kudryavtsev2a (947416), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Тогда Г и Г* компакты, внутренние точки Г переходят во внутренние, а граница Г отображается на границу Гг. 178 Э 46. Замена переменных в кратном интеграле Теорема 2 (формула замены переменных в двукратном интеграле). Пусть функция 1(х, у) определена и непрерывна на Г*. Тогда ~~У(х у)е(хггу= ~ ) 1(х(и, о), у(и, о)1~ и' ") ~ди»Ь. (46.32) Доказательство. Заметим, что входящие в (46.32) интегралы существуют как интегралы от функций, непрерывных на замыкании квадрируемых областей.
Действительно, по условию функция 7'(х, у) непрерывна на Г» и якобиан о ' — на Г, д(х, р) а функция Цх(и, о), у(и, о)) непрерывна на Г как композиция непрерывных функций. Возьмем разбиение ранга й плоскости г?а, на квадраты. Ранг й выберем столь большим, чтобы всякий квадрат этого ранга, пересекающийся с Г, целиком содержался в б (почему такой ранг существует?).
Обозначим и через Г;, ( = 1, 2, ..., г'» ! всевозможные непустые пересечения внутренностей (множества внутер Г ренннх точек) квадратов ранга й с множеством Г. Множества Г; квадрируемы и открыты, нбо их границы имеют меру Рнс. 184 ноль, так как состоит, вообще говоря, из части границы соответствующего квадрата ранга и и части границы множества Г. Совокупность т» = (Гг)',.=',» образует разбиение множества Г, причем, очевидно, Вгп 6, =О. (46.33) » со Пусть далее, Г";=с(Г,); при этом граница Г; отображается на границу Г,", а поэтому граница Г",, вообще говоря, состоит из части границы множества Г* (эта граница в силу предположенной квадрируемости множества Г* имеет меру ноль) и части кусочно- гладкой кривой, являющейся образом границы соответствующего квадрата н имеет поэтому также меру ноль.
Из сказанного следует, что Г; является квадрируемым открытым множеством. Из взаимной однозначности отображения г следует, что совокупность т»=(Г»)',=',» образует разбиение множества Г* (рис. 184). Оценим мелкость разбиения т». Пусть 6» диаметр квадрата ранга й ~очевидно, 6»= — ) и Мг —— (хм ут) е— : Г' М» =(хе, у») ~ н Ф 462, Замена леременнык в двукратном интеграле Е-=Г;. ТОГда СущЕСтВуЮт таКИЕ М, ЕНГ, И М, Е-=Г;, ЧтО и'(Мт) = = М;, и (Ме) =М*„причем р(М„М») (6». Следовательно, Р(М' Мт) =Ф'(х» — »'.)'+(У вЂ” Рт)е=- (46. 34) где ол (6; х) и от (6; у) — модули непрерывности функций х =х(и, о) и у=у(и, о) на компакте Г. В силу непрерывности этих функций на Г они равномерно непрерывны, и поэтому (см.
п. 19,6) 1пп то(6»; х) = 1пп со(6»; у) =О. (46.35) Из (46.34) для диаметра г1(Гл") получаем с((Гт)= зиР Р(М,", Ме)»") "еа(6»., х)+оте(6»1 У), Мл ЕГл Ме ЕГл и, следовательно, 6,2 —— апр г((Г,*)» Гл ет» а поэтому в силу (46.35) 1пп 6тв =0*). (46.36) т» Отберем теперь только те элементы разбиений т» и т», замыкания которых не пересекаются с границами дГ и дГ* множеств Г и Г*.
Обозначим их соответственно через т»(дГ) н т»(дГ*): т» (дГ) = (Г,: Г; е- =т», Гт () дГ = Е ), т»(дГ*) =-(Гл". Г)'с= т», Гтв ПдГе = ф). В силу сделанных предположений Г," ест»(дГ*) тогда и только тогда, когда Г; ~т»(дГ); при этом т»(дГ) состоит из тех и только тех элементов Г, ест», которые являются целыми квадратами, содержащимися вместе с их границами в множестве Г. Составим интегральные суммы о, <»Г., (см. п. 44.3) для функции 1(х, у), взяв в качестве точек Яь тй) енГл еь'т»(дГ*) образы каких-либо вершин (иь о;) соответствующих квадратов Г;: $е=х(ил, ол), та=у(иь ог). (46.37) *' Нетрудно убедиться, что равенство (46.36) можно непосредственно по.
луеить на равномерной непрерывности непрерывного отображения компакта (см. лемму 4 в п. 41.4), у 4о. Зал>ена нерее>енных в кратном интеграле 180 Иначе говоря, рассмотрим суммы вида от,.(„*,= ~Х„~(бо га) РГ . гт е т„* (дг" ) (46.38) Как известно (см. теорему 5 в и.
