kudryavtsev2a (947416), страница 36
Текст из файла (страница 36)
При этом если точке М соответствует пара (и, о), то пишут М=(и, о). Каждая пара (и, о) является функцией точки М е-=б, поэтому н каждый из ее элементов и и о также является функнией точки М: и =и(М), о=о(М), или, чтото же, ее декартовых координат: и=и(х, у), о=о(х, у). (46.48) х=х(ие, о), У=у(ие, о), (46. 49) соответственно в виде х=х(и, ое) У=У(и ое).
(46.50) В случае декартовых координат координатные линни суть прямые, в общем же случае — некоторые кривые, задаваемые представлениями (46.49) и (49.50). Этим и объясняется название ккриволинейные коордпнатые (рнс. 186). Обратно, каждой паре (и, о) из рассматриваемого множества пар соответствует точка М~б, т. е. точка М есть функция пар (и, о): М= М(и, о), а поэтому ее декартовы координаты х и у также являются функциями указанных пар (и, о).
Иначе говоря, справедливы формулы (46.47), задающие отображение, обратное отображению (46.48). Множества точек (х, у) ен б, удовлетворяющих условию и(х, у) = ив и соответственно о(х, д) =--отн где и, и оа некоторые фиксированные постоянные, называются координапгнылш линнтыии в системе координат и, о. Используя формулы (46.47), координатные линии можно записать в виде 46.3. Криволииеаиоге киирдииигы )85 Будем предполагать, что функции (46.47) удовлетворяют на 6 всем условиям, при которых была выведена формула (46.32) замены переменного в интеграле, в частности, что они непрерывно дифд(х, у) ференцируемы н что якобнан - ' ~ не равен нулю на 6. В силу д (и, о) этого координатные линии в окрестности каждой точки пз 6 являются непрерывно дифференцируемыми кривыми.
Ь Исследуем, какой смысл будет иметь "в Лгг в этом случае модуль якобиана. Зафиксируем какие-либо значения ив, Ла, огь г =и Ло. Пусть М,=(и„о,), à — множество всех точек, криволинейные координаты ииио+Ла и, о которых удовлетворяют неравенствам гго(и<ив+Ли, ои -о(ои+Ло, и пусть: Г с:.6. Множество Г называ- у й ется коордпнпнгнььн (краволинейнылг) Рис. )88 ггарпллелогрплглеолг.
Множество Г открыто (почему?), и его граница представляет собой кусочно-гладкий контур (он состоит из кривых вида хии = х (ив, о), г) = г) (пв. о), где ои =-. о =-:= пи+ Ло и т. п.), поэтому Г квадрпруемая область. Вычислим ее площадь (см. рис. 156).
Применив формулу замены переменного в интеграле и интегральную теорему о среднем (см. п. 44.6) получим РГ= ~ ~ е(хе(()= ~ ~ ~ „' " (г(иеЬ= "г иоси:йо г Ьи о,<о (ои+ Во и,+ли о,+во ~й(«о)~ ~ г(п ~ е(о !д )/ ЛаЛо, Л(~=Г. и оо В силу непрерывной дифференцпруемости функций (46.47) !'('.."~1,. =- Ий.") 1.,+' где 1нп е =О. Таким образом, вио4 Ло О рг=)д( )1~ Л Л +вЛ Л.
д (и, у) г д(и, о) (м, (45. 51) Формула (46.5!) показывает, что модуль якобиана в точке (и„ов) представляет собой коэффициент главной части площади координатного параллелограмма с вершиной в точке (по, ои) относительно произведения Лп Ло прн Лаз+ Ло'- О. Это замечание часто используется на практике при вычислении якобнана преобразования криволинейных координат в декартовы.
Покажем У вб. Замена нерененнык в кратном интеграле это на примере полярных координат г, оо. Зафиксируем какие- либо значения г, г+Лг, тр и ~С+ЛИР и рассмотрим координатный параллелограмм Г (рис. 187), образованный координатными линиями г, г+Лг, и и ~С+Лог. Длины двух его сторон равны соответственно Лг и гЛтр. Вычислив площадь этого параллелограмма так, как если бы он был обыкновенным прямоугольником, будем иметь рГ = г Лг Лгр.
Таким образом, коэффициент у произведения Лг Л~Р оказался рав- С иым г, откуда естественно ожидать, Рис. 181 что ' = г. В действительности д(х, р) д (и, о) (см. пример в п. 46.2) так и есть. Это произошло потому что при наших неточных вычислениях площади Г допущена ошибка более высокого порядка малости, чем произведение ЛгЛ~Р при Лги+Лавра — нО. В самом деле, вычислив рГ как разность площадей двух секторов, получим РГ= — п(г+Лг) — — пг =гЛгйр+ — Лг Л~р. о Ат 1 2а 2а 2 46.4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В и-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ Все сказанное в предыдущих пунктах этого параграфа вместе с доказательством переносится н на и-мерный случай, поэтому мы ограничимся лишь формулировкой соответствугощих теорем.
Теорема 3. Пусть б„сП," и беса,— открытые множества, х=Р (1) =(х;=-х;((ь ..., („), 1=1, 2, ..., и» вЂ” взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение бо на б„, якобиан э(()= ' "'' " которого не равен нумо на бь Пусть да,гее 3 — п-мерный куб: 1 о> (ро рою) 5=(1; 1,"'-=Го-.. Г»" +)о, 1=1, 2,, и» сбп Тогда Бпт 1 = ~,) (Р") /; при этолс, если ир (з) ь-о рь ),) (((о)) ~ » е(1(о1 й) РЯ то для любого колтакта А сб, функция е(Г(о), й), И ~ А, равномерно стрел1иопся к нулю на А при й-нО. Теорема 4.
