kudryavtsev2a (947416), страница 49
Текст из файла (страница 49)
203). Найдем площадь такого параллелограмма. Обозначив ее через Ьаь получим Лае=-(Г~йхГ и )р =(Г„хг ~~р.йт= = ( Ги Х у'е (р. 1тЕи Функции ра и г„непрерывны на замкнутой квадрируемой области П; поэтому 1пп ~ч, 'Ьа;=~~(р„хр,~с(ие(а, О,-О вьет <да1 а Рис. 203 (50.20) где б„как всегда, обозначает мелкость разбиения т. Очевидно, условие, что мелкость разбиения 6, стремится к нулю, равносильно тому, что ранги й квадрильяжей плоскости, из которых мы исходили, стремятся к бесконечности. Для доказательства справедливости равенства (50.20) достаточно заметить, что при произвольном выборе точек Р; я Е;е=т, 1 = 1, 2, ..., справедливо равенство 1пп ~ Лае= 1(ш ~Ч~1р„хр„(р РЕ;=~~1р„хг 1е(иеЬ. дт О е ят(до) От От=| а Действительно, во-первых, предел интегральных сумм интегрируемой функции не зависит от выбора в данном случае точек Р; я Ее ев т, а, во-вторых, выбрасывание из интегральных сумм слагаемых, соответствующих множествам Е; ен т, не входящих в т(дВ), не влияет, как известно (см.
п. 44.3), на величину предела интегральных сумм, в нашем случае — на величину предела (50. 20). Определение 19. Предел (50.20) называется плои(адье ияи мерой 1т5 поверхноспги о' р5= «пп "т Е Е Свт(два Е ЗО. Элементы теорни нооеркноатеа Для вычисления площади поверхности из (50.20) непосред. ственно получается формула рЗ = ~ ~ ~ г'„хт; ~ оаи е( . о (50.21) Запишем ее в другом виде, выразив подынтегральное выражение через коэффициенты первой квадратичной формы.
Прежде всего заметим, что для любых векторов а н Ь справедливы фор- мулы ~ а х Ь1=1а ( ~ Ь ) з(п аЬ, аЬ = ~ а ~ ~ Ь ( соз аЬ, где аЬ вЂ” угол между векторами а и Ь. Возведем в квадрат и сложим эти формулы: (ахЬ!е+( аЬ!'=а'Ь'. Отсюда следует, что (г„хг, (~= т'„г'„— (г„г.)е =Еб — Р', поэтому формула (50.21) может быть записана также в виде ~=11ф еа — т'а а . о (50.23) Иногда для краткости записи выражение )/Еб — Рте(ие(о обозначается символом НЯ: ае теа:а'а ан (50.24) и называется олелтеитом площади. Применяя это обозначение, формулу (50.23) можно переписать в аиде ае — 1~ т аа, — т( ан а,.
о~ Покажем, что величина площади поверхности не зависит от выбора ее представления (при этом рассматриваются только представления, заданные на замкнутых квадрируемых областях). Перейдем к другому представлению р=р(и,, от) данной непрерывно дифференцируемой поверхности, которое задано иа замыкании Й, квадрируемой области О, и, следовательно, для которого преобразование (50,14) параметров и, о в параметры ип ок является регулярным отображением лл на О,.
В новой системе координат рассмотрим интеграл 80.8. Ориенгпкия гладкой поверхности Для сравнения его с интегралом (50.23) выполним замену переменных (50.14), что возможно, так как все предпосылки теоремы 2' п. 45.2 в данном случае выполнены. Использовав (50.19), получим р 5~ —— ~ ~ У Ехб~ — Е1 с(ит сЬх = О, 11) вс,— н~д~', ~ь« -11«вс — е«г зв. о о Таким образом, действительно, величина площади поверхности не зависит от выбора ее представления. Найдем выражение для площади поверхности, имеющей явное представление а=1(х, у), (х, у) вне. В этом случае и =х, о=у, г=(х, у, )(х, у)) и, следовательно (см.
формулы (50.11)), г.=(1, О, 1„), г,=(0, 1, гв), Е=г„'=1+~,', Е=г„г,=~Д„, б=г'„=1+Я, Еб — Е'=(1+)х) (! +ф — фв — — 1+Д+~в; (50,25) (хЕ= 1 1 ~'1+)„'+1,', г(хс(у. о У п р а ж н е н н я. 12, Доказать, что площадь поверхности вращения, определенная в и. 32.4, совпадает с площадью этой поверхности, определенной в настоящем пункте. !3. Найти периметр н внутренние углы крнволннейного треугольника, лежащего на поверхности с первой квадратичной формой йиз+(из+аз) йоэ н 1 1 ограниченного дугами кривых и= — аоз, и= — — поз, о=1 (а=сон»1 )О).