44.3), в силу выполнения условия (46.36) 1»и и, (дг*)=т(х, у) ахг(у. (46.39) г С другой стороны, для Г>р=г" (Г>), для которых Г; является квадратом, и, следовательно, для Г; ~ тл(дГ), согласно теореме 1 предыдущего пункта, рГ =- ( Х (и>, и>) ' рГ, + ерГь (46.40) где е= — е(ит, оп б, ) на компакте Г равномерно стремится к нулю тн прн й-+.О. Подставляя (46.37) и (46АО) в (46.38), получим о,.1дг*)= ~', '>1х(и>, о>), у(ио о>))) /(иь о>)>рГ>+ Г,отл>дт> х; е )гх („„,т), у (ио,т)) рг, (46.41) г> а т„>дг> 1пп '~ р(х(ии и>) у(и>, о>))!,)(ио о;)/рГ>= Г,.~та>дт> =~') Ях(и, о), у(и, о))! д'(и, о) >йи е(п.
Что же касается второй суммы в равенстве (46.41), то она стремится к нулю при й- со. Действительно, в силу непрерывности функции Цх(и, о), у (и, о)] на компакте 1т она ограничена на нем, т. е. существует такая постоянная С)0, что )11х(и, о), у(и, о)1>=С, (и, и) енГ. Если фиксировано произвольное е, - О, то в силу равномерного на Г стремления е к нулю при й- со можно выбрать Ае так, чтобы при А--т>еа выполнялось неравенство ~е,' ( †" для ерг Суммирование в этих суммах распространено на все индексы 1, для которых Гт не пересекается с границей Г.
Для первой суммы, стоящей в правой части равенства (46.41), в силу условия (46.33) имеем (см. теорему 5 в п. 44.3) )6.2. Зпл)енп переменчив в двукрпгнпм ингегрпле всех (и„о!) енГи Г! сГ, тогда: е([х(ии о,), у(ии о!)) рГ; == г,. м»» (вг) У (е ~(1[х(и), о!), у(и), о!)1' ,рГ)(--~~ У рГ; = е,. г)е»» !дг) Итак, !(п) а,н<,— — '1'17[к(и, о), у(и, о))(Х(и, о)!'г(и!(о. (46.42) Из (46.39) и (46.42) и следует непосредственно Формула (46.32). ( ) Доказанная теорема легко обобщается и на несколько более общий случай, когда якобиан отображения (46.1) может обращаться в ноль на границе области интегрирования, а само отображение быть не взаимно однозначным иа атой границе. Точнее, справедлива следующая теорема.
Теорема 2', Пусть 6 и 6* открыть)е квадриругиые л)иожеспьза: 6с: Р„-п, 6" с — )с„-„и х=х(и, о), у=у(и, о) — непрерывное отображение 6 на 6*, взаимно однозначно и неиред (х, у) рывно дифференцируемо отображающее 6 на 6», якобиан д(и, и) зтого отображения не обращается в ноль на 6 и непрерывно продолжаел! на 6. Тогда, если функции ((х, у) непрерывна на л)ножестве 6*, то ~ ~ 1 (х, у) )(хе(у= ~ ~ 1[к(и, о), у(и, о)1 ~в (,,) /)(и»(о. 'и: 'в Доказательство. Пусть Г», к=1, 2 ...
— последовательность ограниченных открытйх квадрнруемых множеств, граница которых состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых, н Г*с6, Г„сГ„„Ц Г»=6. » 1 В качестве Г, можно взять, например совокупность всех внутренних то )ек множества о»(6) (см. п. 44.1). Пусть Г(, =-г (Г„); тогда Г» также является ограниченным открытым квадрируемым множеством и Г» = Р (Г))' с 6, Г)", с Г)";„„О Г),. '= 6*. »=! 182 Э 4ц Замена переменим» в кратном интеграле Из выполнения этих условий следует, что (см. теорему 2.
п. 31.2) (46.43) Всп рГ» = рб 1 пи )»Г» = рбо » со » со Для каждого из множеств Г», й=1, 2, ..., выполняются все условия теоремы 2 этого пункта, поэтому ~~1(х, у)г(хс(у=~~)[х(и, о), у(и, о)1~, ' " ~с(иг(о. (46.44) Функция )(х, у), как непрерывная на 6* функция, интегрируема на 6*, а функция 1[х(и, о), у(и, у))1 (»' л)~ по тем же соображениям интегрнруема *1 на 6. Поэтому в силу выполнения условий (46АЗ) получаем (см. свойство 10' в п. 44.6): Вт Ц)(х, у) дхс(уоо)'))(х, у) г(хс(у, » со оо Йгп ~ ~)[х(и, о)у(и, о)1~ „"' " ~ г(и»(о= = ~~ р[х(и, о), у(и, о))~ ( ' »>1»(иг(о.