Пусть: 1) б„и бо — измерилоые открытые л~ножесава бас П,", б, ~ Щ', 2) х= г" (() — непрерывное отображение 6, на бн, взаимно однозначно и непрерывно дифференцируемо опюбра- вбв. Зелена нервиенных в и-нратнол интеграле жающве 6» на 6,4 3) яхобиан /(1)= ' '"' втогв отображед(х,, ..., х„) д(»,, ..., »„) ния не обращается в ноль на 6, и непрерывно продолжаел» на 6». Тогда если функция ) (х) непрерывна на множестве бх, то 11(х)»16л= 1)(х(1)),1(1) ~»(6». У п р а «к н е н н я.
Нагисать формулы замены переменных и тройных интегралах для преобразоавний координат: 3, Хе ХСОВфеазф, у=Саафан»р, г=тз»нф О~Г(+СО, О=»р=-2П, и и — — ~ф -. — (сферические координаты). 2 2 4 х= т сов ф, у = т в»п ф, г = г, О =.. г с +со, О = »р =-= 2п, — со < г <+ со (инлиндрнческие координаты). В частности, если ~ д (х«, ° ° ° , «»н) ) (46.52) то ~ ... ~ »(х« ... »(х„= ~ ... ~ »(и« ... »(и„. (46.53) Условие (46.52) заведомо выполняется, если и„..., и„также являются декартовыми координатами в пространстве )(н, и следовательно, выражаются через х,, ..., х„с помощью линейного преобразования, определитель которого равен + 1; х; = „'), спим 1= 1, 2, ..., и, »)е1 (су ) = -»- 1, ь=! Левая часть формулы (46.53) равна мере р6 множества 6 «в координатах х„..., х„» (см. свойство 1' кратного интеграла в п.
44,6), а правая часть этой формулы в случае, когда и„... ..., и„— декартовы координаты, равна соответственно мере множества 6 «в координатах и„..., и„». Таким образом, формула (46.53) показывает, что мера открытого измеримого множества не зависит от выбора декартовой системы координат. Справедливости ради следует заметить, что при доказательстве формулы замены переменных в кратном интеграле мы использовали тот доказываемый в геометрии факт, что при аффинных (т.
е. невырождениых линейных) отображениях абсолютная величина определителя преобразования равна отношению объема парал- 3 а меч а н не. В силу формулы замены переменного для любого измеримого множества 6 ~ )с" и любых криволинейных координат и„..., и„справедлива формула й аг.
Крпеоллнепные интегралы 188 лелешшеда, являющегося образом некоторого куба к объему этого куба. Упражнения. 5. Пусть С=-((х, с, г):1<х<2; 1<к+у<3; Г 1' Р т!хг!у~!г 1 < х+у+у+г с 5). Вычислить иитетрал т ~ т, путем иерей 1 ~1 (+у)(и+у+ ) хода к персмеипым и, о, ш, свлзапвым с х, у, г соотпошеипями х+у+г= и, х-";у=-ио, х=-птпо. б.
Пусп, С = ((х, у, г); х с уг < 2х; у < гх с 2у; г < ху с 2г) . Вычислить интеграл Я хуг г!х г!у ~!г путем перехода к перемеииым и, о, ш, свлааи пыл 'в с х, у, г соотпошсиплмп их= уг, еу=гх, иг==ху. й 47. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 47.1. ИРИВОЛПНЕ11НЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Пусть в трехмерном пространстве )са задана кривая у= ,'г(!]; а=-:(н- б) (см. 2 16). гбы будем рассматривать однозначные функции Р, определенные на точках г(1) этой кривой: Р=Р(г(1)). Если р(1), а:ь т==..й — какое-либо другое представление той же кривой у и 1=1(т), ае —.:т =::.
[) — отображение отрезка [а, [)1 на отрезок [а, (г), осуществляющее эквивалентность этих представлений (т. е. (=1(т), а =-т==-. (3 — допустимое преобразование параметра, см. п. 16.1), то, поскольку значение функции г определяется лишь точкой кривой, будем иметь Р (р (т)) = и (г (!)), 1 = (т), а:= т .== [). Рассматриваемые функции Р принимают, вообще говоря, различные значения в точках кривой, соответствующих различным значениям параметра, но совпадающих как точки пространства (см.
кратные точки в п. 16.1). Такая точка зрения соответствует физической интерпретации кривой у, например, как траектории движения материальной точки, а функции Р— как некоторой силы, действующей на нее, и зависящей це только от положения точки в пространстве, но и от момента, в котором эта точка находится в данном месте. Кроме того, такой подход дает и определенные математические яре!имущества, которые будут видны в дальнейшем.
Из сказанного следует, что указанные функции, заданные на кривой, нельзя рассматривать как функции, определенные на некотором множестве пространства гга и потому, строго говоря, их нельзя обозначать через Р(х, у, г), где х, д, г — декартовы координаты пространственных точек. Однако в рассматриваемых ниже вопросах такое обозначение является традиционным, поэтому мы будем его употреблять. Если всегда помнить, что в этих вопросах речь идет о функциях, определенных на точках кривых, то его использование не приведет к недоразумениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