2 14. Найти площадь криволинейного четырехугольника, лежащего на геликоиде я=и осе о, у=.и нп о, а= — аи (а=сопз1) н ограниченного дугами кривых и=-о, и=а, о=о, о=!. !5. На поверхности с первой квадратичной формой йи»+(из+а») коз расположен криволинейный треугольник, ограниченный дугами кривых и=по, и= — ио, о=1. Найти его плошадь. 30.8. ОРИЕНТАЦИЯ ГЛАДКОИ ПОВЕРХНОСТИ В этом параграфе будем предполагать, что в пространстве выбирается всегда правая система координат.
Это означает следующее. Пусть г,,г и й — единичные орты координатных осей. Если смотреть нз конца вектора й на плоскость хОу, то в=ктор х' надо повернуть на угол — против часовой стрелки, чтобы он совпал с вектором у. В этом случае говорят также, что упорядоченная тройка векторов г, у и й согласована по «правилу штопора». Аналитически это означает, что в пространстве точен (х, у, г) рассматриваются только такие упорядоченные базисы е„ех, е„ В йв, Элементы теории поверхностей которые получаются из упорядоченного базиса 2=(1; 0; 0),,Р= =(О; 1; О), й=(0; 0; 1) с помощью матриц, имеющих положительный определитель (точнее, равный +1). Таким образом, если е =-сент+с,,у+с,й, т=1, 2, 3, является базисом, задающим правую систему координат, то с„с„сзз с„с„свз сзт сзз сзз Все определения и понятия, связанные с координатами, вводимые ниже в этом параграфе, даются применительно к правым системам координат.
Пусть 5 — гладкая поверхность (сяь определение 16). Тогда всякое ее векторное представление г=г (и, о), (и, о) е= О, непрерывно дифференцируемо и г„хг, ФО на замкнутой области П. Следовательно, в каждой точке поверхности 5 определен нормальный единичный вектор ч= г„хг ~ гзхг,) ' (50. 26) являющийся непрерывной функцией на тт. Кратко это обстоятельство выражают, говоря, что на поверхности 5 существует непрерывная единичная нормаль. Определение 20. Всякая непрерывная единичная нормаль ч =- = ч (и, о), (и, о) ен .О, гладкой поверхности 5 = (г (и, о); (и, о) внтл) называется ориентацией поверхности 5.
Очевидно, что если вектор ч является ориентацией поверхности 5, то и вектор — ч также является ориентацией той же поверхности, и легко показать, что других ориентаций нет. упражнение ИЬ доказать, что поверхность может иметь только две ориентации. Одна из двух ориентаций ч или — ч (произвольно выбранная) называется положительной, а другая — отрицательной.
Таким образом, понятие положительности и отрицательности ориентации в этом смысле не определяется однозначно самой поверхностью, а зависит от выбора ее представления. Положительная и отрицательная ориентации поверхности называются противоположными ориентациями этой поверхности. Лля определенности в дальнейшем для гладкой поверхности, заданной фиксированным векторным представлением г=г(и, о), (и, о) вн 0 за положителю|ую ориентацию будем принимать всегда вектор (50.26). Подчеркнем, что непрерывность нормали о рассматривается относительно переменных и, о, а не относительно пространствен- 256 ф 50. Элемента теории ооверкноетеа Поскольку пределы 1пп и ! пп и не суще- (к, е) (о,о) 1'хе+у' (к, е1-1е; е) Ук'+у ствуют (почему?), то и единичная нормаль геХг„ к у 1 ч— ! г„Хге ( 1 У2 (кк+уэ) У2 (ке+ уе) )г2) не имеет предела при (х, у) — ~(0, О).
Поэтому на конусе (50.27) нельзя выбрать нормаль, непрерывную на д Й=((х, у):х'+у'=- а'), Простым примером негладкой поверхности 5, на которой существует целая линия, вдоль которой нормали при любом их выбо- А ре терпят разрыв, является часть двугранного угла, изображенная на рис. 204. Указанной линией на этой поверхности являРис. 204 ется отрезок АВ. 99.9. СКЛЕИВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕН Данное выше определение параметрически заданной непрерывной поверхности не охватывает все то, что интуитивно входит в понятие поверхности. Так, можно показать, что поверхность шара не является носителем какой-либо непрерывной параметрически заданной поверхности без кратных точек.
