kudryavtsev2a (947416), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Положим В» =О Е,* (см. рис. 199). Очевидно, что В» — открытое измеримое множество, лежащее во множестве А», а т" =(Е;") является его разбиением. На замыкании этого множества 7,.~0 и, следовательно, ~»=~. Из неравенства (48.15) следует, что для нижней суммы Дарбу з,. функции 7' на 8' Пашей целью является получение неравенства подобного типа не для функции 7'„а для функции ). Для этого, казалось бы, можно просто отбросить точки, в которых функция ) обращается в ноль; тогда на оставшемся множестве мы имели бы Однако получившееся множество может, вообще говоря, оказаться неизмеримым, а йсес поэтому мы будем действовать несколько обходным путем. лн Из неравенства (48.14) следует, что при ан любом достаточно мелком разбиении т = =(Ес),с:'с' множества А, (см. п.44.3) для йе любой интегральной суммы Римана имеем ~ ~» ($с) 1рЕ, з.
~ ~ Г ', с(б~+ й, с=! йы йнЕ. с'=1, 2, " св. 228 б 49. Некоторые приложения кратных интегралов множестве В» справедливо неравенство з; =-')Г'с(6»+й. Отсюда, очевидно, следует, что г)18В,- )Ц) 6,+й. (48.16) Заметим, что ) ~ — )р~ и, следовательно, ~ р б6» ~ — ~! г ~ с(6». (48.17) Сложив неравенства (48.16) и (48.17) получим: У (В, + г)1 16, = й. (48.18) Пусть 1»»=В,()6», )а=1, 2, .... Очевидно 1»» — открытое измеримое множество и 6» с:.
В» с: 6» м, й = 1, 2, .... (48.19) В силу того, что множества В» и 6» не пересекаются (так как не пересекаются множества А» и 6») из (48.18) имеем ))'Ю»=- ~го откуда 1пп ~(Ю»=+со. (48.20) з 49. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 49Л. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ Пусть Š— измеримое множество в )са. Как известно (см. п. 44.6). ИЕ= ~ г(Е.
(49.1) Таким образом, с помощью л-кратного интеграла можно вычислять меру измеримых множеств в и-мерном пространстве (площадь— Из включения (48.19) следует, что множества О», й= 1, 2, ..., образуют последовательность измеримых открытых множеств, монотонно исчерпывающую открытое множество 6, ибо таковой являлась заданная последовательность 6м А=1, 2, ..., поэтому равенство (48.20) означает, что интеграл ) рс(6 расходится. ( ) Итак, для кратных интегралов сходимость несобственного интеграла ~7с(6 эквивалентна его абсолютной сходимости.
У и р а ж н е н и е 2. заменив в опредслевии кратного несобственного интеграла всюду открытые множества областями (в частности, рассматривая только монотонно исчерпыва«сщне данную область последовательности, состоягдие только из измеримых областей), показать, что и при таком «более узком» определении кратного несобственного интеграла сохраняется теорема 3. 49.е, Во!чиеление площадей и объемов в двумерном, объем — в трехмерном). Если л-кратный интеграл (49.1) можно свести к повторному (см. 3 45), то вычисление меры измеримого множества Е л-мерного пространства сведется к вычислению (л — 1)-кратного инт»трала. Пусть, например, Р— открытое измеримое множество в (л — 1)- мерном пространстве Я.., .
и х„=)(х», ..., х„,) — неотрицательная функция, определенная и непрерывная на замыкании Р множества Р, а 6=(х=(х», ..., х„):(х», ..., х„!) ~Р, ()~х„~~(х„..., х„,)) (таким образом, б является л-мерным аналогом криволинейной плоской трапеции, рассмотренной нами в п. 32.1). Тогда Г(кп .... к„) рб=(е(6=(е(Р ( е!х~=~~(х», ..., х„!)Ж, о т. е. и — 1 рее рб = ~ ...
~ 1(х», ..., х„,) е(х!... е(х„,. о Меру произвольных (необязательно измеримых по джордану) в частности неограниченных, открытых множеств пространства )т", лгь2, если ее понимать в смысле определения п. 31.1 и 31.2, т. е. как нижнюю меру джордана, можно вычислить с помощью несобственных интегралов. Действительно пусть 6 — произвольное открытое множество в )тк и б„л=1, 2, ...,— последовательность открытых измеримых множеств, монотонно исчерпывающих множество б (см. п. 48.1). Тогда, как известно (см.
п. 31.2), !пп рб»=рб. Но в силу (49,1) рб»=)»16», а поэтому р,б = = !пп ) е(б». »-в По определению же кратного несобственного интеграла, 1нп ~ Ыб» = ~ е(б. Таким образом рб = ) г е(0, где интеграл в правой части понимается, вообще говоря (а именно, если С не является измеримой областью), как несобственный. Остается лишь показать, что для любого открытого множества С всегда существует последовательность измеримых множеств 0„, А = 1, 2, ..., монотонно исчерпывающая заданное множество 6.
Докажем это. Рассмотрим последовательность Т„, й=1, ..., разбиений пространства )сп на кубы (см. п. 44.1) и обозначим через 0» л-мерный открытый куб, определяемый следующим образом: (1»=((х„..., х,): (х! !~й, !'=1, 2, ..., л). 230 4 49. Некоторые приложения кратных интегралов Число кубов данного ранга й (см. п.
