kudryavtsev2a (947416), страница 54
Текст из файла (страница 54)
10. 6 ге (г'с). 8. онч (гс). 11. гВч()(г) с). 9, гВч(угад!(г)). 12, б!ч(схг). 13. Найти го1 а, если а = хугз -/- (2х -1- Зу — г)у+ (хз -~- гз)й. Найти 14. го1 (сХг) 16. го1 ((сг) г) 16. го1 (( (г) г). 17. го1 () (г) с). 62.2. ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ ПОНЯТИИ ГРАДИЕНТА, ДИВЕРГЕНЦИИ И ВИХРЯ Прежде всего заметим, что при ортогональном преобразовании декартовых координат символический вектор р преобразуется по правилам преобразования обычных векторов. Лействительно, пусть задано ортогональное преобразование координат х' = а„х+ а„у+ а„г, у' = а„х+ аязу+ аззг, г = азах+ азау+ аззг. (52.5) Зля таких преобразований матрица обратного преобразования совпадает с транспонированной матрицей, поэтому х = а„х'+ а„у'+ азтг', у = амх'+ а.„у'+ а„г', г = а„х'+ аязу'+ аззг'. (52.6) Прп этом, как хорошо известно, по формулам (52.5) и (52.6) преобразуются как координаты точек, так и координаты векто- ров.
!8. Найти циркуляцию векторного поля а= — у1+ху+сй (с=соне() по окружностн (х — 2)'+уз=1, лежащей в плоскости Оху. 19. Найти циркуляцию векторного поля о = у! †' по замкнутой линии, образуемой дугой астронды х = )1 сеет А у=й жпи (О-= 1-= п(2) н отсекаемыми ею отрезками осей координат. 62,2, Об инввриантноети градиента, дивергенлии и вихря 279 Используя формулы (52.5) и правило дифференцирования сложной функции, получим дх' д ду' д дг' д д д д д амдх- + И«1 дуне + Ивз д —., д д д = а„—, + азз —, + азз - —,, (52.7) дх' ду' дг' ' дг' д д д дг 12 дх'+ ззд ' + зздг' ' дх дх' д д ду дх' д дг дх ду дх дг дх дх' д ду' д дг' — + —,— + —,— ду ду' ду дг' ду д дх' д ду' д —; — + —,— + —; де' дг ду' дг дг' д д д амд„— + аж-д —, + атв дг ° д д д И«1 дх + 22 д + ззде' д д д аз1 — + а„— -+ азз — —.
дх ду дг д дх' д ду' д дг' (52.8) Формулы (52.5) — (52.8) и показывают, что координаты обычных векторов и «координаты» символического вектора 27 при ортогональных преобразованных декартовых координат преобразуются по одному и тому же правилу, В частности, из (52.8) следует, что градиент функции и в системе координат х, у, г, ди ди ди т. е. вектор с координатами --, †, — в системе х, у, г дх ' ду ' дг ди ди ди будет иметь координаты †;, †,, †,, т. е. являться градиендх' ' ду' ' дг' ' том и в этой системе координат. Тем самым еще раз доказано (см.
п. 20.7), что градиент функции не зависит от выбора декартовой системы координат. Поскольку вектор 27 преобразуется подобно обычным векторам, то естественно ожидать, что и скалярное произведение [~а не зависит от выбора указанной системы координат. Пусть вектор а в системе х, у, г имеет координаты а„, а„, а„а в системе х', у', г' — координаты ать аиь а,. В силу формул (52.7) имеем да„ да„ да . = ам ~„ + ~ы ду + аз1 дг + дав дав даг дае дае ду' 1 дг' дх' — ", +໠— ', + ахз —,+аз» вЂ”,+а,—,= ду' дг' д + и12ав+ аз»а~) + д, (И21ах+ И22ав + агзае) + + д,—,(аз»ах+аз»а,+авва,) (52 9) д да да„ даг — + — +— дх ду дг дав + И12 —, + азз дх' д — (И11ах Соответственно обратные формулы, выражающие производные по переменным х', у', г' через производные по х, у, г будут иметь вид Э" д2, Скалярные и векторные поля Это равенство и показывает, что дивергенция векторного поля в каждой точке однозначно определяется самим векторным полем, а не зависит от выбора системы координат, как это могло бы показаться сначала из формулы (52.2).
Векторное произведение обычных векторов в силу своего геометрического смысла не зависит от выбора декартовых систем координат с одинаковой ориентацией (например, векторное произведение двух векторов ие изменится, если от одной правой декартовой системы координат (см. п. 50.8) перейти к такой же другой). Поэтому естественно ожидать, что тем же свойством обладает и «символическое векторное произведение» го1 а = пха. В самом деле, если обозначить единичные координатные векторы системы координат х', у', г' соответственно через г',,у", й', то, как известно, единичные координатные векторы г, у, Й системы координат х, у, г выражаются через г', у", Ф' посредством матрицы, транслонированной к матрице преобразования (52.5), т.
