kudryavtsev2a (947416), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Г ду ду ди до те К получившемуся интегралу применим формулу Грина (см. теорему 1 в и. 47.5). Положив Р =-х —, (4=х о и заметив ди' до Э что в этом случае дЯ дх ду д'у дР дх ду д'у ди диде дида' до дади+ до ди здесь нами используется потребованное выше существование вторых частных производных — и — ~ получим д'"у деу ~ до ди диде~' дп дР дхду дхду д(х, у) ди до ди до до ди д(и, о)' откуда )хГ*=е ~ Ре(и+(4ао=а ~~ ~-~ — —,)е(ие(о=е ~ ~ („' У) е(ие(ш т+ г г 47.7.
Геол~стрическиа смысл знака якобиана отобраасения лет Левая часть этого равенства больше нуля, значит, правая часть также положительна, и так как якобиан отображения (47.23) не меняет знака, то это возможно лишь в том случае, когда ед ' ->О, т. е, когда число е имеет тот же знак, что и якобиаи д(х, у) д(и, с) д (х, у) д (х, у) ~ д (х, у) д (и, о)' —, а в этом случае е — ' = ~ ' ~. Тем самым знак е ие д (и, о) ~ д (и, о) зависит от выбора контура Т, а определяется знаком якобиана, который один и тот же во всех точках области 6.
Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 2. Если выполнены сделанные вьиие предположения, пю справедлива срормула рГ*=) ~ ~, („' У)~ бил. (47.26) Кроме того, если ' )О на Г, то е =+1, иначе говоря, если д(х, у) д(и, с) якобиан отображения Е положителен, то положительному обходу всякот контура 7 ~ ст, являющегося границей ограниченной области Г с: 6, при опюбражении Р соответстпвуетп положсипельный обход контура Т*=Р(7), являющегося границей ограниченной области Г*=Р(Г). Если же якобиан ' „)(О на Г, то е= — 1, т.
е. д (х, у) положительному обходу всякого контура у указанного типа соответствует при отображении Р отрицательный обход контура у =с (Т)- Таким образом, геометрический смысл знака якобиана сослюит в том, что в случае положительного якобиана ориентац я контура при опюбражении сохраняется, а при отрицательном — меняется. С помощью формулы Грина (47.19) формула (47.26) легко обобщается на случай, когда граница области Г состоит из конечного числа кусочно-гладкях замкнутых контуров. Отметим еще, что с помощью формулы (47.26) можно без труда получить более простое доказательство теоремы 1 из п.46.1 о геометрическом смысле модуля якобиана. Действительно, пусть М, ~ Г, й (Г) — диаметр области Г, и область Г каким-либо образом стягивается к точке М, и, следовательно, й(Г) — «О. По теореме о среднем (см.
п. 44.6) рГз=~~~ "'' ~йийо=~ — "'"~ рГ, М~Г, поэтому В силу непрерывности якобиана 1 д (х, у) ( ) д (х, у) 1 л <г! о! д (и, с) (м ! д (и. с) (и, ' З ея Криволинейные интегралы следовательно 11ш РГ' 3д(х, У)! (47. 27) е<г> о РГ 1д(н, в) !м.' т. е. мы доказали формулу (46.9) и в некотором смысле даже в более общем виде; так, здесь à — не обязательно квадрат (правда, на отображение Р мы наложили несколько более сильные условия, деу дед ' потребовав непрерывности смешанных производных — и— ди де до ди и возможности применения формулы Грина для области Г*). Нетрудно убедиться и в том, что стремление к пределу в формуле (47.27) происходит равномерно в смысле, указанном в теореме 1 п.
46.1. Несмотря на простоту вывода формулы (47.27) (достигнутую во многом за счет более сильных предположений), следует отметить, что доказательство теоремы 1, приведенное в п. 46.1, идейно предпочтительнее, так как оно лучше раскрывает сущность вопроса, связанную с тем, что дифференцируемое отображение в малом достаточно хорошо аппроксимируется линейным отображением. 47.8. УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Все кривые (контуры), рассматриваемые в этом пункте, будут всегда предполагаться кусочно-гладкими, для краткости это не будет каждый раз специально оговариваться.