Считать же, что поверхность шара имеет кратные точки, представляется неоправданным усложнением. Существуют различные пути для преодоления этого неудобства. Мы выберем путь, основанный на склеивании конечного числа поверхностей. Склеивание поверхностей естественным образом возникает при рассмотрении самых простых задач. Например„боковую поверхность цилиндра естественно рассматривать как результат склеивания противоположных сторон прямоугольника, полную поверхность цилиндра как результат склеивания его боковой поверхности и двух оснований, поверхность конуса как результат склеивания его боковой поверхности с основанием и т. д.
Перейдем к точным определениям, Будем говорить, что у поверхности 5 = (г => (и, о); (и, о) ~ П) ее край (см. п. 50.1) является кривой, если граница д1л области 1л является кривой (точнее, носителем кривой): дй = (и (1), о ((); а -.=- ( =-' Ь). В этом случае край д5 поверхности 5 можно также рассматривать как кривую: д5=(г(а(1), о(1)); а~(~Ь1.
Мы определим операцию склеивания поверхностей для поверхностей, края которых являются кривыми. ВО.9. Склеиеакце поверхностей е57 Пусть заданы поверхности 5»=(г»(иь о;); (иь о;) ~Щ, края д5; которых суть кривые, т. е. границы. дР; областей Р; являются кривыми: и»=и,®, о,=о;(1»), а;«й .-Ь;, 1=1, 2, ..., и. Тогда края поверхностей д5, будут представлять собой кривые Ъ = (г; (и; (1»), о; (4)); а; «1; «Ь;). Пусть для некоторых пар (1, 1), 1, 1=1, 2, ..., т, 1Ф1, задано конечное число отрезков [ац, Ь7]с=[аь Ь»1, ац«Ь~ц, и отрезков [аеь ь;,[~1аг, ь7), Щ«ь,~, й=1, 2, ..., пи =пьь причем как отрезки [аеь Ь;;[, так и отрезки [апп Ь;,[ попарно не имеют общих внутренних точек, а также гомеоморфизмы»оц.
[аец, Ьц[-»- -»- [а";„Ье;1, называемые склвиваюи1ими гомеоморфизмами. При этом для любого 1; ~ [аец, Ь1;[ имеет место «склеиваннегк г, (и; ((Д, о; ((д) = гг (и7 (ч»~ц ((е)), ог (ч»7 (й)). (50.28) Обозначим через уц кривую с представлением г;(и; Щ, о;((Д), (е=[ац, Ьц[. Кривые уе называются кривыми склейки или кривыми, по которым производится склеивание. Очевидно, что в силу (50.28) отображение г=гг(иг(Я, о7(77)), 17~[а»ь Ьк[ также является представлением кривой у,", ибо гомеоморфизмы а»~ представляют собой допустимое преобразование параметра для кривой ф. Будем предполагать кроме того, что при 1'4=1 отрезки [ат, Ь;»[ и [ац, Ьц [, Ь=1, 2, ..., пц, 1=1, 2, ...
лц, не имеют общих внутренних точек, а следовательно, каждый конец отрезка [аец, Ьц[может принадлежать еще не более чем одному отрезку [ац, Ьц 1. Это условие означает, что каждая кривая склейки уец является частью только двух кривых у; н у,, образующих края поверхностей 5; и 57. Поверхности 5~ и 5; называются соседними, если они склеиваются по крайней мере по одной кривой уег Система склеивающих гомеоморфизмов <Рец называется связной, если для любых поверхностей 5р и 5 из рассматриваемой системы в ней существуют такие поверхности 5ьи 5;„ ..., 5;,, что 5;,=5р, 5; =5, и каждая поверхность 5~, является соседней с 5.
.. т. е. склеена 9 Ктаеявчее Л. А, е. а З ЗО. Элементы теораа поверхностей с ней по одной или нескольким кривым с помощью соответствующих склеивающих гомеоморфизмов срс; „т=1, 2...,г — 1. Определение 22. Система поверхностей 5„5„..., 5 со связной системой склеивающих гомеоморфизмов ~р~ называется поверху пастью, склеенной из поверхностей 5„..., 5 по кривым уь и обозначается через 5 = (5с). Это определение, несмотря на свою формальную громоздкость, имеет, очевидно, простой геометрический смысл. Образно говоря, склеенная поверхность 5 = (5;) представляет собой поверхности 5„ ..., 5 , у некоторых пар которых 5ь 5с отождествлены (склеены) точки, лежащие на кривых у", и отображающиеся друг в друга при гомеоморфизмах срач — в этом и состоит условие склеивания (50.28).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