(46.46) Перехсдя к пределу при й-».со, в равенстве (46А4) в силу формул (46.46) мы получим искомую формулу замены переменного в интеграле. П Замена переменных в кратном интеграле часто существенно упрощает его исследование и вычисление. При этом в отличие от однократного интеграла нередко целью замены переменного является не упрощение подынтегральной функции, а переход к более простой области интегрирсвания, даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции.
Пример. Вычислим интеграл Я сов пзбг хз-)-у»с(хг(у. »'+ зс ( 1 Для этого введем новые переменные г, ср (полярные координаты) по формулам х =- г соз ср, у = г з(п ср. Тогда — ' =1 1=г. Отображение (46.46) отобра- З (» н) 1 Сов сР— г з)п >Р ~ з (г. ср) 1з)п ср г соз ср1 жает прямоугольник 6=((г, Ч>): 0(г<1, — л«р<и) (здесь г *' Напомним, что в силу условий теоремы зта фуниния непрерывно проНолжаема с множества О иа б, причем значения продолженной фуняннн на границе мно>иества б не влияют на значение интеграла (см. и. 44.3).
4б.у. дамена переменных в двунратноз1 интеграле и гр рассматриваются как декартовы координаты на плоскости г, тр) взаимно однозначно, непрерывно диффереицируемо и с якобианом, не равным нулю, на круг К=((х, у):ха+уз(1), нз которого исключен радиус, лежащий на отрицательной части оси Ох, т. е.
на множество (рис. !85) С*= =К'ч((х, у):х~О, у=О). Замкнутый же прямоуголь- - я ник 6 при отображении (46.46) переходит в замкнутый круг га С* = К, причем на границе С 1 это отображение уже не взаимно однозначно, Якобиан отображения (46.46) непрерывен на С, ~ х:хи причем в одной точке границы, в начале координат, ои обраща- Рис.
185 ется в ноль. Все условия, накладываемые на отображение (46.1) в теореме 2' этого пункта выполняются для отображения (46.46), а поэтому можно приме- нить формулу замены переменного в интеграле: ))г СОЗ 11)т"Х'+У'ИХт(У вЂ”вЂ” Ц г сох иге(гт(ф= к'+Ф<1 Осе<1 -п<всл зн 1 1 (ге)п лг11 1 Г . 1 4 = ~ дф ~ г созпг Иг=2л~ — ~ — — ~ ейпты т(г л 11о л 3 л' о о о Уп р аж не ни я. !. Пусть 1(х, у)=2л(лз — уз) мп п(х — у)з, а Š— квадрат с вершинами (1, О), (О, 1), ( — 1, 0), (О, — 1).
О помощью замены переменных и=х+у, о=х — у вычислить интеграл (~1(х, у) ИхЫу. 2. Переходом к полярным координатам вычислить интеграл ))1(х, у) дхду, в где а) 1(х, у)=у, Е=((х, у): ха+уз <2х„О<х<у); б) 1(х, у)=ух'-1-у', Е=((х, у):ха+у'<1, х<у<рах) Формула (46.32) замены переменных в двойном интеграле может быть доказана и для более общего случая, в частности, когда якобиан отображения обращается в ноль в области интегрирования, а подынтегральная функция имеет разрывы.
Если множества указанных точек имеют меру ноль и отображаются также во множества меры ноль, причем эти множества разбивают области интегрирования С и С' иа конечное число открытых множеств, на каждом из которых подынтегральная функция продолжаема до непрерывной вплоть до границы функции, то формула (46.32) непосредственно следует из доказанного выше. 6 46. Замена нереленнах в кратном интеграле 46.3. ИРНВОлинейные кООРдинлты Формулы (46.47) х=х(и, о), у=у(и, о) можно рассматривать ие только как отображение, но и как переход от одной системы координат к другой, вообще говоря, криволинейной. Поясням прежде всего понятие криволинейной системы координат.
Пусть б — некоторое открытое множество на плоскости )кто и каждой точке М = (х, д)»= б, а значит, и каждой упорядоченной паре чисел (х, у), являющихся координатами точки М в выбранной прямоугольной системе координат, поставлена в соответствие пара чисел (и, о) таким образом, что разным точкам М, и Ме соответствуют разные пары (и„о„) и (и„о,). В этом случае говорят, что иа множестве б задана система координат и, о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