е. посредством матрицы преобразования (52.6): г = амг'+ азь/'+ а„й', 3= аз»Г + ам,г" + авгй', й = а„г'+ азх~'+ аззй'. Используя формулы (52.6), (52.7) и (52.10), получим: (52.10) 2,1 д д дк ду а„ а„ азта й д дг а» аззг'+ аз».гп+агзй а»З г +ах»3 +ае»й го1 а = Ч х а = а11 1 +а21 е + д д д д д д а„—;+а„—,+аз, —, а„- —,+а„— е+азз —, дк' ду' дг' дк' ду' дг' д д д а —; +«Ь-з+аз —, 12 дх' ду' дг' ата а;+а„а„,+а„а, атз а, +аз, ау+аз»ах аз»а» +аз»а +аз»аз, г' „н й' д д д дх' ду' дг' а, а„ а, а11 а12 а12 ад» аз, азз ам азз азз (52.11) Применяя формулы (52.5) к вектору а=(ах, а„а,), (т. е. заменяя в этих формулах х, у, г на а„а,, а., а к', у', г' на акь ае, а,), получим, что выражения в круглых скобках в правой части равенства (52.9) равны последовательно а, а„, а, и, ~ следовательно, дак дае да, да„.
дае да. дх ду дг дх' ду' дг' ' 52 3. Формула Остроградского — Гаусса 281 Последнее равенство доказывается так же, как для обычных числовых матриц доказывается тот факт, что определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению их определителей.
Для доказательства этого равенства достаточно убедиться, что в обеих его частях стоят одинаковые алгебраические суммы одних и тех же слагаемых. Определитель ортогонального преобразования равен + 1 или — 1, причем если это преобразование сохраняет ориентацию, то + 1. Поэтому если в рассматриваемом случае выбрать системы координат х, у, г и х', у', г', ориентированные одинаково, то будем иметь а„ага ам ам а„ ам аз» азз азз и, следовательно, из (52.11) получим г,г й д д д 7 )г' д д д дк' ду' дг' дг ду дг а а„ аг а, аг а, а2.3. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГΠ— ГАУССА. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИВЕРГЕНЦИИ Пусть С вЂ” область в пространстве )с,'г,. Предположим, что на плоскости )ггг существует такая квадрйруемая область Г, что граница области С состоит из двух поверхностей Яг и З„задаваемых соответственно явными представлениями г = ср(х, у) н г=ф(х, у), где функции ~р(х, у) и ф(х, у) непрерывны на замкнутой области Г, ср(х, у)~ф(х, у), (х,'у) ~Г, и, быть может, Это равенство и означает, что вихрь векторного поля не зависит от выбора декартовой системы координат, имеющей ту же ориентацию, что и заданная.
Заметим, однако, что если от одной системы координат перейти к системе с другой ориентацией, например от правой системы координат в к левой, то каждый вихрь (нвк и обычное векторное произведение) заменится противоположным вектором. Это следует из формулы (52 11), посхольку определитель ортогонального преобразования, меняющего ориентацию, равен — 1. Таким образом, вихрь векторного поля однозначно «с точностью до знака» определяется самим векторным полем, а если ограничиться только одними правыми декартовыми системами хоординат, то не зависит от их выбора. ф «2. Скалярные и ееягорные ноля из части 5«цилиндра, основанием которого является граница дГ области Г (см.
п. 44.1). Предположим также, что о», 3, и о«являются кусочно-гладкими поверхностями (рис. 210). В этом случае и вся граница о области 6 также будет кусочно-гладкой поверхностью и притом орнеитируемой, как всякая кусочно гладкая поверхность, являющаяся границей области. Внешние нормали т поверхности 8 на ее гладких частях являются нх ориентациями. В силу этих ориентаций гладкие части поверхности о ориентированы согласованно (см. п. 50.11) и, следовательно, порождают ориентацию всей поверхности 5. Эта ориентация получается, если для каждой гладкой части поверхности выбрать ориентацию ее края, согласованную с внепшей нор- малью т на этой части по е« правилу штопора. Обозначим поверхность 5, соответственно поверхности 8«, с«и Ю«с выб: р ее раиной ориентацией (которую будем называть положительной) через Я+, соответственно через 5«, Р 6~ 87 и Я.
Отметим, что здесь для поверхности Яь положительной ориентацией является ее «нижняя л сторона», а для поверхно-' сти Я« — ее «верхняя сторона» (см. 51.1). Рнс. 210 В рассматриваемом слу- чае выбор нормали т легко описывается и непосредственно, т. е. без привлечения понятия' «внешней» нормали: в точках поверхности 5ы в которых нормаль' существует, надо выбрать нормаль, образующую тупой угол с осью Ог, а в точках поверхности Я« — острый, В точках же поверхности 5«выбор нормали для наших целей, как это будет видно из дальнейшего, безразличен — мы будем брать по поверхности 5 интегралы вида (51.7), которые по поверхности Яе равны нулю при любом выборе нормалей, так как эти нормали всегда перпендикулярны оси Ог.
Будем предполагать, что область О обладает свойствами, аналогичными перечисленным, относительно всех осей координат. Такие области будем называть элел~ентарныл«и областями (ср. и. 47.5). Пример элементарной области изображен на рис. 210). Через со«а, совр, соз7 — обозначим направляющие косинусы единичной внешней нормали т поверхности о: т=(сова, сов 11, сазу).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