Отметим еще, что во всякой области 6 любые две ее точки всегда можно соединить кусочно-гладкой кривой, например ломаной (см. лемму 5 в п. 41.4), лежащей целиком в 6. ('ле)~ Пусть задана плоская область 6 и на ней определены непрерывные функции Р = =Р(х, у) и Я=-(е(х, у), Рассмотрим вопрос ("ь)е' о том, при выполнении каких условий криволинейный интеграл ~ Рс(к+Я йу при про- ва извольно фиксированных точках А ~ 6 и В ее 6 не зависит от выбора кривой АВ, их соединяющей и лежащей в 6. Лемма 2. Условие независимости рассматриваемого криволинейного интеграла от указанного пути интегрирования равносильно равен тву нулю интеграла по любому замкнутому контуру, лежа- и(ему в области 6. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1.
Действительно, пусть для любого замкнутого контура Т ~ 6 имеет место равенство е)Р с(х+(ее(у=О, и даны две кривые (АВ), и (АВ)„соединяющие в 6 точки А и В (см. рис. 194). Обозначим через (ВА), 47.В. условии негивиснмости криеолиневного интеграла 209 кривую, получающуюся из (АВ), заменой на ней ориентации на противоположную. Объедянеиие (АВ), () (ВА), кривых (АВ), и (ВА)г является замкнутым контуром, поэтому Р дх+ (г ду = О; (4?.28) (ЛВЬ й (ВА)г но Р дх+(4 с(у= ') Р с(х+Я с(у+ ) Р Ах+Яду= (АВ)т Ц (ВА)г (АВ)т (вл), Р йх+('„) йу — ~ Р с(х+ 9 ду. (4?.29) (лв)с (лв), Из (47.28) и (47.29) следует, что 1 Рдх+айу= 3 Рдх+аду.
(лв)т (АВ)е т. е. криволинейный интеграл ~ Рс(х+Яау не зависит от пути Ав интегрирования АВ с 6 при фиксированных А ен 6 и Вен 6. 2. Обратно, пусть интеграл )Рдх+Дду не зависит от пути интегрирования в указанном смысле и задан замкнутый контур у, лежащий в 6. Выберем на нем две точки А и В~А; тогда Т=АВОВА и ~ Р дх+ (г йу = ~ + 1 = ~ — ~ = О, т АВ ВЛ Асс (АВ)1 где (АВ), обозначает кривую, получающуюся из кривой ВА заме- ной на ней ориентации на противоположную. ( ) Сформулируем критерий независимости интеграла от пути интегрирования.
Теорема 3. Пусть функции Р(х, у) и Я(х, у) непрерывны в плоской области 6. Для того чтобы криволинейный интеграл ~ Рс(х+(еду при фиксированных точках А я6 и В я6 не зави- АВ сел от пути интегрирования АВ ~ 6, необходимо и достаточно, чтобы выражение Р йх+(г йу являлось полным дифференциалом некоторой функции и=-и(х, у), определенной в области 6: ди = Р дх + (е йу (47. 30) ди ди (это равносильно тому, что . =Р, -=9, (х, у) в=6). При выполнении этого условия для любых двух точек А=(х„у,) я6 и В=(х„у,) я6 и любой кривой АВ, соеди- .д 47. Криволинейные интегралы 210 нлгои(ей эти точки в 6: АВ с: 6, имеет место тождество Р |(х+ Я г(у = и (х„д|) — и (х|и до) (47 31) лв Д о к а з а т е л ь с т в о н е о б х о д и м о с т н условия (47.3О). Допустим, что рассматриваемый интеграл не зависит от пути интегрирования, лежащего в области б, а только от его начальной и конечной точек.