44.1), содержащихся в !',1», а следовательно, и подавно в пересечении 6П9», конечно. Обозначим этн замкнутые кубы Ры ..., Ру . РгенТ»; Р, с6Д4», 1=1, 2, ..., 1». 49.2. ФИЗИЧЕСКИЕ НРИЛО)КЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ С помо:цью кратных интегралов можно вычислить различные физические величины: массу и заряд тела, центр тяжести, момент инерции, поток жидкости, потенциал тела и т. и. Найдем в качестве примера центр тяжести плоской фигуры. Пусть в некоторой квадрируемой области 6 распределена 1:екоторая масса, вообще говоря, с переменной поверхностной плотностью р(х, у), т.
е. на замыкании 6 области 6 задана некоторая неотрицательная и непрерывная функция р(х, у), Область 6 с распределенной в ней массой будем называть фигурой 5, а величину М=~)р(х, и) дхйр о (49.2) — ее массой. Если р(х, у) — не тождественный ноль, то М:ь0. Определим и найдем центр тяжести фигуры Я. Возьмем какое- либо разбиение т=(6!), »=1, 2, ..., й, области 6 (см. п. 44.3). Множество 6! с распределенной в нем массой плотности р(х, у), (х, у) е— = 6г, назовем фигурой 8!. Выберем по некоторой точке (5г, т1!) ен бе Величину тг=р(зг, т1!) Р6; назовем приближенным значением массы фигуры Яг (естественность такого названия сле- Через 6г, обозначим множество внутренних точек множества 1» Ц РР Например, в случае, изображенном 1= 1 на рис.
200, множество 6» состоит из внутренних точек двух квадратов Р, и Р, и пир ~ тервала, получающегося отбрасыванием вер- 1 Ф шин этих квадратов из их общего ребра. Множества 6ы й=1, 2, ..., и явля!отса в ра ~ о открытыми измеримыми множествами, образующими последовательность, монотонно исчерпывающую данное открытое множество 6. Напомним, что для вычисления объемов тел часто оказывается удобным метод сечеРнс 299 ний: см, формулу (45.23).
Уп р ажн ен не 1. »»оказать, что построенная последовательность множеств Оь й=!, 2, ..., действительно образует последовательность измеримых множеств, монотонно всчерпывающнх данное множество О. вр 2. Фаз!и!еское приложения кротных интегралов 231 дует из формулы (49.2)). Величины же тД; и тпгЧ! назовем приближенными значениями статических моментов фигуры 5„! = — 1, 2,, й, соответственно относительно координатных осей Оу и Ох (естественность этого названия следует из того, что статическими моментами материальной точки массы т с координатами (х, у) относительно осей Ох и Оу называются величины ту и тх, см. и.
32.6). Наконец, величины а 5.(т) = ~л Чгт =,~~ Чгрй! '1!) ВО! ° (49.3) 5, (т) = ~ $!пг! = ~~~ сгр Яг, ни) (ьб! г=- 1 г=- ! назовем приближенными т-моментами фигуры 5 относительно осей Ох и Оу, а их пределы при бт-ьО 11п! 5 (т) = 5„, 1пп 5„(т) = 5в ь, о ь,-о — спгатичгскими мблгентшми фигуры 5 относительно осей Ох и Оу. Эти пределы при сделанных предположениях существуют.
Действительно, из формул (49.3) видно, что 5л(т) и 5„(т) являются интегральными суммами Римана для функций ур(х, у) и хр(х, у), а потому 5, = ~ ~ ур (х, у) дх йу, 5„= ~ ~ хр (х, у) йх йу. (49.4) б б Определение 1. Точка (х„у,) называется центром тяжести (центром масс, центром инерции) фигуры 5, если спютические моменты относительно координатных осей материальной точки массьь М, равной массе всей фигуры 5 и находящейся в точке (х„уо) равны соответствующим статическим моментам фигуры 5, т. е.
если Мх,=5„, Му,=5„. Из формул (49.2) и (49.3) получаем ( (хр (х, у) вх с(у ( ( ур (х, у) вх вр 'б б ( ( р (х, у) вх ву 1 1 р (х, р) вх вр б б У яр аж нен не 2. Доказать, что центр тяжести фигуры не зависит от выбора системы координат. В качестве примера рассмотрим «криволинейную трапециюю 6, порожденную графиками непрерывных неотрицательных функций Дх) и д(х), 0-=д(х) =-=! (х), а=х=-Ь: 6=((х, у):а ,'х«"Ь, д(х)(у<~(х)), 232 Э ву.
Элементы теории поверхностей Пусть р(х, у)=1. Поскольку ~ ~йхйу=рО, то с ь 1(к) ь х, = — ' ~ ~ х ((х ((у = — ~ х ((х ~ ((у = — ' ~ () (х) — у (х)) х с(х, с а В(к) а 1 (к) ь уо — — — ~ ~ у((хйу= — ~ ((х ~ уйу= — ~ (дз(х) — дз(хд((х', с а я(к) а отсюда ь ь 2яуорО = и ~ ~ (х) йх — и ~ уз (х) ((х. Здесь в правой части равенства стоит объем тела, получен- ного вращением криволинейной трапеции О вокруг оси х-в; — мы пришли ко второй теореме Гульдина. Теорема (Гульдии). Объем тела вращения плоской фигуры вокруг не пересекающей ее оси равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести вп)сй фигуры, Пример. Вычислим с помощью второй теоремы Гульднна объем )(О тора (г, полученного вращением круга (х — а)з+ уз ( гз, 0(г~а вокруг оси Оу: рО=2па пгз=2пзагз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
