевозможных числовых последовательностей (х„), х„ен1с (или х„яС), не-:КГ, при естественном определении операций их сложения и умножения па число (см. п. 3.9) также является линейным пространством. Определение 12. Множество Х', содержащееся в линейном пространстве Х (действительном или комплексном) называется подпространством этого пространства, если все линвйныв комбинации элементов множества Х' содержатся в нем. Иначе говоря, множество Х'с: Х является подпространством пространства Х, если для л1обых двух элементов х я Х'„у я Х' и любых чисел Лен)с, ря)с (соответственно, ЛеС, р~С) имеет место включение Лх+ р,у я Х'. Очевидно, что подпространство Х' линейного пространства Х в свою очередь является линейным пространством.
Если Х вЂ” линейное пространство и хон Х, то совокупность всех элементов пространства Х вида Лх, где Л вЂ” всевозможные числа, служит примером подпространства пространства Х. Множество функций, действительнозначных и непрерывных на некотором множестве Е с-Я», является подпространством пространства всех действительнозначных функций, определенных на Е. Элементы линейных пространств обычно называются точками или векторами.
Определение 13. Конечная система векторов х„..., ха линейного пространства Х (действительного или комплексного) называгтся линейно зависимой, если существуют такие числа Л„..., Л„(соответственно действительныг или комплексные), не всг разные нулю, что Л,х +...+Л„х„=О. В противоположном случае, т. е. когда из указанного равенства следует, что всг числа Л„Л„..., Л„равны нуио, система векторов хь, ..., х„называется линейно независимой.
Определение 14. Систеи1а векторов х„, сх е= Я (Я вЂ” нгкоторог множество индексов) линейнего пространства Х нспывастся линейно независимой, если любая ее конечная подсистема хао х„„..., х„„линейно независима. 423 б7 2. Линейные пространства Упражнения. 8. Доказать, что если система х„„а т и, линейно независимая, то ко,-со для всех а т И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