Пусть Мо — — (х|н уо) ~ 6 М=(х, у) ~б и М,М вЂ” некоторая кусочно-гладкая кривая, соединяющая в б точки М, и М (такая кривая, даже ломаная, всегда существует, см. лемму 5 в п. 41.4). Положим Рис. 195 и(М)=и(х, у)в —" ~ Рг(х+Дс(у. Мои Функция и(х, у) однозначна, так как значение и(М)=и(х, у) не зависит от выбора кривой, соединяющей в 6 точки Мо и М. Покажем, что Р(х, у) и ()(х„у). Зафиксируем точку М=(х, у), а точку М»=(х+Ь, у) яб, ЬФО, выберем так, чтобы отрезок ММ», соединяющий М и М» (который, очевидно, параллелен осн бх и имеет длину ~Ь 1), содержался в 6 (рис.
195). Для всех достаточно малых чисел Ь такой выбор всегда можно сделать (почемуу). Тогда имеем и(х+Ь, у) — и(х, у) = Рдх+Яс(у- ~ Рг(х+б.г(у= ) Рг(х+Цг)у. мм о» мм о мм„ Вдоль отрезка ММ» координата у постоянна, поэтому Яг(у=О и, следовательно, и(х+Ь, у) — и(х, у)= ~ Рг(х= мм| мм» х+» Р(1, у)Л. Применив интегральную теорему о среднем, х получим и (х+ Ь, у) — и (х, д) = Р (х+ 6Ь, у) Ь, О < 9 < 1, откуда ' " = Р (х+ ОЬ, у), О < 0 < 1. (47,32) 47.8. Условия неоависилюсти краеолинейноео интеграла Правая часть этого равенства в силу непрерывности функции Р (х, у) имеет предел при И вЂ” О, следовательно, и левая часть при Ь вЂ «О имеет предел. Перейдя к пределу в (47.32), будем иметь ( ' У)=Р(х, у). Совершенно аналогично доказывается и равенство ди(х, у) ду 6(х, у).
Итак, существование функции и (х, у), для которой имеет место соотношение (47.30), доказано. Пусть теперь А ~ 6, В ~ 6, А — некоторая кривая, соединяющая в 6 точки А и В, и пусть х=х(г), у=у«), а~(~ Ь вЂ” ее представление и, следовательно, А =(х(а), у(а)), В=(х(Ь), у(Ь)).
Тогда е 5 Рй +(аду=с)(Р( «) у«)1 '(О+(Ц «), у«М«»й(= лэ а --+,' -1"'- (ди(х(Е), у«)) йх ди(х(Е), у(Е)) ду1й( дх йет ду йу! а е= ) ие(х«), У«))й(=и(х(Ь), У(Ь)1 — и(х(а), У(а))=и(В) — и(А), а т. е. формула (47.31) также доказана. Д о к а з а т е л ь с т в о до с т а т о ч н о с т и условия (47.30) для независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования непосредственно следует из формулы (47.31).
Действительно, начальная точка любого замкнутого контура у совпадает с конечной, а поэтому в силу (47.31) '1 Р йх+Ойу=и(А) — и(А) =О. Согласно лемме 2 это и означает независимость соответствующего криволинейного интеграла от пути интегрирования. ( ) Заметим, что хотя доказанная теорема и дает необходимые и достаточные условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования, этн условия трудно проверяемы. Если сузить класс рассматриваемых областей, то можно получить существенно более простой и эффективный критерий.
Введем следующее определение. Определение 8. Плоская область 6 называется односвязной, если, каков бы ни был простой контур у ~ 6, ограниченная область Г, границей которой является у, содержится в 6. Образно говоря, односвязность области означает, что область не имеет «дыр». Круг является примером односвязиой области, круговое кольцо — неодносвязной (рис. 19б). 212 Э 47, Криволинейные интегралы Прежде чем формулировать другой критерий независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования, докажем лемму, которая понадобится при доказательстве этого критерия. Лемма 3. Пусть функции Р(к, у) и тЕ(х, у) непрерывны в области 6, у — гладкая кривая, лежаи(ах в 6, к=к(1), у=у((), а~1(Ь,— ее представление, т = Я';:аи — разбиение отрезка [а, Ь], Մ— ломаная с вершинами в ишаках (хЯ, у(1г)), г = О, 1, ..., ге (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
